函数奇偶性在高考中的应用

汤小燕+++欧化敏

摘 要： 本文通过对最近两年全国各省的高考数学试题进行分析，得出了函数奇偶性是历年高考的必考内容之一，并给出了这类题型的解法和思路，揭示了函数奇偶性的重要性及其基础性.

关键词： 高考 函数 奇偶性 教学应用

1.引言

函数是高中数学的重要内容之一，由于具有一定的抽象性，比如：当函数的定义域在一维直线上时，是熟悉的初等函数；当函数的定义域在复数域上时，则是大学数学里的复变函数.由此可见，高中教材里教学的函数概念会有一定的概括性，然而，通过空间直角坐标系的引入，发现高中学习的函数在坐标系上实际表示一条曲线.进而讨论函数性质可以转化为讨论函数图像的特点.奇偶性实际上是图像关于原点或者是y轴的对称性，所以在图形上体现得尤为明显，在研究函数中就有十分重要的地位.

奇函数和偶函数定义：设f（x）的定义域为D，？坌x∈D，都有f（-x）=f（x），称f（x）为偶函数；设f（x）设的定义域为D，？坌x∈D，都有f（-x）=-f（x），称f（x）为奇函数[1].

函数奇偶性的题型及分值情况从上表可以看出，函数奇偶性是近两年来高考数学考查的常考点，这类题目的考点主要考查奇函数和偶函数的定义及其等价形式，还有函数奇偶性与函数其他性质的综合应用，因此学生应熟练掌握奇函数和偶函数的定义及其等价形式，以及函数的其他性质.这样，在解题过程中，就会举一反三，给解题带来简便，在高考中才会有充足的时间解答其他题目.函数奇偶性的问题总体来讲还是较简单的，但是简单的题目更容易丢分，因此考试时切不可粗心大意，下面将以近两年的部分高考题目作为实例，谈谈函数奇偶性在高考中常出现的几种题型.

2.函数奇偶性的应用

2.1直接用定义判断函数的奇偶性

求解这类题目，可以先求出函数的定义域，接下来判断所得出的定义域是否关于原点对称，如果满足，再根据f（x）与f（-x）的关系来确定f（x）的奇偶性；反之，则无奇偶性可言[2].

解：选项A的定义域为[0，+∞）；不满足奇函数的条件，从而不是奇函数；同理，B、C选项均不满足，故答案选D.

小结：当函数为分段函数时，要判断其奇偶性，先分段来看f（x）与f（-x）的关系，当且仅当，所有的区间都满足同样的关系，才可以真正判断其函数的奇偶性，一般对于简单的分段函数来说，尽可能地作出函数的图像，根据图像分析问题，直观明了.比如：2014年湖北—文科卷第9题.

2.2奇偶性在指数函数与对数函数中的应用

高考对指数函数和对数函数知识点的单独考查并不是很多，但最近几年有加强之势.

性质：（1）指数函数y=a=（a>0且a≠1）图像一定过点（0，1）；当a>1时，f（x）在R上单调增；当a∈（0，1）时，f（x）在R上单调减.（2）对数函数y=logx（a>0且a≠1）图像一定过点（1，0），当a>1时，f（x）单调增；反之0

小结：以上两道题主要考查函数奇偶性在指数型函数与对数型函数中的应用，由f（x）与f（-x）的关系进而求出参数，从而得出具体函数解析式，接下来的问题就迎刃而解了.

2.3奇偶性在幂函数中的应用

幂函数是基本初等函数之一，常以简单题型出现在高考试题中，在求解时主要是利用图像、性质及定义判断一个函数是否为幂函数.

幂函数的奇偶性：设指数α=±（是最简分数），有以下几种情形：

（1）当m和n都是奇数，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x是奇函数；

（2）当m是奇数，n是偶数，xx∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x是偶函数；

（3）当m是偶数，n是奇数，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x无奇偶性.

即答案选B.

小结：充分理解函数的奇偶性及其等价的形式是解决以上问题的关键.

2.4奇偶性在抽象函数中的应用

抽象函数，即没有给出具体的表达式的函数，此类题型通常都会给定某一个函数的定义域，进而求与其相关联的抽象函数的自变量的范围[6].解答这类题的方法：观察题目、把数学语言尽可能地转化为函数图像，以形助数，数形结合，进而巧妙、快速地得出答案.

例6.（2014年新课标Ⅱ）[7]已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）>0，则x的是？摇 ？摇？摇.

解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减且f（2）=0，即f（-2）=0，不等式f（x-1）>0？圳f（x-1）>f（2）？圳f（|x-1|）>f（2）所以|x-1|<2，：-1

小结：解题的关键是去掉函数符号“f”前的符号与去掉函数符号“f”[8].

3.结语

高考对函数奇偶性的考查，除了对定义的考查之外，往往会结合函数的其他性质综合考查学生.关于解决函数奇偶性在高考中的应用的这类题目，虽然本身题目并不是很难，但是对思维的缜密性要求比较高：首先要紧扣定义，从定义域是否关于原点对称和f（x）与f（-x）的关系两方面来考虑；其次要充分利用函数奇偶性和函数图像进行分析转化，比如说对于抽象函数来说，一定要尽量把文字转化为图像，这样就会比较直观且容易解答.

参考文献：

[1]涂光明.中文期刊数据库[J].奇、偶函数概念的拓广.株洲师范高等专科学校学报，2001，6（5）：9-10.

[2]王建立.中文期刊数据库[J].函数定义域在解题中的重要作用，2009，（5）：86-88.

[3]曲一线.5年高考3年模拟B版[M].北京：首都师范大学出版社，2015.

[4]王玲.中学生数理化（高一版）[M].幂函数题型展示，2010（7）：32-33.

[5]崔北祥.2011-2015最新五年高考真题汇编.理科数学.合肥：安徽教育出版社，2014.

[6]刘光东.中学数学杂志（高中版）[J].抽象函数试题研究，2014.

[7]赵淑艳.运城学院学报[N].解决抽象函数问题常用的思想方法，2007，25（2）：104-105.

[8]武增明.数理化学习（高三）[M].求解抽象不等式问题的策略，2010.