高中数学函数图像变换之对称性的探究

金来明

摘 要： 函数是高中数学的一个核心知识，也是整个高中数学的基础.高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，利用对称性往往能更简捷有效地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文主要通过函数自身的对称性探讨与函数对称有关的性质.

关键词： 函数 图像变换 对称性研究

1.函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x）（a，b∈R）？圳函数y=f（x）关于直线x=对称.

证明：？圯设P（m，n）是函数y=f（x）图像上的任意一点，则 f（m）=n

P（m，n）关于直线x=对称点为Q（a+b-m，n）

用b-m代换f（a+x）=f（b-x）中的x得f（a+b-m）=f（[b-（b-m）]）=f（m）=n

即点Q（a+b-m，n）在函数y=f（x）图像上.所以函数y=f（x）关于直线x=对称.

？坩设P（m，n）是函数y=f（x）图像上的任意一点，则f（m）=n①

因为函数y=f（x）关于直线x=对称，

所以P（m，n）关于直线x=的对称点Q（a+b-m，n）也在函数y=f（x）图像上

所以f（a+b-m）=n②

由①、②式得f（a+b-m）=f（m）

设b-m=x，得m=b-x，所以f（a+x）=f（b-x）.

2.函数y=f（x）满足f（a+x）=-f（b-x）（a，b∈R）？圳函数y=f（x）关于点（，0）对称.

3.若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

4.若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，0）和点B（b，0）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

5.若函数y=f（x）图像既关于点A（a，0）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

6.函数y=|f（x）|的图像的作法：作出y=f（x）的图像，将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的图像不变.

7.函数y=f（|x|）的图像的作法（该函数是偶函数）：作出y=f（x）的图像，将图像位于轴左边的图像擦掉，以y轴为对称轴将y轴右边的图像翻折到y轴左边，得到y=f（|x|）在y轴左边的图像，右边的部分不变.

以上性质是对函数自身所具有的对称性进行的阐述，函数的对称性是数与形的完美结合，而数形结合思想是中学数学的一个重要思想.在教学过程中，教师不仅要应充分挖掘教材中所蕴含的知识，还要引导学生寻找美的东西，让学生体会数学的美、感受数学的美，从而开阔学生视野，提升学生审美情趣，提高学生学习数学的兴趣.