TBM液压管道等效固有频率及稳定性研究

周井行，张怀亮,2，齐征宇

(1.中南大学 机电工程学院，长沙 410083；2.中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，长沙 410083）



TBM液压管道等效固有频率及稳定性研究

周井行1，张怀亮1,2，齐征宇1

(1.中南大学 机电工程学院，长沙 410083；2.中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，长沙 410083）

摘要：针对TBM掘进过程中产生的基础振动对液压长管道稳定性的影响，选取长管道相邻两固定支承及其之间的管道作为一个单元，建立基础振动下管道单元的非线性微分方程，并通过实验验证振动微分方程的正确性，运用等价线性化推导出管道的等效固有频率的数学模型。研究输流管道系统固有频率与稳定性的相关性，分别讨论流体参数和结构参数对等效固有频率的影响规律。结果表明：利用等效固有频率能很好地反映系统的稳定性，两者相关系数大于0.85。随着流速、压力及单元管长、内径的增大或刚度、壁厚的减小，管道系统的等效固有频率降低，系统稳定性降低；随着基础振动的增大，系统等效固有频率越低，越容易失稳。

关键词：振动与波；液压管道；稳定性；基础振动；等效固有频率

硬岩掘进机(TBM)是专用于硬岩隧道掘进的专业化装备[1]。因硬岩地质环境的影响，在其作业过程中不可避免地会产生强烈的振动[2]，强振动容易导致液压管路不稳定，严重时甚至导致管道的破坏。因此，研究基础振动下液压管道的稳定性具有重要的工程意义。

国内外对管道稳定性的研究集中在无基础振动下的管道临界流速及临界管长研究，如Paidoussis M P讨论了输流管道在定常流作用下失稳的振动特性[3]，Holmes P J证明了两端固支管道在定常流作用下不会发生颤振失稳[4]。初飞雪研究了两端支承管道流固耦合振动的稳定性[5]，推导了临界流速和临界压力的解析表达式，然而上述均不考虑基础振动对稳定性的影响。关于基础振动作用下的管道研究主要集中在分岔及混沌方面，如邹光胜研究了两端固定输流管在基础简谐激励作用下的分岔及混沌运动[6]。包日东研究了基础振动作用下管道出现混沌的参数条件和进入混沌的途径[7]，虽然很多学者致力于基础振动下管道的振动特性研究，但考虑基础振动作用的管道稳定性问题鲜有人研究。

管道振动是一个典型的非线性问题，非线性问题线性化处理是非线性理论中的一种典型的近似解法。尤裕荣针对逆向卸荷式气体减压阀，采用线性化分析方法，对其工作稳定性进行分析[8]。章瑕璇将实际非线性振动系统等效为线性振动系统，并验证了对非线性振动问题进行等效线性化的可行性，可见非线性问题线性化处理是一种有效的处理非线性问题的方法[9]。

本文以基础振动作用下TBM管道单元为研究对象，在考虑非线性的情况下，建立其非线性微分方程，采用等价线性化法将非线性微分方程转化为等价的线性方程，并通过实验验证方程的正确性，求得管道的等效固有频率，通过对基础振动下输流管道固有频率等于零所对应的基础振动参数和系统进入分岔点所对应参数对比，得到了两者的相关系数大于0.85，利用等效固有频率能够很好地反应系统的稳定性，利用控制变量的方法，分析单因素对等效固有频率影响，分别研究了流体参数和结构参数对等效固有频率的影响规律，具有一定的工程指导意义。

1　TBM输流管道振动数学模型及等效固有频率

TBM液压长管道系统是由长管道及其固定支承组成，选取长管道相邻两固定支承及其之间管道作为长管道的一个单元，以管道单元为研究对象，理论模型如图1所示。

图1　管道理论模型

管道单元水平固定在基础上，并且基础也做简谐运动，其运动方向垂直于管道轴线，即：W=Dsin(ωt)，其中D为激振幅值，ω为激振频率。管道中流体以定常流速U流动，考虑了横向弯曲时引起的附加非线性轴向力和管道材料的Kelvin-Voigt黏弹性，运用达朗伯原理和牛顿定理，得到基础振动下输流管道的非线性运动微分方程[10]

式中a为管道黏弹性系数，L为管道长度，U为管道内流体流速，M为单位长度流体质量，m为单位长度管道质量，EI为管道抗弯刚度，P为流体压强，υ为泊松比，g为重力加速度，A͂为管道有效横截面积，A为管道过流截面积，t为时间。

