一步之遥：平行四边形怎样更特殊？

邓厚波



一步之遥：平行四边形怎样更特殊？

邓厚波

由于中考试卷题量限制，解答题中的平行四边形考题常常设计2～3个小问，而在第2小问往往会增加强化条件，使得图形更加特殊，引导探究走向深入.也有一类考题将条件开放，要求考生经过分析，填出条件并证明，请看两例：

例1（2015·徐州）如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC.

图1

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，EC=3，∠EBD=60°，则AB=_______时，四边形BFCE是菱形.

【思路讲解】

（1）由已知，根据SAS证明△ABE≌△DCF，从而得到BE=CF，∠ABE=∠DCF，根据等角的补角相等得到∠EBC=∠FCB，根据内错角相等两直线平行的判定得到EB∥CF，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”而得证.

（2）若四边形BFCE是菱形，则EB=EC，∵∠EBD=60°，∴△EBC是等边三角形.

∵EC=3，∴BC=EC=3.

【规范解答】

（1）∵AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴BE=CF，∠ABE=∠DCF，

∴∠EBC=∠FCB，∴EB∥CF，

∴四边形BFCE是平行四边形.

（2）3.5.

【反思回顾】这道考题涉及全等三角形的判定和性质、平行的判定、平行四边形的判定、菱形的性质与判定等知识点，第（2）问条件开放，可以由菱形的性质向上“反推”获得思路.

例2（2015·镇江）如图2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点.

图2

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=______°时，四边形BFDE是正方形.

【思路讲解】（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF.

【规范解答】

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，

∴∠BAE=∠BCF，

在△BAE与△BCF中，

∴△BAE≌△BCF（SAS）.

（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，

∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，

∵△BAE≌△BCF，

∴∠EBA=∠FBC，

又∵∠ABC=50°，

∴∠EBA+∠FBC=40°，

故答案为：20.

【反思回顾】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定.第（2）问是条件开放，其实需要“执果索因”，即由正方形出发，向上推理，最终发现待求角度，最后解出20°后，还可再由20°向下推理，看是否能推证出正方形，这也是所谓多角度验证和校对，确保解题正确无误.

（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）