一类渐近线性薛定谔方程的基态解和多解的存在性*1

冯鹏涛， 沈自飞

（浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华　321004）

一类渐近线性薛定谔方程的基态解和多解的存在性*1

冯鹏涛， 沈自飞

（浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004）

研究了一类拟线性薛定谔方程基态解的存在性和多解性问题，其中方程的非线性项是一个周期的、渐近线性的函数，且满足单调性条件.通过运用Nehari流形方法获得方程的基态解的存在性，并且当非线性项具奇性时，得到了方程无穷多几何不同解的存在性.

拟线性薛定谔方程；基态解；渐近线性；Nehari流形

0　引言

考虑如下形式的拟线性薛定谔方程：

式（1）中：N≥3；函数V和h关于x1，x2，…，xN是周期的，并且h是渐近线性的，满足单调性条件.这类方程源于数学物理的多个分支中.最近，形如h（x，u）=|u|p-1u的非线性项（其中4≤p+1＜4N/（N-2），N≥3）是研究的焦点.最初的存在性结果是由文献［1］给出的，作者运用约束极小化方法，证明了方程正基态解的存在性；文献［2］通过变量替换，将拟线性问题转变成半线性的问题，运用山路引理，在Olicz空间中证明了对自治情形h（x，u）=u3正解的存在性；文献［3］通过使用对偶方法和文献［2］中变量替换的方法，在Sobolev空间中证明了拟线性方程的非线性项是自治和非自治情形时正解的存在性；文献［4］则在Olicz空间中考虑在原点处h（s）～s和在无穷远处h（s）～s3的解的存在性；文献［5］考虑了情形下的方程解的存在性问题；文献［6］考虑了半线性问题）情形下方程解的存在性问题.更多的结果可参阅文献［7-10］.受到上述结果的启发，本文考虑（x）的情形，主要运用文献［6］的方法证明了在Sobolev空间中基态解和多解的存在性.

下面给出方程（1）中泛函V和h的假设：

（h1）h是连续的，关于x1，x2，…，xN是以1为周期的函数；

（h2）当u→0时，关于x一致地有h（x，u）=o（u）；

（h3）对于任意的x∈RN，存在ψ（x）＞V（x），使得当|u|→∞时，h（x，u）/u3→ψ（x），其中ψ是连续的，关于x1，x2，…，xN是以1为周期的函数；

（h4）在（-∞，0）和（0，+∞）中，映射：u|→h（x，u）/u3是严格增的.

本文的主要结果是：

定理1如果函数h，V满足假设（V）和（h1）～（h4），那么方程（1）存在一个基态解；并且如果h关于u是奇的，那么方程（1）存在无穷多对几何不同解±u.方程（1）的能量泛函是

其中，H（x，u）=∫u0h（x，s）d s.事实上，由于方程（1）中非齐次项Δ（u2）u的出现，其对应的泛函J在空间H1（RN）上定义非良好.因此，不能直接使用变分方法得到泛函的临界点，本文采用文献［2-3］的方法克服这个困难.

符号。记作ZN在空间H（RN）上的作用，其定义为

由假设（V）和（h1）知：如果u0是方程（1）的解，那么对于任意的k∈ZN，k。u0也是方程的解.

称集合R（u0）：=｛k*u0：k∈ZN｝为在ZN作用下的轨道.如果对于任意的泛函F存在一个临界点u，并且F是ZN不变的，即F（k。u）=F（u），那么称R（u0）为F的临界轨道；如果u1，u2是方程（1）的2个解，且R（u1）≠R（u2），那么称它们是几何不同的.为了陈述方便，作如下记号：

1）记C，C1，C2，…为正常数；

2）记BR为中心在原点，半径为R的开球；

3）对于1≤s≤∞，记LP（RN）为普通的Lebesgue空间，赋予如下范数：

4）记E为Sobolev空间H1（RN），S是E中的单位球.

1　等价变分问题

由于能量泛函J在空间H1（RN）上定义非良好，所以为了克服这个困难，作变量替换v=f-1（u），

其中f满足

下面给出变量替换f：R→R的性质.

