位置扰动对激发介质中螺旋波动力学行为的影响

戴静娱，张学良，邓敏艺，谭惠丽

(广西师范大学物理科学与技术学院，广西桂林541004)



位置扰动对激发介质中螺旋波动力学行为的影响

戴静娱，张学良，邓敏艺，谭惠丽

(广西师范大学物理科学与技术学院，广西桂林541004)

摘要：本文在Greenberg-Hastings 激发介质元胞自动机模型规则网格基础上施加位置扰动，以此模拟激发介质中激发元之间相互作用距离的改变。计算机数值模拟结果表明：对于在规则网格下产生的稳定螺旋波，施加位置扰动后发现，螺旋波斑图的稳定性与元胞位置扰动的幅度有关，不同幅度的元胞位置扰动导致稳定螺旋波发生两种不同的变化：漫游后形成新的稳定螺旋波；漫游后从系统中消失。通过波头运动轨迹和系统激发比率的变化来简要分析产生这些现象的原因。

关键词：激发介质；螺旋波；位置扰动；元胞自动机模型

0引言

螺旋波是系统远离平衡态时自组织形成的一类特殊斑图，它广泛存在于可激发介质中[1-3]。心脏是一种复杂的耦合非均匀可激发系统。正常情况下，心脏电信号由窦房节发出并以靶波的形式在心脏中传播，某些情况下靶波断裂形成螺旋波，导致心率过速[3]；螺旋波失稳导致系统进入时空混沌，对应着心颤，能致人猝死[4]。目前成熟的除颤方法是施加瞬时高压将心脏打停，然后再令心脏重新搏动。这种方法不仅危险，而且给患者带来极大痛苦。如果掌握了螺旋波的运动规律，理论上5 mV的低压就可以将螺旋波从心脏中消除[5]，因此数十年来，螺旋波的动力学行为已成为非线性科学的研究热点[6-9]。

生理或病理的原因可导致激发介质的性质发生局部乃至全部的变化，导致系统异质性的出现，并对系统的非线性波演化行为产生影响。例如，由于介质中异质性结构的存在，介质中漂移或漫游的螺旋波被吸引甚至钉扎在局域缺陷的位置[10]，而且小异质颗粒的存在容易导致稳定螺旋波破碎而形成空间无序时间有序的迷宫斑图[11]。何岱海等[12]在非均匀可激发介质中研究了小世界网络连接对螺旋波动力学行为的影响，发现适当的随机重连有利于非均匀激发介质中螺旋波的维持，并认为其原因在于适当的随机重连改善了介质的均匀性。A. Feldman等[13]在随机离散网格上研究了离散双变量非均匀可激发介质中元胞位置随机分布对螺旋波稳定性的影响，发现当元胞位置发生随机性重置后，在原来规则网格系统中不能维持的螺旋波变得稳定，且螺旋波的稳定性随位置随机性重置的幅度增大而增强。在文献[13]的工作中，元胞的邻居仍分布在邻居半径范围内，因此该位置重置只能改善系统的元胞分布均匀性，但不能模拟心肌细胞间不同距离的相互作用。实验结果表明，哺乳动物心肌细胞间跨缝连接的方向并非如规则网格那么整齐划一，而心肌病变不仅可引起系统异质结构(如梗死区)的出现，还可导致细胞间连接方向、相互作用距离的改变[14-16]。为了模拟这些改变，本文考虑位置扰动后细胞之间的邻居关系不变，但邻居的分布范围随扰动幅度变化而变化的情况，探讨细胞位置扰动对螺旋波动力学行为的影响。

元胞自动机(cellular automata，简称CA)是时间、空间、状态都离散的数值计算方法，具有高度并行的特点，并且程序设计简单，边界条件容易满足，因此得到广泛应用[17-19]。Greenberg-Hastings元胞自动机模型是一种简单的激发介质CA模型[20]，其可靠性通过了实验的检验[21]。本文在Greenberg-Hastings元胞自动机模型的规则网格基础上施加元胞位置扰动，研究位置扰动对稳定螺旋波动力学行为的影响：数值计算模拟螺旋波斑图演化与位置扰动幅度之间的关系；数值计算研究不同位置扰动幅度对螺旋波波头轨迹的影响和对系统激发比率的影响，并分析产生这些影响的原因。

