约束阻尼板的渐进法结构减振拓扑动力学优化

贺红林，陶　结，袁维东，肖智勇

（南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063）



约束阻尼板的渐进法结构减振拓扑动力学优化

贺红林，陶结，袁维东，肖智勇

（南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063）

摘要：旨在为结构减振设计奠定一定基础，研究约束阻尼板减振优化问题。建立约束阻尼板动力学平衡方程，推导模态损耗因子计算模型。构建以模态损耗因子最大为目标，黏弹性材料用量及模态频率变动最小为约束的阻尼板拓扑优化数学模型，推导模态损耗因子灵敏度算式。引入渐进结构优化方法对约束阻尼板动力学优化模型进行求解，采用独立网格滤波技术，解决优化迭代中出现的棋盘格问题。编制阻尼板拓扑优化程序，实现约束阻尼板减振优化。仿真显示，与非优化删除方法相比，采用渐进拓扑动力学优化，更有利于实现黏弹材料优化布局，且模态频率变化比较稳定。对阻尼结构进行谐响应分析，以验证拓扑优化方法有效性，引入模态损耗因子体积密度指标以评价阻尼板减振拓扑优化性能。研究表明，若能实现结构模态损耗因子最大化，约束阻尼板减振效果明显。该方法对于约束阻尼板设计具有较强实用性，拥有较高的稳定性。

关键词：振动与波；约束阻尼板；模态损耗因子；棋盘格；动力学优化

随着航空航天等现代科技的迅猛发展，机械日益朝着高速度、大动力、轻量化方向发展，使机器的结构变得越来越复杂，运转环境更为恶劣，从而愈加容易受外界振动的干扰。剧烈的振动将会导致诸多不良危害，如造成机器工作精度下降、振动疲劳、损坏，并产生噪声等问题[1–3]。如何高效控制结构振动已成为机械设计的重要课题。由于具有良好减振性能，在结构表面敷设阻尼材料是抑制振动的重要方法之一[4]。附加阻尼结构作为常用的有效阻尼减振结构形式，被广泛应用于振动控制中，附加阻尼结构有自由阻尼层和约束阻尼层两种。自由阻尼层主要通过阻尼材料拉伸变形来消耗结构能量，而约束阻尼层通过阻尼材料剪切以耗能。若在结构表面全部敷设阻尼材料，可最大限度地降低振动，但必然带来结构质量增大的问题，这对飞机等质量敏感性结构，是不可接受的。为此，必须在保证最佳减振效果，确定阻尼材料优化布局的同时，减少阻尼材料用量。张志飞基于变密度法，建立自由阻尼结构优化模型并通过实验验证了方法的有效性[5]。胡卫强等建立在谐和激励条件下，自由阻尼板材料优化配置模型，能够有效控制振动[6]。王明旭基于变密度拓扑优化方法[7]，获得结构的最优拓扑构形。郑玲基于优化准则构建以模态阻尼比为目标函数的拓扑优化模型获得约束阻尼结构最优构型[8]。郭中泽采用密度法和RAMP插值模型建立的阻尼板结构拓扑优化数学模型得到最优分布构形[9]。李攀基于SIMP插值模型和变密度法对阻尼板进行拓扑优化，显著降低频响幅值[10]。变密度法和准则法等数学意义严格，但实际应用会遇到较大困难。为此，Xie提出结构渐进法，该方法尽管数学意义不甚严格但易于实现、较具实用性[11]。实践表明，自由阻尼结构耗能方式效率较低，约束阻尼结构则能消耗更多的机械量[12]，同时，薄板结构在工程上应用较为广泛，研究薄板结构减振有着较大的理论意义和工程实际应用价值，故本文采用研究约束层阻尼板的渐进拓扑优化问题。

1　模态损耗因子建模

约束阻尼板由基层、黏弹阻尼层及约束层构成，主要利用阻尼层的剪切效应来耗散结构的振动能，借助约束层来强化减振效率，其减振特性可用模态损耗因子予以评价，为此有必要推导其损耗因子计算模型。根据振动理论，约束阻尼板动力学平衡方程可写成

式中M是阻尼板质量矩阵；C为板的阻尼矩阵；K为阻尼板刚度矩阵；X为位移向量；Q为外加在阻尼板的激励载荷向量。复刚度法对黏弹阻尼材料特性采用复模量模型进行描述，并将黏弹性阻尼材料的弹性模量定义为复数形式[13]

