基于双曲线对五点法井网流线轨迹拟合研究

李根（中海石油（中国）有限公司天津分公司，天津 300452）



基于双曲线对五点法井网流线轨迹拟合研究

李根
（中海石油（中国）有限公司天津分公司，天津 300452）

以五点法井网流线轨迹的解析解为基础，对MATLAB绘制的流线轨迹进行分析得出，流线呈双曲线的几何特征。以双曲线方程作为目标函数，对解析解的流线轨迹进行拟合，建立了以流线与主流线夹角为自变量的流线拟合式。流线特征在夹角接近45°的位置对夹角变化最为敏感，因此在该位置取样进行了加密处理，增大了拟合的可靠性，尤其对存在启动压力的油田，此位置一般靠近死油区，加密处理很有意义。文中求出的拟合式能够良好地拟合解析解轨迹“两端直、中间弯”的特点，与解析解曲线的重合度很高。将得到的流线方程与传统的三角形简化流线形式进行了对比，结论表明，以双曲线为基础的拟合式从流线形态、长度、波及面积和流管阻力上均优于三角形简化形式，使得对流线的简化处理和流线模拟计算更准确。

五点法；井网；流线轨迹；三角形；曲线拟合；双曲线

0　引言

随着油田开发的不断深入，油田内部流体的流动情况越来越复杂，由于受网格划分和差分运算本身局限性的影响，流线模拟越来越受到重视。目前对流线模型［1-2］的研究已很深入，利用流线模型来解决油藏问题的情况越来越多，在对五点法井网的流线模型处理上都采用了三角形简化流线，必定存在偏差。但真实的流线轨迹并非折线形态。本文利用双曲线的特征，对五点法井网的流线解析解进行了较为精确的拟合。

1　五点法井网流线轨迹解析解的特点

在直角坐标系下，五点井网流线的解析方程［3-4］的表达式为无穷级数形式，参数多且繁琐，在应用时存在困难，利用MATLAB将其八分之一井网的流线解析解表达式绘制如图1所示。由图1可以看出，流线呈现出两端近似直线、中部近似二项式弯曲的特点。

图1　五点法流线轨迹解析解

2　双曲线与流线轨迹的特点

焦点在y轴的双曲线标准图像如图2所示，标准方程如式（1）所示。

图2　焦点在y轴的双曲线

式中：x，y分别为x，y坐标值；a，b分别为常数，大于0。

由图2可见，双曲线离y轴越远越接近渐近线，呈现直线形；越靠近y轴越呈现曲线形，且能够满足在x=0时，其导数y′=0，即此处切线与x轴平行。由上述特点推断，双曲线可以作为拟合五点法井网流线的基础曲线。

由于解析解图像的对称轴为x=0.5，为使坐标系统一，将标准方程向右平移x=0.5单位，假设轴方向坐标平移m个单位（见式（2））。

为拟合向下弯曲的流线，将式（2）变形，得

由于流线方程须过点坐标（0，0）和（1，0），则式（3）变为

由于b2与不相关，令g=b2，，则式（4）变为

根据解析解的结论［3］，流线在注水井位置点（0，0）处可近似为直线y=xtan λ，λ为流线和主流线（x轴）之间的夹角。令该直线与双曲线在坐标（0，0）的切线重合，对式（5）求导，并代入x=0，结果见式（6）。

假定拟合在点（0，0）导数为0.5的流线，则令y′= 0.5，利用式（6）可以得出h与g的关系。为观察g值变化对式（5）曲线形态的影响效果，将式（5）所示的双曲线在x∈［0，1］利用MATLAB进行绘制，其参数g在［0.000 32，25］，以gn+1=5gn取值，绘制的曲线族如图3所示。可以看出b值决定式（5）曲线段的开始位置，则必有一条最优曲线能够拟合解析解，判定利用双曲线方程能够对流线解析解进行拟合。

图3　不同g值的双曲线族

3　拟合过程

以八分之一井网为研究单元，每条流线在点（0，0）处与主流线夹角λ（0°≤λ≤45°）有唯一性，以λ作为流线的区分标识。利用MATLAB求出tan λ值为n×0.1 （0≤n≤10，n为自然数）的流线族的轨迹坐标，以式（5）作为拟合函数，分别求出每条流线的h和g，在拟合过程中发现在tan λ接近1的位置，解析解的顶端形状变化快，主要表现在x=0.5附近越来越呈现折线形态（见图4），因此，在y′x=0∈［0.9，1］进行了加密处理。