引入如下无量纲参数

由于重力只影响振动平衡位置，对振动的其他特性无影响，所以忽略重力的影响后，并将上述无量纲参数代入式(1)中，得到基础简谐激励作用下输流管的无量纲运动微分方程

利用Galerkin方法对其进行离散化，令式中φr(r=1，2，…)用相同边界条件下梁模型的模态函数来近似代替输流管的模态函数，qr()τ为对应的广义坐标。因为1阶等价固有频率最小，故取1阶模态进行分析即可，取N=1。则Galerkin 1阶展开式为将式(4)代入式(2)，在方程两端同乘以φi()ξ并

在[0，1]区间上积分，经过演绎可将方程式(2)化成式（5）其中

σ=(coshλ-cosλ)/(sinhλ-sinλ)

且λ=4.730 040 745，为两端固定梁的第1阶特征值。设非线性振动方程式(5)有以下的强迫振动解

式中A1为等价线性化振幅，β为相位差角。

将方程式(6)代入到方程(5)，经过复杂的数学推导，得到等价线性化振动方程

由等价线性化方程式(7)经计算可得等价固有频率为

2　模型验证

为验证管道振动模型的正确性，结合课题组现有的实验装置，搭建实验台进行实验验证。

该实验系统由动力缸液压回路、加载缸液压回路、液压实验台控制系统、实验管道系统、激振系统和振动信号监测及采集分析系统六部分组成，液压直管道实验系统原理如图2所示。

图2　液压直管道实验系统原理图

取基础振动幅值为0.002 mm，频率为80 Hz，在相同基础振动下，分析管道振动时域响应，将MATLAB中仿真计算结果与实验测量结果进行对比，如图3。分别对比仿真结果和实验结果的响应频率以及位移波峰平均值、波谷平均值，三者相对应的误差分别为2.14%、7.72%、6.11%，处于允许范围内，验证数学模型的正确性。误差一方面来源于仿真时忽略了轴向剪切力和外部阻尼等的影响，并且方程处理过程中的Galerkin离散化本身是一种近似，另一方面是由于实验时数据采集和处理过程中产生的干扰和误差。

图3　计算仿真与实验结果对比

3　仿真分析

得到基础振动下输流管道的固有频率后，为了研究基础振动下输流管道的稳定性，需要进一步确定等效固有频率和系统稳定性的相关性，并分析输流管道系统参数对固有频率的影响规律，在MATLAB中对输流管道系统进行仿真分析，其中系统参数包括流体参数（速度、压力）和结构参数（固支长度、弯曲刚度、内径、壁厚），设定仿真参数如下：管道固支支承长度L=1 m，弹性模量E=2.11×105MPa，管道内径为d=0.038 m，管道壁厚为 δ=0.003 m ，管截面流体流动面积A=1.134×10-3m2，管道惯性截面矩I=8.163×10-9m4，油液密度ρ液=890 kg/m3，管道密度ρ管=7 800 kg/m3，单位长度管道质量m=3.014 kg，单位长度油液质量M=1.009 kg，泊松比为 υ=0.29。流速为 U=1.0 m/s，压力为P=10 MPa，基础振动的幅值及频率分别取：D=0.005 m、ω=10 Hz、D=0.010 m、ω=75 Hz、D=0.015 m、ω=100 Hz。在分析时，当某个参数为影响参数时，取其为变化值，其余值取定值。

3.1输流管道的等效固有频率与稳定性的相关性研究

由于TBM实际工况中基础振动的影响不能忽略，因此在推导出在考虑基础振动的等效1阶固有频率模型后，基于等效固有频率对管道系统的稳定性进行分析之前，首先需要确定等效固有频率与分岔失稳点的关系，从而推导出输流管道稳定性与等效固有频率的相关性。

由文献[11]可知，在无基础振动下，两端固支输流管道在系统1阶固有频率大于零时，系统不会发生分岔，处于稳定状态；当系统的1阶固有频率等于零时为分岔的临界点。参考文献[12]基于仿真参数，先取不同基础振动幅值，以基础振动频率为分岔参数做分岔图，得到不同分岔点所对应的基础振动频率及幅值，如图4所示

图4　无量纲振幅为0.002下以频率为参数的分岔图

通过这种方法，以基础振动频率为横坐标，以振幅为纵坐标，建立坐标系，找出多个分岔点坐标，如根据图4即可得到一个分岔点坐标（40，0.002），将分岔点标入到坐标系中，并用光滑曲线将之连接起来，得到不同基础振动下系统出现分岔时所对应的基础振动频率和幅值图，如图5所示。