式中E为阻尼层复弹性模量；E′、E″为阻尼材料的实刚度和虚刚度；ηv是阻尼材料损耗因子。考虑约束阻尼板的构成并引入复刚度模型后，可将阻尼板动力学方程改写成

式中Ky表示约束层刚度矩阵；Kb表示基层刚度矩阵；KvR表示黏弹性层刚度矩阵实部；KvI表示黏弹性层刚度矩阵虚部。采用模态法求解式（3）时，可写出阻尼板的自由振动解形式

式中Φ∗r是阻尼板r阶复模态振型，为r阶复圆频率，且复圆频率可由瑞利商求得Rao推导出模态损耗因子与复圆频率间关系[14]式中ωr为r阶复模态圆频率的实部；ηr为第r阶模态损耗因子。考虑到约束阻尼板弹性特质的主导性，故在计算精度要求不是特别高的情况下，Φ∗

r可用实模态振型Φr近似替代，则由式（5）可得第r阶近似圆频率

式中K（=Ky+Kb+KvR）为阻尼板总刚矩阵。

将式（6）代入式（7），得模态损耗因子计算式

2　结构动力学优化建模

2.1优化数学模型

合理地设计约束阻尼板的黏弹层及约束层平面敷设形貌，可望最大程度地发挥黏弹层的减振效能，并减少阻尼板的质量。从减少结构振动能的意义上讲，既可择取阻尼板振动响应幅值为量化的优化目标，也可选取模态阻尼比、模态损耗因子、动挠度等为目标。众所周知，特定阶次模态损耗因子全方位地反映结构耗散该阶次振动响应能力，这说明，只要合理规划阻尼层和约束层形貌及其敷设位置可提高结构在激振频区内的振动模态损耗因子，即能使阻尼板获得较佳减振效果。或换个角度讲，为保证阻尼板减振效果及轻量化设计要求，可基于模态损耗因子最大化的目标，规划黏弹性层与基层的几何布局。值得注意的是，在保证减振特性的同时，如何最大程度地保证结构动态特性，比如结构模态频率等保证基本不变，也是在结构动学设计时必须关注的方面。基于上述考虑，为最大限度地消耗振动能量，以模态损耗因子最大化为目标，阻尼材料用量和模态频率变动最小为约束条件，建立了阻尼板的拓扑优化数学模型

其中xi=[0，1]为拓扑设计变量，表征第i个黏弹阻尼单元在优化迭代后的状态，xi取值为0时表示该单元已删除，为1时则表示该单元继续保留，n为粘弹性单元网格化数量，vi、Vo分别表示粘弹性单元i的体积与粘弹性材料总体积，α表示体积分数。 f、fo分别为优化前和拓扑迭代后第r阶模态频率，fˉr表示第r阶归一化频率，fˉ(low)r、 fˉ(upper)r分别表示归一化

频率的上下限。NF表示需控制频率变化范围的模态数量。

2.2损耗因子灵敏度

采用渐进优化法求解模型式（9）。该方法建立在目标函数对设计变量求导基础上，为目标导数型方法，即为求解式（9）须推导出模态损耗因子关于设计变量的灵敏度。实际上，该灵敏度不仅是拓扑优化的评判依据，更重要的是为迭代搜索提供方向。有了损耗因子灵敏度，可较易地寻得优化构型。为此，令式（8）对设计变量求导，从而得到模态损耗因子灵敏度

式（14）表示阻尼材料单元i及相应约束层单元删除后导致约束阻尼结构模态损耗因子的变化量。则第r阶约束阻尼单元i的灵敏度可定义为

2.3频率约束灵敏度

约束阻尼结构在优化设计过程中，必须满足频率约束条件的限制，而阻尼结构复杂，若仅凭借经验进行拓扑优化设计，较难达到模态变动最小的要求，为解决该问题，可进行频率灵敏度分析，以提高优化效率。

