一例二次方程根的分布问题的常见错解
2016-08-26江西省樟树中学331200
江西省樟树中学 (331200)
杨建华
一例二次方程根的分布问题的常见错解
江西省樟树中学(331200)
杨建华
一元二次方程根的分布问题,是三个“二次”(一元二次函数,一元二次方程及一元二次不等式)关系中的重要题型,也是培养学生数形结合,分类讨论及函数与方程等数学思想的非常好的载体.从教学实践来看,一般地,学生对以下一些较为简单的根的分布问题:诸如①方程有两正根;②方程有两负根;③方程有一正一负两根;④方程在[k1,k2](其中k1 例若方程x2+(3a-2)x+a-1=0在(-1,3)上仅有一根,求a的取值范围. 图1 分析:当a满足f(-1)f(3)<0时,抛物线在坐标系中的图像为图1、图2.由此可见,此时方程f(x)=0确实在(-1,3)上仅有一根. 图2 那么,问题出在哪里呢?本题求参数a的取值范围,也就是求使得方程f(x)=0在(-1,3)上仅有一根的充要条件,而错解中f(x)满足f(-1)f(3)<0仅是该结论成立的充分条件,是否是必要条件还有待进行全面的分析.事实上,若抛物线图像如图3或图4所示时(不满足f(-1)f(3)<0)也能使f(x)=0在(-1,3)上仅有一根.该情形是否存在呢?检验便可得知. 图3 图4 ②当f(-1)=0时,即-2a+2=0时,解得a=1,此时方程为x2+x=0,其另一根x=0∈(-1,3),所以此时方程在(-1,3)上有唯一根x=0,符合题意. 由上例错解及分析,不难总结出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在区间(m,n)(也可以是[m,n),(m,n],[m,n])上仅有一根时参数取值范围问题的一般步骤: 令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则(1)由f(m)f(n)<0解出参数范围;(2)当f(m)=0时,求出参数的取值,进而求出方程的另一根,检验这一根是否在(m,n)内,由此判断此时求出的参数取值是否符合题意;(3)当f(n)=0时重复步骤(2).最后写出正确答案. 为巩固此文但要的解法,特提出此问题的一变式题:若将本题中在(-1,3)上仅有一根分别改为在[-1,3]上,[-1,3)上,(-1,3]上仅有一根,试分别求出参数a的取值范围.