基于ARMA模型预测股票价格的实证分析

孟　坤，李　丽

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)



基于ARMA模型预测股票价格的实证分析

孟坤，李丽

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)

目的基于ARMA模型的基本理论，建立合理的ARMA模型，以上证综合指数为例对股票价格进行拟合预测和实证分析。方法首先，利用Eviews软件对原始数据序列进行单位根检验，判断原始数据序列是否具有平稳性；若非平稳，则需对原始序列作一阶差分处理，再次检验差分后序列的平稳性；其次，用自相关图与偏自相关图识别序列的模型形式对已识别的ARIMA(2,1,2)模型进行参数估计，包括估计模型的系数及判别模型的阶数；最后，运用所建立的模型对上证综合指数日收盘价进行高精度拟合预测。结果结果表明原始数据序列是非平稳性序列，但一阶差分后的序列是平稳的；模型的残差检验显示ARIMA(2,1,2)模型是有效的，预测下一个工作日上证综合指数每日收盘价的价格是3 642.47，与实际值相差较小，说明所建立的ARMA模型具有一定的准确性。结论ARMA模型比较适合于进行短期预测，同时结合Eviews软件可以使得计算过程变得简便、准确。研究上证综合指数日收盘价的短期变动情况对预测股价未来趋势和制定投资策略具有现实意义，能够为投资者和决策者提供可靠的信息服务及决策指导。

时间序列；ARMA模型；股票价格预测；Eviews

生活中有很多问题都可以看成是时间序列问题，例如银行利率波动、股票收益率变化以及国际汇率变动等问题。所谓的时间序列问题，是指某一统计对象长时间内的数值变化情况。在实际应用中，经常会遇到许多不满足平稳性的时间序列数据，尤其是在经济、金融等领域。因此，能否有效地挖掘非平稳时间序列的有用信息，对于解决一些经济、金融领域的问题显得尤为重要。目前关于预测股票价格的研究文章有很多，这些已有研究大都采用回归分析、组合预测等方法对股票价格未来变动值进行探讨，得出股票价格在未来短期内的变化趋势及预测值，但预测结果并不非常精准，存在较大的误差。ARMA模型不仅可用于拟合平稳性时间序列问题，而且对非平稳时间序列问题同样具有良好的拟合效果，尤其是在金融和股票领域应用最为广泛。

本文主要针对2015-01-05至2015-12-18(共计234个工作日)期间上证综合指数每日收盘价的预测问题，建立上证综合指数每日收盘价预测模型，采用ARMA模型对上证综合指数每日收盘价进行高精度的拟合预测。研究结果表明，上证综合指数每日收盘价在短期内将保持平稳上涨，不会有大幅涨跌的情况。研究上证综合指数每日收盘价的短期变动情况了解股票市场变化及制定投资决策具有现实意义，能够为投资者和决策者提供可靠的信息服务及决策指导。

1　ARMA模型的理论介绍及平稳性检验

1.1ARMA模型的理论介绍

1)AR模型是指利用以前的观察值和当前的干扰值并通过一定的线性组合来进行预测与分析。AR模型的数学公式为:

式中：yt为一个平稳时间序列，φi(i=1,2,…,p)表示AR模型的待定系数，p表示AR模型的阶数，εt为误差。

2)MA模型是利用以前的干扰值和当前的干扰值并通过一定的线性组合来进行预测。MA模型的数学公式为:

式中：yt为平稳时间序列，θj(j=1,2,…,q)表示MA模型的待定系数，q表示MA模型的阶数，εt为误差。

3)ARMA模型：是由AR模型和MA模型组合而成，主要用于描述平稳随机过程，数学公式为:

1.2ARMA模型的定阶方法

一般而言，可以根据序列的自相关系数与偏自相关系数选择合适的模型。(1)：若自相关系数为拖尾，偏自相关系数为p阶截尾，则选择AR(p)模型；(2)：若自相关系数为q阶截尾，偏自相关系数为拖尾，则选择MA(q)模型；(3)：若自相关系数和偏自相关系数都为拖尾，则选择ARMA(p,q)模型[1]。如果难以确定ARMA模型的阶数，还可以通过AIC准则来确定。

1.3ARMA模型的平稳性检验——ADF检验

ADF检验的基本思想：首先对

作回归，构造ADF检验统计量[2]：

计算出ADF检验统计量后，查ADF临界表，看是否可以拒绝原假设δ=0。若ADF的绝对值超过ADF临界值的绝对值，则不接受原假设δ=0；反之，则选择接受原假设δ=0，说明该序列非平稳。

2　上证综合指数每日收盘价的实证分析与预测

在网易财经网(http://quotes.money.163.com/trade/lsjysj_zhishu_000001.html)查找上证综合指数每日收盘价的历史数据，时间区间是2015-01-05至2015-12-18，共有234个工作日。主要是基于ARMA模型的建模理论，建立上证综合指数每日收盘价预测模型，研究上证综合指数每日收盘价的短期变动情况。