根据结构动力学理论，可得以下方程式

式（17）即模态频率 f对设计变量xi变化的敏感程度。若结构出现重频时，灵敏度分析推导更复杂一些。

2.4独立灵敏度滤波

采用渐进结构优化进行连续体静力学拓扑优化时引来一个重要问题是会出现数值不稳定现象，其主要表现是棋盘格式、网格依赖症等。约束阻尼板渐进减振动力学优化将面临同样的问题。为了克服上述现象，本文拟采用Sigmund[15]独立网格滤波技术消除数值不稳定现象。该技术是一种简单适用的启发式算法，它以所分析的单元为中心，对过滤半径范围内所有单元灵敏度进行加权求和，且以加权值作为该单元的灵敏度。优化时以灵敏度均化值决定单元的删留表示单元i滤波前的灵敏度，Hi=Rmin-dist(i,e），Hi是权重因子，Rmin是滤波半径，dist(i,e)表示单元i和单元e的中心距离，N表示单元e的中心距离dist(i,e）不大于Rmin的单元总数。选择合适的滤波半径，能够有效消除棋盘格式和网格依赖症等现象。

3　优化模型的求解

约束阻尼板拓扑减振优化的实质就是逐步删除灵敏度绝对值较小的单元，在减小阻尼材料用量的情况下，实现模态损耗因子最大化。运用ANSYS的APDL语言编制优化程序，使用Debug命令提取矩阵，形成OUT文件，清除单元编号、行编号、注释等，以数组方式输入MATALB中，处理和计算完成后，以共享数组方式实现与ANSYS数据传递。图1给出了优化数学模型求解程式，即

图1　约束阻尼材料拓扑优化程序流程图

（1）建立约束阻尼板有限元分析模型，确定阻尼板边界条件以及各相关参数；

（2）进行结构模态分析。提取约束阻尼板的质量矩阵、刚度矩阵、模态振型，将数据导入MATLAB中，分别按式（15）、式（17）进行损耗因子灵敏度和频率约束灵敏度计算，经处理后将数组返回ANSYS；

（3）选择合适的滤波半径，按式（18）对损耗因子灵敏度进行独立网格滤波处理；

（4）判断频率约束灵敏度值，构建符合频率约束条件的黏弹性阻尼单元集合Q，若单元集合为空，则优化结束，否则继续优化迭代；

（5）对单元集合Q中损耗因子灵敏度值进行排序，提取正灵敏度中最小值ξ1min和负灵敏度中最大值ξ2max；

（6）当||ξ1min小于||ξ2max，删除灵敏度等于ξ1min的黏弹性单元，当||ξ1min大于或等于||ξ2max，则按由小到大原则逐渐删除β个损耗因子灵敏度绝对值较小的单元；

（7）若满足材料用量要求，则优化结束，否则重复步骤（2）至（7），直到满足材料用量要求退出优化迭代。

4　算例分析

为验证优化算法的有效性，针对矩形结构约束阻尼板进行渐进优化仿真，该板的长度和宽度均设定为0.5 m，基层厚0.004 5 m，基层弹性模量设定为70 GPa，泊松比为0.34，密度为2 700 kg/m3；黏弹性层弹性模量为12 MPa，泊松比0.495，密度为1 200 kg/m3，阻尼损耗因子0.5，黏弹性层厚0.001 5 m。约束层各项参数与基层基本相同，只是约束层厚为0.001 5 m。

分别以黏弹性材料删除率为25%、50%作为迭代终结点对约束阻尼板的渐进优化迭代过程进行跟踪，且为便于对比，在图2给出了仅按单元序号删除黏弹材料的非优化结果。图3则给出了对应于上述两种黏弹材料删除率的阻尼板优化布局。

图2　约束阻尼板未优化时的布局

图3　约束阻尼材料优化布局

图3（a）、（b）是针对1阶模态损耗因子进行优化时的黏弹性阻尼材料的优化布局，在删除率为25% 和50%的情况下，搜寻阻尼材料最优布局，优化过程中，逐渐删除处于无效或低效状态的单元，保留高效单元。从图3看出，优化布局边界清晰，独立网格滤波技术很好地解决了优化过程中的棋盘格等问题。

图4给出了基于损耗因子最大化为目标，1阶和2阶损耗因子变化，同时给出了阻尼材料按单元序号删除的非优化损耗因子变化。随着删除率的不断增大，按渐进法删除阻尼材料，损耗因子虽有一定程度下降，但降幅不大，而按非优化方法删除阻尼材料，模态损耗因子在非优化的后半段逐渐剧烈下降。可见，若基于渐进法，优先删除灵敏度较小的阻尼单元，可使结构以较少的材料获得较好的减振能力。因此合适的优化方法和阻尼材料布局，可尽可能的提高结构模态损耗因子，更好地提高结构抑制振动的能力。

