卡尔曼滤波算法与Bootstrap算法比较

张芳园，单辉宇

（哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，哈尔滨150001）

卡尔曼滤波算法与Bootstrap算法比较

张芳园，单辉宇

（哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，哈尔滨150001）

在信息化时代，人们对时间同步的精度要求越来越高.从时钟根据它和主时钟的偏差进行估计和调整，从而实现同步.在多个晶振的条件下，可以通过卡尔曼方法实现数据融合，通过卡尔曼滤波算法和Bootstrap算法对时钟进行校正，对偏差进行估计.该方法可以提高本地时间稳定性和准确性.关键词：时钟同步；卡尔曼滤波算法；Bootstrap算法

网络中的每个节点都拥有独立的晶振，输出的时间是由输出的脉冲个数来计算.时间的精度是由晶振的精度决定，每个晶振的性能指标不可能完全一样，且每个晶振的运行环境中的温度、湿度等因素的也会对晶振的精度产生影响.随着时间的推移晶振会产生相应的频偏和时偏，使得晶振的稳定度变差，在晶振运行过程中为了维持晶振的稳定度，通常采用卡尔曼等方法对其精度进行校正.但卡尔曼滤波在对晶振的频偏和时偏进行校正的过程中需要系统的状态矩阵、协方差、噪声方差等，计算过于复杂.Bootstrap方法只需利用计算机对测量数值进行重采样，从而对晶振的频偏和时偏进行校正虽计算量大，但计算简单.

1　IEEE 1588　时间同步协议

IEEE 1588协议是在建立硬件时间戳的条件下，通过主时钟和从时钟交换时间戳信息而实现时间得高精度同步［1］.协议将时间同步过程分为偏移测量阶段和延迟测量阶段两个部分.它的时间同步过程如图1所示［2］.

图1　主从时钟之间的交互过程

在本文中假设往返路径对称即数据包在传播时它们的时延相等，则可以得到以下的计算公式：

2　卡尔曼滤波对时间偏差和频偏的估算

2.1卡尔曼滤波的基本原理

卡尔曼滤波器要求信号和噪声的统计特性得先验条件已知，在此基础上采用高效率递归方式获得最小方差的最优估计滤波器.在本文中，由主节点和从节点之间实现时间同步从而获得整个网络中节点的时间同步.节点间的时间同步是通过计算从节点与主节点之间的时间偏差与频率偏差并对本地时间的绝对时间和频率进行调整而实现的.相对准确的时偏和频偏的估计有利于提升网络时间的准确度.在本小节采用了卡尔曼法去实现对时偏和频偏的准确估计，并对该过程进行了仿真分析［3］.

2.2卡尔曼滤波对时间偏差和频偏的估计

在本节中，采用卡尔曼滤波方法对上节提到协议的实现时间同步方式进行滤波估计，校正频偏和时偏，提高同步精确性.同时在这里认为时间偏差的测量误差为0，则可以得到从时钟的时间偏差和频率偏差的关系式：

设Z（k）=［θ［k］，s［k］］T为卡尔曼滤波器的当前状态向量，而Y［k］=［θ^［k］，s^［k］］T为在k时刻的时钟时间和频率的校正值.在一定的时间间隔内，时钟的频偏变化缓慢，所以在这里假设频偏的变化率保持不变，因此可以根据前一时刻的频偏去计算现在时刻的时偏.卡尔曼滤波的状态方程和测量方程分别为式（5）、（6）.

通过上述过程，可以消除相关噪声，提高时钟的同步精度，保持时钟的稳定度.

2.3仿真结果分析

我们采用Matlab进行仿真，本文中的频偏表示晶振的实际频率与标准频率在每秒产生的偏差值，在2维的情况下利用数据融合［4］的方法对2个时钟的状态估计值进行融合，从而对整个系统时钟的频偏和时偏进行校正，提高本地时钟的稳定性和准确性.

图2为在只有1个时钟的情况下的频偏和时偏修正值.图3为在只有1个时钟条件下的频偏和时偏状态估计值.图4为在2个时钟的条件下的，它们各自的时偏和频偏的修正值.图5为在2个时钟的条件下的，它们各自的时偏和频偏的状态估计值以及经过数据融合后得到的晶振时偏和频偏的估计值.