引理1［2-3］ 泛函f（t）和f＇（t）有如下性质：

1）f是唯一的，可逆的，并且f∈C∞（R）；

2）对于任意的t∈R，|f＇（t）|≤1；

3）对于任意的t∈R，|f（t）|≤|t|；

8）存在常数C，使得

根据引理1，可以得到下面推论：

推论1泛函f有如下性质：

1）对于任意的t＞0，泛函f（t）f＇（t）t-1是递减的；

2）对于任意的t＞0，泛函f 3（t）f＇（t）t-1是递增的.

经过变量替换以后，J（u）变成如下形式：

在假设（V）和（h1）～（h3）下，I（v）在空间E上是定义良好的，并且I∈C1（E，R），泛函I的临界点是对应的Euler-Lagrange方程

的弱解.如果v∈C2（RN）∩H1（RN）是泛函I的临界点，那么u=f（v）是方程（1）的古典解.这样的过程是可逆的.因此，为了获得方程（1）的古典解，只需寻找泛函I的C2临界点.

2　主要结果的证明

由假设（V）和（h1）可知，I是ZN不变的.对于任意的v，φ∈E，易知

记M：=｛v∈E｛0｝：〈I＇（v），v〉=0｝为泛函I的Nehari流形.在假设（V）和（h1）～（h4）下并不能确定M是否是C1的，因此，不能在M上直接使用极小和极大理论.为了克服这个困难，本文采用文献［5-6］的方法.

由假设（h2）和（h3）可知，对每个ε＞0，存在常数C，使得

式（3）中：2＜p＜2×2*；2*=2N/（N-2），N≥3.

对于t＞0，设

令

则对于任意的x∈RN，由ψ（x）-V（x）＞0可知，集合Q非空.

引理21）对于v∈Q，存在唯一的tv＞0，使得当0＜t＜tv时，g＇（t）＞0；当t＞tv时，g＇（t）＜0；当且仅当t=tv时，tv∈M.

2）如果v∉Q，那么对于任意的t＞0，tv∉M.

证明1）由Lebesgue控制收敛定理、假设（h2）和（h3）及引理1中的3），4）可知：

因此，h存在正的最大值.又h＇（t）=0等价于

由假设（h4）和推论1可知，上式右端是单调递增的，结论得证.由h＇（t）=t-1〈I＇（tv），tv〉得，当且仅当t=tv时，tv∈M.

2）如果对于t＞0，tv∈M，那么〈I＇（tv），v〉=0，即

由假设（h3）、假设（h4）和推论3可知

因此，v∈Q，与条件矛盾.引理2证毕.

2）对于所有的v∈M，‖v‖2≥2c.

证明1）由式（3）和Sobolev不等式知，如果ρ充分小，那么又对于每个v∈M，存在s＞0，使得sv∈sρ，且I（tvv）≥I（sv），由引理2易得

2）对于每个v∈M，根据假设（h2）、假设（h3）及引理1中的3）可知RNV（x）v2d x.

引理3证毕.

引理4所有的PS序列｛vn｝⊂M是有界的.

证明用反证法证明.假设存在一个序列｛vn｝⊂M，当n→∞时，有‖vn‖→∞，并且对于任意的d∈［c，∞），有I（vn）≤d，记ϑn：=vn/‖vn‖.选取｛ϑn｝中一个子列，仍记为｛ϑn｝，使得ϑn⇀ϑ，并且在RN中，几乎处处ϑn→ϑ.选择yn∈RN，使得

因为I和M是ZN不变的，所以可以假设yn在RN中是有界的.如果

那么根据Lions引理可得，在Lr（RN）中，当n→∞时，有ϑn→0，其中2＜r＜2×2*.则由式（3）知，对于任意的s∈R，当n→∞时，有∫RNH（x，sϑn）→0.根据引理1中的4）和引理2可得

当s足够大时，因为在L2 loc（RN）中，当n→∞时，有ϑn→ϑ，ϑ≠0，所以|vn|→∞，矛盾.因此，式（5）不成立.