图5给出了模态频率随删除率的变化。可见，随着迭代不断进行，阻尼材料不断删除，基于优化法的模态频率变化比较稳定，而未优化时频率均呈现先降后升的趋势，频率变化剧烈。删除率为50%时，1阶、2阶优化后频率变动均比未优化时小，验证了优化结果的有效性。因此，相比较于未优化的删除方法，基于渐进法逐渐删除阻尼材料，结构特定阶次的频率并无很大幅度的变化，同时还满足频率约束的要求。

图4　约束阻尼模态损耗因子随删除率的变化

图5　约束阻尼模态频率随删除率的变化

图6给出了阻尼结构在优化前后的谐响应特性变化。图中可见，若分别按1阶模态、2阶模态优化时，即使阻尼材料删除率达50%也能保证优化后的1阶、2阶模态振幅值均有一定程度下降，故而验证了优化方法的可行性，也表明基于渐进法的阻尼结构优化，可使结构获得良好的减振特性。

为定量评价约束阻尼板黏粘弹材料优化前后耗能效能，引入损耗因子体积密度的概念，并将其定义为模态损耗因子与阻尼材料体积之比。

图7（a）、（b）给出了1阶、2阶模态损耗因子体积密度的变化曲线，随着低效阻尼单元不断删除，保留在阻尼板上的都为高耗能单元，能最大程度发挥阻尼材料减振效能，故1阶、2阶模态损耗因子体积密度均呈现直线上升趋势。若不进行优化，按单元编号逐渐删除阻尼单元，1阶、2阶损耗因子密度均呈现先升后降的趋势，且其值比优化时小，表示此时阻尼材料并未较好地发挥减振效能。以上分析进一步表明在设计阻尼板减振结构时，采用基于模态损耗因子最大化的渐进优化方法有利阻尼材料优化布局，能充分发挥阻尼材料减振效果。

图6　阻尼结构谐响应分析

图7　模态损耗因子密度随删除率的变化

5结　语

基于渐进法对约束阻尼板拓扑减振优化方法进行了研究。依据阻尼板动力学平衡方程，推导了模态损耗因子计算模型，建立结构动力学优化数学模型，给出模态损耗因子灵敏度计算方法。采用独立网格滤波技术，有效消除棋盘格等现象，编程实现了矩形板拓扑渐进减振动力学优化算法，并基于渐进算法对优化模型进行求解，同时为评价约束阻尼板减振优化效果，引入模态损耗因子体积密度指标。研究结果表明，通过与非优化删除方法进行比对，本文提出的渐进优化算法，能在保证黏弹材料用量较小，结构模态频率变动最小的前提下，使结构获得良好的减振效果。

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江西省自然科学基金（20122BAB216027）

学优化、精密驱动技术等研究。E-mail:hehonglin1967@163.com

中图分类号：O422.6

文献标识码：A

DOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.004

文章编号：1006-1355(2016)01-0015-06

收稿日期：2015-08-14

基金项目：国家自然科学基金（51265040）；

作者简介：贺红林(1967-)，男，博士,教授，从事复杂结构动力

Topological Dynamic Optimization for Structure Vibration Reduction of Constraint Damping Plates Using EvolutionaryMethod

HE Hong-lin,TAOJie,YUAN Wei-dong,XIAO Zhi-yong

(Institute ofAeronautical Manufacturing,Nanchang HangKong University,Nanchang 330063,China)

Abstract:Structure topological optimization for vibration reduction of constraint damping plates was studied.The dynamic equations for the constraint damping plates were established,and a modal loss factor model for the plates was obtained. A topological optimization model to maximize the modal loss factor with lest viscoelastic damping materials consumption and minimum modal frequency variation as the constraints,was established for the constraint damping plates.The evolutionary structural optimization method was employed to solve the optimization model,and the modal loss factor sensitivity formula was deduced.Independent mesh filter method was introduced to avoid checkerboard appearance.An optimization program was accomplished for damping plate optimizing simulation.Results of simulation show that compared with the non-optimized method,the evolutionary structural optimization was more advantageous for realizing the viscoelastic material optimal layout, and the modal frequency variation was more stable.Harmonic response analysis was carried out for the damping plate to verify the topological optimization method,and the modal loss factor density index was introduced to evaluate the optimization performance.The results of the study show that the constraint damping plates can obtain better vibration suppression effects while the damping materials layout can maximize the modal loss factor.This method has strong practicability and high stability for the optimization design of damping structures.

Key words:vibration and wave;constraint damping plates;modal loss factor;checkerboard;dynamic optimization