1模型

将系统划分为300×300个规则的四方网格，元胞均匀地分布在四方网格的交点上，最近邻元胞之间的距离为1。采用扩展的Moore邻居，当邻域半径为R时，中心元胞共有(2R+1)2-1个邻居。时刻t、格位r的元胞状态ψ(r，t)在集合{0，1，2，…，n-1}中取值，n称为状态数。ψ(r，t)=0代表静息态，ψ(r，t)=1代表激发态，ψ(r，t)=2，…，n-1代表不应态。状态间的演化规则如下：

①如果ψ(r，t)是激发态或不应态，则ψ(r，t+1)=ψ(r，t)+1 modn。

②如果ψ(r，t)是静息态，则只有其邻域范围内处于激发态的元胞个数达到K以上(包括K)，格位r的元胞才能在下一时步被激发为激发态，否则保持静息态。K称为激发阈值。

在实际的心肌系统中，心肌细胞的分布并不是那么规则的网格，且心肌病变可引起细胞之间作用距离的改变。为模拟更真实情况下的心肌组织，在以上建立的规则网格基础上令元胞位置发生一定幅度的扰动[13]，使元胞坐标由整数型的(i，j)变为小数型的(xi，yj)，其中xi=i+δ(i，r1)，yj=j+δ(j，r1)，δ(i，r1)与δ(j，r1)是取值范围为[-r1，r1]的随机数，r1称为扰动幅度。本文与文献[13]的不同之处在于：若以A和B标记任意两个在规则网格下相互作用的元胞，那么在施加了位置扰动后，不管A与B之间的距离增大还是减小，它们仍然相互作用。显然，位置扰动后元胞的邻居数目不变，但邻居分布范围随着扰动幅度的增大而增大，所以本文的位置扰动能反映细胞间作用距离的变化。

2数值模拟结果及分析

首先在参数为n=10，K=30，r=7的规则网格下产生稳定螺旋波：初始时(t=0)在系统底部边界产生一列行波，当行波运动到系统中间时(t=27)，将其截断，演化一段时间后形成稳定的螺旋波(图1(a))。从图1(a)中看出，元胞规则分布时模型中产生的螺旋波波纹间隔均匀。

2.1位置扰动对螺旋波演化斑图的影响

为了研究元胞位置扰动对稳定螺旋波演化行为的影响，在得到图1(a)的稳定螺旋波后，令系统中40%(其他比例亦可得到类似结果)的元胞在t=327时步开始发生幅度为r1的位置扰动，观测不同扰动幅度r1下螺旋波动力学斑图的演化行为，结果见图1(b)～(f)。

数值模拟结果显示，随着元胞位置扰动幅度的加入，稳定螺旋波斑图发生如下变化：加入位置扰动后，当扰动幅度较小时(01.6)，新螺旋波的波长足够大以至于波头溢出系统，螺旋波消失(图1(e)、(f))。为了进一步分析螺旋波在扰动前后的动力学行为，本文对扰动前后螺旋波的波头轨迹进行跟踪和分析。

2.2位置扰动对螺旋波波头轨迹的影响

图中黑色代表激发态，白色代表静息态和不应态。图1　不同r1下不同时刻的螺旋波斑图Fig.1　The spiral waves pattern at different time under different r1

螺旋波波头是螺旋波的组织中心，它决定着螺旋波的动力学行为。在本文的模型中，波头位置的定义是元胞自身为激发态且其半径为1的范围内同时具备激发态、不应态和静息态邻居的位置。为了分析位置扰动对螺旋波演化行为的影响原因，本文跟踪了扰动前后系统波头的运动轨迹，通过波头的运动进一步分析扰动前后螺旋波的动力学行为变化。数值模拟结果表明：加入位置扰动前，波头作近似于圆周的周期运动，见图2(a)；当施加小幅度扰动(01.6)时，螺旋波漫游后最终从系统中消失。在螺旋波先漫游后消失的过程中，观察到两种较为有趣的漫游方式：圆滚线漫游和直线漫游。当位置扰动幅度为1.66.0时，由于扰动幅度较大，已经足以完全破坏波头的稳定性，于是螺旋波作无规律漫游，然后从系统消失。