拟合完毕后得到了每条流线的h和g的值，接下来建立每条流线的tan λ与h，g对应关系，在直角坐标系绘制h与tan λ曲线如图5所示。可以看出，曲线呈现多项式特性。通过优选拟合式得出4次多项式拟合效果最佳，确定目标函数为式（7），拟合结果的决定系数为1，求得 a=-0.386 8，b=0.499 4，c=-0.269 3，d= 1.160 6，e=-0.003 4。

图4　tan λ接近1时双曲线族

图5　h与tan λ关系拟合

在直角坐标系绘制g与tan λ曲线如图6所示，可以看出，曲线呈现指数曲线特性。目标函数使用MATLAB的自带拟合函数（见式（8））。利用MATLAB进行拟合，决定系数为0.999 8，得a=-0.002 371，b= 3.049，c=0.036 91，d=0.302 6。

图6　g与tan λ关系拟合

得出解析解的拟合表达式为

4　结果分析与属性对比

以本文求得的流线拟合公式与简化三角形流线的属性进行对比，包括相同辅角的流线长度L，流线与主流线包围面积S，流管阻力相对阻力R，其计算方法见式（10），其中W为相邻2条流线间垂直于二者平分流线的截面的宽度。流管示意如图7所示。对比结果如图8—图10所示。图中长度、面积、阻力均为无量纲。

图7　流管示意

图8　流线长度随辅角变化

图9　流线面积随辅角变化

图10　流管阻力随辅角变化

5　波及面积对比

在注采平衡的五点井网中，流线上压差最小的位置为流线与注采井连线的垂直平分线（为中央等势线）的交点A处。如流线上该点的压差小于启动压力则流体无法运动［5-11］，如流线上该点压差与启动压力相等，则该流线为最外侧的流线，该流线所包围的面积也是最大波及面积。对经过同一交点A的简化三角流线和拟合式流线对比可看出前者的波及面积小于后者的（见图11）。

图11　过同一A点的2种流线轨迹

为了研究过同一A点2种流线轨迹所对应的波及面积与A点位置的关系，以A点距离主流线的位置为自变量，2种波及面积为因变量进行了计算，结果如图12所示，图12中的变量均为无量纲。

图12　波及面积随A位置变化

6　结论

1）简化三角形的流线轨迹与拟合式的相比，长度与面积偏差较大的位置出现在辅角靠近30°的位置，而渗流阻力偏差较大的位置出现在辅角靠近0°和45°的位置。

2）存在启动压力时，简化三角形模式所得出的平面波及面积要小于拟合式的结果。

3）本文的改进在计算速度上优于解析解，在计算精度上接近解析解、优于三角形简化模式，具有一定的实用性和可靠性。

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（编辑杨会朋）

Curve fitting of five-spot well pattern streamline traces based on hyperbolic equation

Li Gen
（Tianjin Branch of CNOOC Ltd.，Tianjin 300452，China）

Based on the analytical solution of the streamline traces of the five-spot well pattern，the streamline traces were plotted by MATLAB and analyzed，it is found that the streamline forms show the geometric traits of hyperbola.Using the hyperbolic equation as the objective function，the streamline traces of the analytical solution were fitted，the general curve-fitting formulas with the angle between the streamline and the main streamline as the independent variable were established.For the geometric traits are very sensitive to the angle when the angle is close to 45°，so it is neccesary to infill the sampling in this area to increase the fitting′s reliability.In the oilfield with start-up pressure gradient，the 45°area is near the inert area，so the infilling work is meaningful.The general fitting formulas gained by this paper can reflect the"bent-ends，straight-middle"features of the streamlines satisfactorily，and have an ideal coincidence with the reality.Compared with the traditional simplified triangle method，the gained formulas have the advantages of shape，length，square，and stream tube resistance.All the privilages make the simplification and simulation of the streamlines more reliable.

five-spot；well pattern；streamline simulation；triangle；curve fitting；hyperbola

国家科技重大专项“大型油气田及煤层气开发”（2011ZX05057）

TE132.1+4；P631

A

10.6056/dkyqt201601019

2015-07-10；改回日期：2015-11-21。

李根，男，1985年生，工程师，硕士，2011年毕业于东北石油大学油气田开发工程专业，现主要从事油藏工程研究工作。E-mail：ligen2@cnooc.com.cn。

引用格式：李根.基于双曲线对五点法井网流线轨迹拟合研究［J］.断块油气田，2016，23（1）：86-89.

Li Gen.Curve fitting of five-spot well pattern streamline traces based on hyperbolic equation［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2016，23（1）：86-89.