图5　管道分岔点的无量纲基础振动频率幅值

取仿真参数，并对参数进行无量纲化，利用等效固有频率式（8）计算出不同基础振动下等效固有频率ωe=0的点所对应的基础振动频率及幅值，并将所有对应的点标注到图5中，如图5所示。

从图5中可以看出，两者所对应的趋势是一致的，但是，等效固有频率等于零所对应的基础振动频率幅值要比分岔点所对应的基础振动频率幅值小，这是因为截断误差所致，等效固有频率是基于单模态，而做分岔图时是基于双模态，这与文献[8]中得出的结论是一致的，即单模态系统的临界值要小于双模态系统的临界值。经计算，其相关性系数大于0.85，因此利用等效固有频率大于等于零可以很好的描述分岔图中分岔点及其之前的运动。

3.2流体参数对等效固有频率的影响

3.2.1流速对等效固有频率的影响规律

油液的流速U是管道系统流体参数中非常重要的一个因素，已有研究表明，管道的振动通常是由于流速过大而引起的，当流体流速超过某个临界值的时候，管道就会发生失稳而出现分岔，然而在基础振动作用下，会加剧流速对管道的影响。取流速为变化值，取管道长度L=1 m，并取三组不同的如上所述基础振动，来探索在此振动下，流速对等效固有频率的影响规律。

图6所示为基础振动作用下，输流管道的等效固有频率随流体流速的变化规律。由图6可以看出，等效固有频率随流体流速的增加而显著下降，其下降的趋势为先缓慢下降，随着流速增大，其下降的速度越快，且当等效固有频率等于零时，对应的流速为管道的临界流速即管道出现失稳从而发生分岔的点。固定管长为L=1 m，改变基础振动，经计算当基础振动幅值为0.005 m，频率为10 Hz时，所对应的临界流速值为6 m/s；当基础振动幅值为0.01 m，频率为75 Hz时，所对应的临界流速值为4.3 m/s；当基础振动幅值为0.015 m，频率为100 Hz时，所对应的临界流速值为2.8 m/s。说明随着基础振动频率和幅值的增大，其他参数一定的情况下，系统振动发生分岔的临界流速值逐渐减小，而且等效固有频率也会相应减小。

图6　基础振动作用下等效固有频率随流速的变化

3.2.2压力对等效固有频率的影响规律

管道中流体的压力P是管道系统流体参数中非常重要的一个因素，执行机构如液压缸的动作是通过流体的压力使其运动的。设定压力值范围为0～100 MPa，取不同的基础振动参数，其他参数不变。

图7所示为基础振动作用下等效固有频率随着压力的变化曲线。随着压力的增大，等效固有频率大幅下降，直到等效固有频率为零时，所对应的压力为临界压力值即管道振动出现失稳而发生分岔的油液压力值。从图中可以看出，发生分岔的临界压力是比较大，通常液压管道中的压力在20 Mpa以上，因此，流体的压力对管道的振动影响相对较小。

图7　基础振动作用下等效固有频率随压力的变化

3.3结构参数对等效固有频率的影响

3.3.1单元管长对等效固有频率的影响规律

设定管道长度范围为0～4 m，其他参数取定值。图8所示为不同基础振动作用下，等效固有频率随管道单元长度变化曲线。随着固支长度的增加，等效固有频率下降，直到等效固有频率为零时，所对应的管道长度即为管道的临界固支长度。经计算可以得到：基础振动幅值为0.005 m，频率为10 Hz时，所对应的临界管道长度值为2.5 m；当基础振动幅值为0.01 m，频率为75 Hz时，所对应的临界管道长度为1.66 m；当基础振动幅值为0.015 m，频率为100 Hz时，所对应的临界管道长度值为0.98 m，随着基础振动频率和幅值的增大，临界管道长度减小，且随着振动幅值和频率的增大，等效固有频率相应减小。因此，减小单位固支管道的长度有利于提高管道系统的稳定性。

图8　基础振动下等效固有频率随单元管长变化

3.3.2弯曲刚度对等效固有频率的影响规律

刚度反应物体抵抗变形的能力，是材料弹性变形难易程度的一个象征。本文描述的弯曲刚度为弹性模量与管截面惯性矩之间的乘积。保持其他参数不变，只改变管道的刚度观察等效固有频率的变化。

如图9所示，当管道刚度从0增加到2 500 N/m时，等效固有频率首先急剧增加，之后趋于平缓。从图中可以看出，当刚度较小时，增大刚度能显著的提高系统的等效固有频率，有利于抑制系统的振动，但是，当刚度增大到一定程度时，等效固有频率将不再增大。而随着基础振动的增大，在相同参数条件下，等效固有频率随着基础振动的增大而相应减小，说明基础振动使管道更容易产生振动。因此，为了减小管道振动，需要增大管道的弯曲刚度即通过选用不同的材料来改变弹性模量的值从而增加刚度。