2.1原始数据的平稳化处理

图1　上证综合指数每日收盘价历史数据　　　　　　　　　　图2　一阶差分后的序列图

图3　原始数据序列的ADF检验结果

从图1可以看出，上证综合指数每日收盘价在2015-01-05至2015-12-18期间内是非平稳的时间序列，但对原始数据进行一阶差分后的序列却可能是平稳的(图2)。

首先对原始数据序列进行ADF检验，检验结果如图3。由图3可知，在显著性水平为0.01条件下存在单位根，故接受原假设，即原始数据序列是非平稳的。

图4　一阶差分序列的ADF检验结果

此外，还需要利用ADF检验来检验原始数据一阶差分序列的平稳性，若ADF检验结果未通过，则该一阶差分序列是非平稳的。ADF检验结果如图4所示，ADF检验统计量为-13.469 04，其绝对值超过1%的显著水平下临界值-3.998 997的绝对值，因此不接受原假设，一阶差分后的序列是平稳的[3]。

2.2利用自相关图与偏自相关图识别序列的模型形式

从图5可以看出：股票收盘价的相关系数减弱较慢，说明上证股票收盘价的历史数据序列是非平稳的。由图6可知，一阶差分后序列的自相关图与偏自相关图的拖尾性十分显著，所以应该利用ARMA模型的建模理论建立模型，最后模型中的p,q值则需要利用P值和AIC准则加以确定。

图5　收盘价的自相关与偏自相关图　　　　图6　一阶差分后序列的自相关与偏自相关图

由图6可知：由于自相关系数和偏自相关系数均是2阶拖尾，因此选取如下4种ARMA模型进行比较，这4种模型分别是ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(2,1,1)及ARIMA(2,1,2)(图7)

ARIMA(1,1,1)　　　　　　　　　　　　　　　ARIMA(1,1,2)

ARIMA(2,1,1)　　　　　　　　　　　　　　　ARIMA(2,1,2)

根据上面4个模型的检验结果并结合AIC准则和P值这两项检验结果可得：在ARIMA(2,1,2)模型中，由于AR(2)和MA(2)的系数比较显著且它们所对应的P值都为0，而且该模型的AID值比较小，因此可用ARIMA(2,1,2)模型对原始数据序列进行建模及预测分析[4]。

2.3上证综合指数收盘价序列模型的建立与参数估计

通过前面对模型的识别与选择，认为建立ARIMA(2,1,2)模型是最佳的选择。如图7中的ARIMA(2,1,2)所示，是ARIMA(2,1,2)模型的参数估计结果及模型的检验结果，从图中可以看出在ARIMA(2,1,2)模型的参数估计中，AR(2)和MA(2)所对应的P值都趋于0，但是常数项C对应的P值为0.884 0，并不趋于0。因此需要去掉常数项C，重新对ARIMA(2,1,2)模型进行估计和残差检验[5]，其结果如图8所示：

图8　ARIMA(2,1,2)建模结果

由图8可知：除去常数C后，重新对模型进行参数估计和残差检验，结果表明模型的系数比较显著，且AIC值变得更小了，说明去掉常数项C后的ARIMA(2,1,2)模型更加准确。下面是该模型所对应的数学表达式：

Xt=-0.9201Xt-1+εt+0.8035εt-1

式中εt为残差序列。

2.4收盘价序列模型的残差检验

如果一个残差序列是白噪声，则该残差序列中的有用信息已被提取完；反之，则说明还存在部分未被提取的有用信息，还需要对模型做进一步的改进；若残差序列的自相关系数均在随机区间内，则该残差序列是白噪声。残差序列[6]的检验结果如图9所示：

图9　ARIMA(2,1,2)模型残差相关图　　　　　　　　　　图10　ARIMA(2,1,2)模型拟合图

由图9可知：由于P值都大于0.05，说明所有Q值都小于0.05的检验水平下的卡方分布临界值，该模型的残差序列为白噪声，因此可以确定该模型的拟合效果较好。

2.5收盘价序列模型的预测分析

用已建立的ARMA模型对上证综合指数未来几日的收盘价进行短期预测，预测未来1个工作日上证综合指数每日收盘价。

图11　序列动态预测图　　　　　　　　　　　　　　　　　图12　动态预测效果图

如图11、12所示，由于动态预测值大致为直线，说明动态预测效果并不理想[7]。

图13　静态预测图

下面开始进行静态预测，如图13所示，预测值仍在AFF中[8]，所以本文所建模型的静态预测效果比较理想。

经过向前1步预测，可以得到未来1个工作日的预测值为63.51，考虑上1个工作日(2015-12-18)的收盘价为3 578.96，可以得出未来1个工作日(2015-12-21)上证综合指数日收盘价为3 642.47，而2015-12-21实际的上证综合指数日收盘价是3 631.2，预测值与实际值相差较小，说明所建立的ARMA模型具有一定的准确性。