图2　不同r1下螺旋波波头轨迹Fig.2　The trajectory of spiral wave tip under different r1

2.3位置扰动对系统激发比率的影响

系统的激发性是维持靶波、螺旋波等非线性波的必要因素。在图1和图2中所发现的加入位置扰动后出现螺旋波漫游乃至消失的现象，可以通过系统激发比率的变化来得到解释。系统激发比率J(t)定义为t时步系统中激发态元胞个数与系统元胞总数之比。本文对扰动前后系统的激发比率进行记录，数值模拟结果发现施加位置扰动前稳定螺旋波的激发比率随时间作周期性震荡(见图3(a))，而施加位置扰动后，系统激发比率随位置扰动幅度的不同而发生不同的变化：①当扰动幅度为01.6时，施加位置扰动后系统激发比率快速下降，经过一段时间无规律震荡后减为零，说明系统激发性完全消失，如图3(e)、(f)所示。图3表明本文所考虑的位置扰动对系统激发性有增强和减弱的双重作用。位置扰动对系统激发性的双重作用源自位置扰动使相互作用的元胞距离发生了变化：当扰动幅度较小时，位置扰动主要实现了元胞分布的均匀化，因此增强了系统的激发性[13]；当扰动幅度较大时，位置扰动实现了细胞间的长程连接，而幅度足够大的随机长程连接降低系统激发性[12]，因此在幅度足够大的位置扰动下系统的激发性大大减弱，甚至为零。

图3　不同r1下系统激发比率随时间的变化Fig.3　The relation between the excitation ratio and the time under different r1

3结论

本文对Greenberg-Hastings元胞自动机模型中完全规则分布的元胞施加不同幅度的位置扰动，以扰动幅度的大小反映元胞间相互作用距离的远近，探讨了元胞位置扰动对稳定螺旋波动力学行为的影响，数值模拟发现：①只要加入位置扰动，均可引起螺旋波斑图的变化，使原本稳定的螺旋波经历漫游过程后形成新的稳定螺旋波或漫游后消失。②在位置扰动导致的螺旋波漫游后消失的现象中，漫游的方向带有随机性。观察到两种由于长程连接而引发的漫游方式：圆滚线型漫游和直线型漫游。当扰动幅度较小时(1.66.0，螺旋波原来的圆形波头轨迹模式因被完全打破而作无规律漫游并最终从系统消失。③位置扰动施加前后系统激发比率变化结果表明：当扰动幅度足够小时，扰动后系统的激发比率明显升高，说明在完全规则网格的情况下，微小幅度的位置扰动增强了系统的激发性；当扰动幅度足够大时，施加位置扰动后系统激发比率降低，而且位置扰动幅度越大，激发比率降低的幅度也越大，直至降低为零，说明过大的位置扰动能极大地降低系统的激发性，甚至导致系统激发性为零。本文考虑的位置扰动虽然不改变规则网格下的元胞邻居个数，但改变了邻居的分布范围，因此当扰动幅度较小时，位置扰动具有增强元胞分布均匀性的作用[13]；当幅度较大时，位置扰动实现了元胞间的长程连接，而足够大范围的长程连接具有降低系统激发性的作用[12]，因此出现了位置扰动后系统激发性升高和降低两种截然不同的情况。

参考文献：

[1]GERHARDT M， SCHUSTER H， TYSON J J. A cellular automaton model of excitable media including curvature and dispersion[J]. Science， 1990， 247(4950)： 1563-1566.

[2]DAVIDENKO J M， KENT P F， CHIALVO D R， et al. Sustained vortex-like waves in normal isolated ventricular muscle[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences， 1990， 87： 8785-8789.

[3]DAVIDENKO J M， PERTSOV A V， SALOMONSZ R， et al. Stationary and driftingspiral waves of excitation in isolated cardiac muscle[J]. Nature， 1992， 355： 349-351.

[4]NASH M P, PANFILOV A V. Electromechanical model of excitable tissue to study reentrant cardiac arrhythmias[J]. Progress in Biophysics and Molecular Biology， 2004， 85(2)： 501-522.