图9　弯曲刚度对等效固有频率的影响

3.3.3内径对等效固有频率的影响规律

管道内径的大小对管道的稳定性能有一定影响，其他参数不变，且管道壁厚为0.003 m时，只改变管道内径观察其对等效固有频率的影响规律，并通过改变基础振动幅值及频率，观察基础振动对内径及等效固有频率的影响规律。

如图10所示，随着内径的增大等效固有频率降低，降低的趋势是先急剧下降，然后下降趋势逐渐平缓，直至等效固有频率等于零，此时管道出现分岔发生失稳，因此，管道壁厚不变的情况下，内径越大越容易出现分岔，从而失稳。而随着基础振动的增大，发生分岔的管道临界内径值会相应变小，基础振动会加强管道振动，因此在基础振动较大的情况下，且壁厚一定的情况下，应该选用内径较小的管道，以减小管道失稳的可能性。

3.3.4壁厚对等效固有频率的影响规律

其它参数不变，管道内径为0.019 m时，只改变管道壁厚，观察壁厚对等效固有频率的影响规律。

如图11所示，当管道壁厚由0增大到0.05 m时，等效固有频率与壁厚呈线性递增关系，壁厚越厚，等效固有频率随着变大，所以适当增加壁厚有助于提高管道振动的等效固有频率。从图中还可以得到，随着基础振动的增大，等效固有频率随壁厚递增的斜率会变小。说明基础振动会使管道稳定性降低，因此，增大壁厚有利于提高等效固有频率，管道稳定

性也会提高，从而可以很好的避免分岔的出现，有助于减小管道振动。

图10　内径变化对管道等效固有频率的影响

图11　壁厚对管道等效固有频率的影响

4　结　语

（1）建立基础振动作用下管道的非线性偏微分方程，通过实验验证了方程的正确性，利用等价线性化法推导出等效固有频率数学模型；

（2）等效固有频率等于零所对应的基础振动参数即为管道发生失稳而分岔时所对应的基础振动参数，两者的相关性系数大于0.85，利用等效固有频率能够很好的反应输流管道系统的稳定性；

（3）随着流速、压力及单元管长、内径的增大和刚度、壁厚的减小，管道系统的等效固有频率降低，系统稳定性降低；随着基础振动的增大，系统等效固有频率越低，分岔点所对应的流速、压力、管长、内径值越小，越容易失稳。

参考文献：

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向：液压元件动力学行为。

E-mail:zhoujingxing@csu.edu.cn

E-mail:csu2001zhl@163.com

中图分类号：O353

文献标志码：A

DOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.007

文章编号：1006-1355(2016)01-0032-06

收稿日期：2015-06-23

基金项目：国家“973”重点基础研究发展计划资助项目(2013CB035400)

作者简介：周井行（1990-），男，湖南娄底人，硕士生，研究方

通讯作者：张怀亮，男，教授，博士生导师

Study on the Equivalent Natural Frequencies and Stability
of TBM Hydraulic Pipelines

ZHOU Jing-xing1,ZHANG Huai-liang1,2,QI Zheng-yu1

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University, Changsha 410083,China; 2.State Key Laboratory of High Performance and Complex Manufacturing,Central South University, Changsha 410083,China)

Abstract:The impact of foundation vibration generated in TBM tunneling on the stability of long hydraulic pipelines was studied.Selecting the pipe segment with two neighboring supports as an element,the nonlinear differential equation of the pipeline unit in the foundation vibration condition was established,and the validity of the differential equation was verified through experiments.Equivalent linearization technique was applied to obtain the mathematical model for analyzing the pipeline’s equivalent inherent frequency.The relevance between inherent frequency and stability of fluid-flow in the pipeline was analyzed,and the effects of fluid parameters and structural parameters on the equivalent inherent frequency were discussed.The results indicate that the equivalent inherent frequency can reflect the stability of system very well and the correlation coefficient is greater than 0.85.The equivalent inherent frequency and stability decrease with the increase of the flow velocity,pressure,the length and internal diameter of the pipeline unit as well as the decrease of the rigidity and wall thickness of the pipeline unit.As the foundation vibration increases,the equivalent inherent frequency of the system will decrease,and the system may lose its stability more easily.

Key words:vibration and wave;hydraulic pipeline;stability;foundation vibration;equivalent natural frequency