3　结　论

本文基于ARMA模型的建模理论[9-12]，采用ARMA模型对上证综合指数日收盘价进行高精度的拟合预测和实证分析，研究上证综合指数日收盘价的短期变动情况。

从原始数据可以看出,2015-01-05至2015-12-18(共有234个工作日)期间上证综合指数日收盘价总体上呈先上升后急剧下降的趋势。其中上半年上证综合指数日收盘价显著上升，但6月份至12月份却大幅下降。这主要是由于今年国内股市剧烈变动所致，可见国内的股票市场仍存在非常大的起伏和波动，尤其是短时间大范围的股价剧烈变动。基于本文所建立的ARIMA(2,1,2)模型并对上证综合指数日收盘价进行拟合预测和分析,结果表明在未来一段时期内上证综合指数日收盘价仍会在低位有小幅变化，短期内上证综合指数日收盘价不会有大幅度增长。但从未来长期的整体趋势来看,上证综合指数日收盘价将会保持持续上涨。这可能的原因有：第一，政府出台一系列针对股市的宏观调控政策；第二，国民经济持续保持稳步增长。上证综合指数每日收盘价在短期内将保持平稳上涨，不会有大幅涨跌的情况，这是由于政府出台的调控股市的政策发挥了一些作用。

总之，ARMA模型对预测非平稳时间序列数据具有很好的效果，同时结合Eviews软件进行ARMA模型的建立与求解，能够为投资者和决策者提供可靠的信息服务及决策指导。

[1]郭雪，王彦波.基于ARMA模型对沪市股票指数的预测[J].Economic﹠Trade Update，2006,48(04):58-59.

[2]邓军，杨宣，王玮，等.运用ARMA模型对股价预测的实证研究[J].企业导报，2010，(06):266-267.

[3]贾澎涛,何华灿,刘丽.时间序列数据挖掘综述[J].计算机应用研究，2007,24(11):15-18.

[4]李琼.基于ARMA-GARCH模型的时序数据挖掘研究[D].合肥：合肥工业大学，2011.

[5]黄俊，周猛，王俊海.ARMA模型在我国能源消费预测中的应用[J].统计与决策，2004,180(12):49-50.

[6]阳光宏义，陈平，朱梅.股票指数的时间序列模型分析[J].数学实践与认识，2006,36(08):8-9.

[7]欧廷皓.基于ARMA模型的房地产价格指数预测[J].统计与决策,2007，(07):92-93.

[8]何永沛.ARMA模型参数估计算法改进及在股票预测中的应用[J].重庆工学院学报,2009,23(02):109-112.

[9]何树红，陈浩.基于非参数模型对上海股市收益率的实证分析[J]．云南民族大学学报：自然科学版，2010，19(03)：162-165.

[10]范玉妹，玄婧．ARMA算法在GDP预测中的应用[J].江南大学学报：自然科学版，2010，(06):736-740.

[11]李美，干晓蓉，刘新乐．ARIMA模型在股价预测上的应用及其傅里叶修正[J].云南师范大学学报，2011,31(05)：50-55.

[12]Hu X T，Wang H，Xu L，et al.Predicting stock index increments by neural networks：The role of trading volume under different horizons[J].Expert Syst Appl，2008，34(04)：3043-3054.

[责任编辑：刘守义英文编辑：刘彦哲]

Empirical Analysis of Stock Price Based on ARMA Model

MENG Kun，LI Li

(School of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

ObjectiveFor the prediction of Shanghai composite index future short-term closing price,based on the basic theory of ARMA model,a reasonable ARMA model fitting prediction is established and empirically analyzed by taking the Shanghai composite index daily closing price forecasting as an example.MethodsFirst,Eviews software of original data sequence of unit root test was used to judge whether the original data sequence was stationary;If it was not stable,the original sequence as a first-order differential needed further processing,and the stability of the sequence difference was re-inspected.Second,self-correlation diagram and partial self-correlation diagram of the recognition sequence model were used to evaluate the parameters of the identified ARIMA(2,1,2)model,including the estimated coefficients of the model and discriminant model order.Finally,The established model was used to predict the fitting of the Shanghai composite index daily closing price with high precision.ResultsResults showed that the original data series was non-stationary series,but points after the first-order difference sequence was stationary;examination of the residuals of the model showed that ARIMA(2,1,2)model was effective to predict a work.The Shanghai composite index daily closing price was predicted to be 3642.47 and closer to actual value,indicating that the ARMA model was established with a certain degree of accuracy.ConclusionARMA model is more suitable for short-term prediction,and the combination of Eviews software can make the calculation process simple and accurate.Study on the Shanghai composite index daily closing price of short-term changes is of practical significance to forecast the future stock price trends and formulate investment strategy,and it can provide reliable information services and policy guidance for investors and policy-makers.

time series;ARMA model;stock price forecasting;Eviews.

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.05.011

国家自然科学基金项目(11301001)；安徽财经大学教研项目(acjyzd201429)

孟坤(1994-)，男，安徽阜阳人，安徽财经大学在读学生，研究方向：经济数学。

李丽(1980-)，女，安徽蚌埠人，讲师，硕士，安徽财经大学应用数学系教师，研究方向：应用数学与数学建模。

F 290

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来稿日期：2016-03-11