[5]欧阳颀. 反应扩散系统中螺旋波的失稳[J]. 物理， 2001， 30(1)： 30-35.

[6]CHEN J X, HU B. Spiral breakup and consequent patterns induced by strong polarized advective field[J]. Europhysics Letters， 2008， 84(3)： 34002.

[7]LIU G Q， WU N J， YING H P. The drift of spirals under competitive illumination in an excitable medium[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2013， 18(9)： 2398-2401.

[8]钟敏，唐国宁.限制钾离子电流抑制心脏中螺旋波和时空混沌[J].广西师范大学学报(自然科学版)，2010， 28(2)： 6-8.

[9]马军，应和平，李延龙，等.混沌信号驱动实现螺旋波和时空混沌抑制[J].郑州大学学报(理学版)，2006，38(1)： 45-49.

[11]戴瑜， 韦海明， 唐国宁. 非均匀激发介质中螺旋波的演化[J]. 物理学报， 2010，59(9)： 5979-5983.

[12]HE D H， HU G， ZHAN M， et al. Pattern formation of spiral waves in an inhomogeneous medium with small-world connections[J]. Physcial Review E， 2002， 65(5)： 055204.

[13]FELDMAN A， YIN J Z， SAXBERG B E H， et al. Vortex wave stability in homogeneous excitable media： Simulations on a randomized discrete iscrete lattice[J]. Engineering in Medicine and Biology Society， 1995， 1： 25-26.

[14]DILLON S M， ALLESSIE M A， URSELL P C， et al. Influences of anisotropic tissue structure on reentrant circuits in the epicardial border zone of subacute canine infarcts[J]. Circulation Research， 1988， 63(1)： 182-206.

[15]HOYT R H， COHEN M L， SAFFITZ J E. Distribution and three-dimensional structure of intercellular junctions in canine myocardium[J]. Circulation Research， 1989， 64(3)： 563-574.

[16]LUKE R A， SAFFITZ J E. Remodeling of ventricular conduction pathways in healed canine infarct border zones[J]. Journal of Clinical Investigation， 1991， 87(5)： 1594-1602.

[17]田兴玲，刘慕仁，郭俊华．小世界网络上的差额选举模型[J]．郑州大学学报(理学版)，2008，40(2)：60-65.

[18]梁玉娟．从动能损失看弯道路段的通行能力[J]．四川师范大学学报(自然科学版)，2011，34(3)：355-359.

[19]DENG M Y， CHEN X Q， TANG G N. The effect of cellular aging on the dynamics of spiral waves[J]. Chin Phys B， 2014， 23(12)： 120503.

[20]GREENBERG J M， HASTINGS S P. Spatial patterns for discrete models of diffusion in excitable media[J]. SIAM J Appl Math， 1978, 34(3)： 515-523.

[21]ZHAO Y， BILLINGS S A， ROUTH A F. Identification of the Belousov-Zhabotingskii reaction using cellular automata[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2007， 17(5)： 1687-1701.

(责任编辑王龙杰)

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.02.002

收稿日期：2015-12-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11365003，11165004)

中图分类号：O411.3

文献标志码：A

文章编号：1001-6600(2016)02-0008-07

Effect of Position Perturbation for Spiral Waves in Excitable Media

DAI Jingyu，ZHANG Xueliang， DENG Minyi， TAN Huili

(College of Physical Science and Technology， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China)

Abstract:Based on the Greenberg-Hastings cellular automata model， the effect of the position perturbation for the spiral waves in excitable media is studied. The amplitude of the position perturbation represents the interaction distance between cells. The computer simulation results show that the position perturbations with different amplitudes are added into the system after the stable spiral wave is formed， and the stability of spiral wave meanders is related to the range of the position perturbation of the cells. Different ranges of the position perturbation will result in two different changes of the stable waves. New stable waves are formed or disappeared after meanders. The two types meandering behavior are observed， and the mechanism underlying these phenomena are analyzed.

Keywords:excitable media； spiral wave； position perturbation； cellular automata model

通信联系人：谭惠丽(1977—)，女(壮族)，广西柳江人，广西师范大学副教授。E-mail: tanhuili_99@163.com