含有对数项混沌系统的动力学分析

张坦通（河南牧业经济学院　信息与电子工程学院，河南　郑州　450044）



含有对数项混沌系统的动力学分析

张坦通
（河南牧业经济学院信息与电子工程学院，河南郑州450044）

利用自然对数函数的特征，构造了一个含有对数项的混沌系统，该系统含有3个参数、1个对数形式和2个乘积形式的非线性项，对该系统的一些动力学特性，如耗散性、平衡点及稳定性进行了系统性分析，结果表明新的对数混沌系统对系统参数的敏感性，揭示了系统具有复杂的动力学特性。

对数；混沌；Maltab仿真；动力学分析

1963年，美国气象学家洛伦茨［1］在研究气象学的基础上提出了混沌理论，自此学者对混沌理论产生了极大的兴趣。半个世纪以来，混沌理论的研究和应用已经在经济学、物理学、信息学、密码学等领域受到了广泛的关注，并成为非线性科学研究领域的一个重要分支，并相继提出了许多新的混沌系统如chen系统、Liu系统、LU系统等［2-4］。近年来，研究学者又开始尝试构造不同类型的混沌系统，如指数混沌系统、分阶数混沌系统、对数混沌系统等，进一步丰富了混沌的动力学理论。该文在LU混沌系统的基础上设计了一个新的具有自然对数函数形式非线性项的混沌系统，通过理论推导、matlab仿真、系统的Lyapunov指数谱及分岔图分析了该系统的动力学特性。

1　对数混沌系统

该文研究构造的对数混沌系统的动力学方程为：

式（1）中，x、y、z为系统变量，a、b、c为系统参数，当a= 28、b=20、c=30时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图1所示。通过数值计算，可得系统的3个Lyapunov指数为LE1=2.772、LE2=0.000、LE3=-12.783，而且系统的维数是分数，因此该系统具有混沌特性。

2　基本动力学分析

2.1耗散性

由于系统的散度为：

图1　混沌系统吸引子相图

2.2平衡点及稳定性

为求系统的平衡点，令系统（1）各式右边等于0，即：

求得系统的平衡点为：

在平衡点s0=（0，0，1）处对系统进行线性化，求得Jacobian矩阵为：

由其特征方程|λI-J=0|可得：

特征值为：

为了使所有的特征值实部为负，则c＞0、a＞b，根据线性系统理论可知此时平衡点s0是渐进稳定的。反之，则可判定平衡点是不稳定的。同理，可判定平衡点s1、s2的稳定性。

2.3Lyapunov指数（LE）谱与分岔图

非线性动力系统的状态主要是由系统参数决定的，为了分析参数变化对系统状态的影响，下面从系统3个方向的Lyapunov指数谱与分岔图来讨论其影响。

①固定参数b=20、c=30，改变参数a，a∈［25，40］。

当a在［25，40］范围内变化时，系统LE谱如图2所示，当a∈［25，26）时，系统的3个Lyapunov指数为：LE1=0，LE2＜0，LE3＜0，此时系统为周期运动；当a∈［26，40］时，除个别点系统的最大Lyapunov指数LE1=0，系统为周期运动，其他点处的Lyapunov指数为：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系统处在混沌状态。当a∈［25，40］变化时，关于x的分岔图如图3所示，从分岔图上也能分析出以上所得结果。

②固定参数a=28，c=30，改变参数b，b∈［10，25］。

当b在［10，25］区间变化时，系统的Lyapunov指数谱如图4所示，当b∈［10，13.2］或［22.2，25］时，系统的最大LE1=0，此时系统为周期运动；当b∈（13.2，22.2）时，除极个别点的最大LE1=0，系统为周期状态，其他点处的Lyapunov指数为：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系统为混沌状态，由图5所示的关于x的分岔图中也能得出相同的判断。

图2　a变化时系统的LE谱

图3　a变化时x的分岔图

图5　b变化时x的分岔图

③固定参数a=28，b=20，改变参数c，c∈［20，60］。

当c在［20，60］变化时，图6为系统的LE谱图，当c∈［20，56］时，除个别点的最大LE1=0，系统为周期的，其他点处的最大LE1均大于0，系统为混沌状态，当c∈（56，60］时，系统最大LE1=0，系统为周期运动，由图7所示的关于x的分岔图中也能得出相同的结论。

图6　c变化时系统LE谱

3　结语

该文研究了一个新的含有对数项的三维自治混沌系统，通过数值仿真、平衡点及稳定性分析、Lyapunov指数谱和分岔图等几个方面，对系统的基本动力学特性进行了分析，证实了系统具有丰富的混沌特性，其结果进一步拓展了混沌理论及其应用的研究领域。

［1］Lorenz EN.Deterministic nonperodic flow［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963（2）：130-141.

［2］Chen GR，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999（7）：1465-1466.

［3］Liu C X，Liu T，Liu L.A New Chaotic Attractor［J］. Chaos，Solitons and Fractals，2004（5）：1031-1038.

［4］王震，孙卫.T混沌系统的动力学分析与同步及电路仿真［J］.物理学报，2013（2）：20511.

Dynamic Analysis of a Chaotic System with Logarithmic Terms

Zhang Tantong
（School of Information and Electronic Engineering，Henan Animal Husbandry Economic College，Zhengzhou Henan 450044）

making use of the characteristic of the natural logarithmic function，the construct containing a logarithmic term of chaotic system.The system contains three parameters，a logarithmic form and two product form of the nonlinear term and the dynamical properties of the system，such as dissipation，equilibrium and stability of the system analysis.The results show that new logarithm chaos system to system parameter sensitivity，reveals the system with complex dynamic characteristics.

logarithm；chaos；Maltab simulation；dynamic analysis

O415.5

A

1003-5168（2016）04-0035-03

2016-03-08

张坦通（1983-），男，硕士，助教，研究方向：非线性电路与智能信息处理。