图2　A时钟频偏和时偏修正值

图3　A时钟频偏和时偏状态值估计

图4　时钟A和B频偏和时偏修正值

图5　时钟A，B及融合后的频偏和时偏状态值估计

3　Bootstrap方法对时偏和频偏的估算

3.1Bootstrap方法基本原则

Bootstrap方法是一种基于计算机模拟的统计推断方法，它不需要对未知总体分布作任何假定，而是通过对已有样本进行有放回地随机抽样（每个样本被抽到的概率相同）来产生“伪”随机数，从而判断总体分布的统计特性［5］.

常见的Bootstrap有残差Bootstrap方法、参数Bootstrap方法、Wild Bootstrap方法、Pairs Bootstrap方法和Block Bootstrap方法.本文中采用残差Bootstrap方法.

3.2残差Bootstrap方法

残差Bootstrap是通过对模型的残差进行有放回地随机抽样而获得所需数据的一种方法.它有两个使用条件：1）误差与变量之间相互独立；2）误差服从独立同分布.表达式为式（7）.

E（εi|Xi）=0，εiIID（0，σ） （i=1，2，…，N）

残差Bootstrap的执行步骤如下：

1）利用最小二乘（OLS）或其他方法对式（3-1）进行估计，得到β的估计值和残差向量e.其中，e=y-

2）对残差e进行尺度变化和中心化.

4）由以上可以得到一个Bootstrap样本（y*，X），其中y*=Xβ+e*.

重复第3步和第4步共B次，可以得到一组Bootstrap样本.

3.3残差Bootstrap仿真结果

对由信号源所产生的测量值随机采样或得10个数据，利用Bootstrap方法对这10个数据进行重采样，得到一个状态值样本和修正值的样本，将上述过程重复2 000次得到1组Bootstrap样本，利用Matlab对该过程进行仿真分析.图6为在1维情况下利用Bootstrap方法对晶振的频偏和时偏进行测量及估计仿真图.图7是在2维条件下，利用数据融合方法得到的时钟的频偏和时偏进行测量及估计仿真图.

图6　频偏和时偏状态估计值和修正值

图7　融合后的频偏和时偏状态估计值和修正值

4　结语

利用卡尔曼滤波法和Bootstrap方法均可以对时钟的时间偏差和频率偏差进行校正，且两种方法对时钟的噪声干扰和影响进行消除的结果接近一致，但是在运算过程中，卡尔曼滤波方法需要对系统进行建模，需要系统各种的状态矩阵、协方差、噪声方差等参数以及系统的初始状态值和初始测量值，在实际运算过程中会使计算过程较为复杂，而Bootstrap方法需要的样本个数少，在重采样的过程中虽然会产生大量的数据值，但是在计算机运行中不会给运算过程带来不便，计算简单，不需要大量的系统值和任何的先验概率，后验概率，简化了系统计算.所以在应用中可以用Bootstrap方法替代卡尔曼滤波方法，且简化计算过程.

［1］李晓珍.基于IEEE 1588的网络时间同步系统研究［D］.西安：中国科学院研究生院，2011.

［2］LEE S.An enhanced IEEE 1588 time synchronization algorithm for asymmetric communication link using block burst transmission ［J］.IEEE Communications Letters，2008，12（9）：687-689.

［3］周思捷.基于IEEE 1588无线网络时间同步技术研究［D］.上海：上海交通大学，2013.

［4］李海艳，李维嘉，黄运保.基于卡尔曼滤波的多传感器测量数据融合［J］.武汉大学学报，2011，44（4）：521-525.

［5］冯计才，刘力维，常宝娴，等.Bootstrap方法的仿真实现及其在系统偏差估［J］.南京理工学学报，2007，31（3）：400 -402.

Comparison of Bootstrap algorithm and Kalman filtering algorithm

ZHANG Fang-yuan，SHAN Hui-yu
（School of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In the information age，the users has higher requirement for the accuracy of time synchronization.The slave clock achieves clock synchronization according to the offset of the slave clock and themaster clock to estimate and adjust the offset.Under the condition ofmultiple crystal scillator，data fusion can be realized through Kalman filteringmethod.The clock correction and the deviation estimation were performed through Kalman filter algorithm and the Bootstrap algorithm.Thismethod can improve the local time’s stability and accuracy.

wireless synchronization；Bootstrap algorithm；Kalman filtering algorithm

TN972

A

1672-0946（2016）02-0200-03

2015-07-15.

中央高校基本科研费专项基金（HEUCF140803）.

张芳园（1991-），女，硕士，研究方向：宽带信号的检测与识别.