导数在实际生活中的最优化应用

摘 要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。

关键词：导数；实际生活；最优化应用

中图分类号：O172 文献标识码：A 收稿日期：2016-03-21

作者简介：王建权（1971—），男，河南巩义人，讲师，本科，河南省巩义市第三中等专业学校教师，研究方向：中职数学教育。

一、引言

将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。

二、导数知识概念的有关分析

导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。

对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。导数的应用中，很多领域的最优化问题都可以利用相应的导数来解决。例如，在工业生产中，如何最大限度地提高工业生产效率，节约生产成本等，这些都可以归属于最优化问题，同时也都可以利用导数来解决。在具体应用的过程中，利用导数解决最优化问题时要从以下几个步骤来入手：首先，对实际问题进行全面分析，就其中的关键量重点加以明确，并对不同关键量之间的关系进行仔细分析，结合分析结果构建数学模型，列出不同变量的函数关系，结合具体情况，对变量范围进行划分，制订出定义域。其次，根据函数关系来完成求导的过程，并且对具体的极值点、实根以及不可导点进行确定。通过对不同极值点、实根以及不可导点中不同函数值的计算，再采取相应的对比方式，实现对最小值或者最大值的求解。最后，再根据求解的结果，结合实际问题，分析和解决实际问题，这是最优化问题的求解过程。在解决导数问题解的过程中，最优化问题的分析需求也是不尽相同的，分析过程要确保结合实际，要忽略一些与实际脱节的值。在定义域的确定上，要结合函数关系，确保自变量处于有效区间之内，进而提高函数值的有效性。另外，一些具体的最优化问题中，很有可能会出现有效值只有一个点的情况，那么就可以对这一点加以确定，视其为最值。下文就对一些实际生活中的最优化案例中导数的应用进行分析。

三、应用案例分析

案例1：某服装工厂在生产服装的过程中，为了满足不同的市场需求，将所生产服装按照相关质量标准分为12个档次标准。例如，质量标准最低的服装产品的生产时间最短，每一件服装产品本身可以获得5元的利润。而高一个标准的服装产品，在生产中每件的利润则可以达到15元，但是在相同时间内的生产量相比低档次服装来说会减少5件。结合实际环境条件，假设在一定时间内，最低标准服装的生产数量为100件，则结合实际情况回答什么情况下总利润可以实现最大化？其中可以获得多少利润？

解答：对于这些最大化问题的求解上，我们可以利用求导发来对函数的最值进行分析，从而解决问题。在实际应用中要关注对定义域的严格限制。假设生产到第n种标准衬衫时可以获得最大的利润为m。根据题目给的条件进行分析，可以得出函数m=[10+5（n-1）][100-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。对于这一函数进行求导，可以得出m=25（21-n）-25（n+1）=50（10-n），m=50（10-n）=0。通过求解，可以得到n=10，在1～12的区间内，极值点只有10一个点，因此可以将其视为最值点，进而得出结果：在生产10标准的衣服可以获得最大利润3025元。这种针对实际问题采取优化解决方案，可采取函数、指数的分析模式，应用导数的过程中可以更加有效地分析相关最大利润方面问题，进而解决问题。

实例2：某矿厂在日常开采和生产的过程中，每月的产量可以达到x吨，每吨矿的价格为n元，二者之间的关系通过公式表示可以表示为：n=24200-1/5x2，并且开采x吨矿的成本为m=50000+200x。已知上述条件，问：为了更好地提高利润，每个月的产量应该定位为多少？其利润最大值为多少？

解答：根据上述题目中所叙述的条件，可以利用函数关系式来解答，并结合导数最值的方式进行求解。f（x）=（24200-1/5x2）×（50000+200x）=-1/5x2+24000x-50000。x为产量，其应该具备x≥0的条件。通过求解可以得出，x=200。在函数f（x）中，极值点有200和-200两个点，由于x≥0，则去掉x=200。在x=200时，将f（200）代入计算可得结果利润为315万元。因此，将月产量定位200吨时，可以获得最大利润315万元。这种解题方式，通过对极值点进行计算，结合定义区间的条件来进行筛选和选择，进而达到求最值的目的。

实例3：某包装厂在制作一种圆柱形的包装时，在确定包装容积的情况下，应如何确定半径、高和底，从而更好地减少包装中的材料使用量？

解答：根据上述题目中所叙述的条件，假设圆柱的底半径为R，圆柱高为h，根据表面积计算公式得出s=2πRh+2πR2。

由V=πR2h，得h=—，则S（R）

=2πR—+2πR2=—+2πR2

令s'（R）=-—+4πR-0

解得，R=3√—，从而h=—=—=3√—=23√—

即h=2R

根据分析结果可以得知，其结果的最小值只有一个：在圆柱体的高等于地面半径的二倍时，可以对表面积进行最小化控制，以减少材料的消耗。

实例4：某厂房在扩建的过程中，需要建设一个矩形库房，库房的面积设定为512平方米，现阶段库房建设中，可以对一侧墙壁进行利用，为了提高墙壁的利用，减少材料消耗，问如何对其长宽进行规划，才能达到这一目的？

解答：根据上述题目中所叙述的条件，我们经过分析得知，要想达到材料最省的目的，就需要对墙壁的总长度进行控制。假设场地的边长为n米，另一边的边长则为512/n米，因此墙壁的总长度应该为L=2x+512/n米，其中边长n满足n>0的条件。通过对这个函数求导，L'=2-512/n，通过取L'=0，可以得出结论n=±16米，由于n>0，则可以得出结果n=16，512/n=32米。因此，在宽度设置上应该设置为16米，长度为32米，这样可以达到题目所要求的材料最省的目的。

案例5：小明开车去周边城市的朋友家找朋友，他驾驶自己新买的小汽车，以匀速行驶。在行驶过程中，每小时的油耗为n升，汽车的行驶速度为m（km/h），n=1/12800m2-3/80m+8，汽车行驶速度最高不得超过120km/h。假如小明家离朋友的距离为100千米，则求小明在行驶过程中的速度为多少时，可以达到对油耗的有效控制？并且求最低油耗可以达到多少。

解答：根据上述题目中所叙述的条件，我们经分析得知，小明的汽车驾驶时长为100/m，假设其油耗量为h（m），根据题目可以得出函数：

h（m）=（1/12800m2-3/80m+8）100/m。

H'（m）=m/640-800/m2。

令h'（m）=0，可以得出结果m=80。通过分析我们可以推导，在m小于80时，函数为减函数，在m大于80时，函数为增函数。因此，我们可以得出结果，小明保持匀速80km/h行驶速度的过程中，可以获得更低油耗，通过代入m=80，h（80）=11.25，最低油耗为11.25L。

四、结束语

总而言之，在解决实际生活中一些问题时，导数的应用意义是毋庸置疑的。在广泛应用的过程中，我们要重视对导数问题的深入研究。在解决实际问题中，倒数的应用要对不同变量的关系进行明确，通过对函数关系式的构建，确保求导方式的合理，找到解决最优化问题的有效途径。在导数应用的过程中，解决最优化问题是导数重要的应用形式其求解的思路和过程也是在长期的实践过程中产生的。本文通过对生活中一些最优化案例中导数应用的问题进行了探究，以期更好地为利用导数解决实际生活问题提供帮助。

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