由于当n→∞时，有〈I＇（vn），φ〉→0，因此对于任意的φ∈C∞0（RN），有

两边同时除以‖vn‖可得

根据Lebesgue控制收敛定理、假设（h3）及推论1可得

因此，ϑ≠0并且-Δϑ+V（x）ϑ=ψ（x）ϑ.这是不可能的，因为算子-Δ+V-q有唯一的绝对连续谱.引理4证毕.

引理5如果V是Q的一个紧子集，那么存在R＞0，使得在（R+V）BR（0）上有I≤0.

证明用反证法证明.不失一般性，假设V⊂S，存在vn∈V，记ωn：=tnvn，其中vn→v，tn→∞，且I（ωn）≥0，可得

得出矛盾.引理5证毕.

记W：=Q∩S，定义映射k：W→M为k（w）：=tww，其中，tw的取值由引理3得到.

引理6如果vn∈W，vn→v0∈∂W，并且tnvn∈M，那么I（tnvn）→∞.

证明因为v0∈∂W，所以

由引理1中的6）和推论1可得

因此，

引理6证毕.

引理7［5，11］ 如果k是W和M之间的同胚映射，那么其逆映射为

下面考虑泛函Φ：W→R

为了陈述方便，作如下记号

由于h关于u是奇性的，因此可以选取T的子集F，使得F=-F，并且对于每个轨迹R（w）⊂T在集合F中存在唯一的代表元素.运用反证法，可以证明集合F是无限的.

引理8［5，11］ 1）Φ∈C1（W，R）且对于任意的z∈Tw（W），有〈Φ＇（w），z〉=‖k（w）‖〈I＇（k（w）），z〉，其中Tw（W ）表示在W上对应于w的切丛.

2）如果｛wn｝是Φ的PS序列，那么｛k（wn）｝是I的PS序列；如果｛vn｝⊂M是I的有界PS序列，那么｛k-1（vn）｝是Φ的PS序列.

3）w是Φ的临界点当且仅当k（w）是I的一个非平凡临界点.泛函I和Φ对应的值是相同的，并且

4）Φ是偶的.

为了陈述方便，作如下记号：

引理9［5］ 设d≥c，如果｛ϑ1n｝，｛ϑ2n｝⊂Φd是Φ的2个PS序列，那么当n→∞时，‖ϑ1nϑ2n‖→0，或，其中ρ（d）仅与d的选取有关，与PS序列的选取无关.

定义η：G→WT为：

其中：G：=｛（t，w）：w∈WT；T-（w）＜t＜T+（w）｝，（T-（w），T+（w））表示函数t|→η（t，w）的取值范围.易知，泛函Φ存在一个伪梯度向量场H：WT→TW，其中TW表示W上的切丛.

下面给出泛函Φ和η的性质.设P⊂W，δ＞0，定义Wδ（P）：=｛w∈W：dist（w，P）＜δ｝.

引理10［11］设d≥c，则对任意的δ＞0，存在ε=ε（δ）＞0，使得

1）Φd+εd-ε∩T=Td；

定理1的证明由引理6和Ekeland变分原理知，在W 中存在序列｛vn｝，使得I（vn）在E中有界，且〈I＇（vn），vn〉→0.再由引理4和引理5可得方程（1）的基态解存在.当T+（w）＜∞时，=w0存在，由引理6可知，w0∉∂W，则由文献［11］中定理1.2可得方程（1）存在无穷多对几何不同解.定理1证毕.

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（责任编辑陶立方）

Ground state solution and multiple solutions to asym ptotically linear Schrödinger equations

FENG Pengtao， SHEN Zifei
（College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

Itwas discussed the existence and multiplicity of ground state solution for a Schrödinger equation，where its nonlinearity was periodic asymptoticaly linear and satisfied amonotonicity condition.The generalized Neharimanifold methodswere applied to obtain a ground state solution and infinitelymany geometrically distinct solutionswhen the nonlinearity was odd.

quasi-linear Schrödinger equation；ground state solution；asymptotically linear；Neharimanifold

O175.25

A

1001-5051（2016）02-0139-07

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.003

*收文日期：2015-06-07；2015-06-21

国家自然科学基金资助项目（11271331）

冯鹏涛（1988-），男，河南周口人，硕士研究生.研究方向：非线性泛函分析.

沈自飞.E-maitl：szf@zjnu.cn