考虑LTCA技术的功率双分支轮系动态特性分析

董　皓，方　舟，段玲玲

（1.西安工业大学 机电学院，西安 710021；　2.陕西华陆化工环保有限公司，西安 710025）



考虑LTCA技术的功率双分支轮系动态特性分析

董皓1，方舟1，段玲玲2

（1.西安工业大学 机电学院，西安 710021；2.陕西华陆化工环保有限公司，西安 710025）

摘要：双路功率分支传动系统较多应用于航空系统传动装置中，为了揭示其动态振动机理，建立该系统的动态力学模型。采用承载接触分析(LTCA)技术计算齿轮副时变啮合刚度激励；利用集中质量法建立弯扭耦合的动力学微分方程，进行消除刚体位移和量纲归一化处理，采用数值解法，得到系统的时域-频域响应，给出动载系数与输入转速的函数关系。结果表明：系统动态特性受到输入转速的影响较大；啮合阻尼的增大，可以降低临界转速附近的动载荷；实验和理论具有较好的一致性。为进一步对该系统的优化设计提供理论基础。

关键词：振动与波；承载接触分析；时变啮合刚度；弯扭耦合；动载系数；阻尼

双路功率分支传动系统采用功率分支技术，可实现双路功率的分支，结构紧凑，在很小的体积质量下满足高速重载的工况要求，在航空、航海等领域具有广阔的应用前景。该系统的动态振动特性分析是保证其可靠性的核心问题之一。对于具有齿轮传动系统的动态特性分析一直为国内、外学者所关注，并获得了大量的成果[1–3]，Krantz等对双路功率分支齿轮传动减速器进行了动态特性研究，得出了满足当时制造、安装条件下的均载系数，并通过实验分析了该系统的均载特性[4]。董金城和王三民等通过考虑各因素的影响，研究并分析了二分支斜齿轮传动的动载和均载特性[5]。桂永方和朱如鹏等建立了双输入圆柱齿轮分流传动系统的弯扭耦合动力学模型，分析了扭转刚度对系统均载特性的影响，通过考虑时变啮合刚度、齿侧间隙、啮合误差、啮合阻尼等因素，分析了系统动态特性条件下的均载特性[6，7]。还有一些学者对功率分支传动系统的动态特性做了相关的研究[8–13]。但是，以往研究中大多采用等效平均啮合刚度，并不能完全准确反映真实的齿面啮合过程，本文基于轮齿几何接触(TCA)和承载接触分析(LTCA)技术将整个啮合过程离散为有限的啮合点，对每个啮合位置进行力学特性分析，同时，利用啮合接触分析的结果，可准确计算得到时变刚度引起的内部激励条件。

为了获得具有良好动力学性能的双路功率分支传动系统，利用LTCA技术求解时变啮合刚度激励，使用集中参数法建立了系统的弯—扭耦合动力学模型，求解得到系统的动载系数，有助于进一步地了解系统的动力学特性，对于该系统的合理设计与成功使用有重要意义。

1　系统动力学模型建立

图1是双路功率分支传动系统的三维结构示意图。该系统采用功率分支技术，功率由输入轴1输入，在两级减速传动装置中第Ⅰ级采用斜齿轮，第Ⅱ级采用直齿轮，第Ⅰ级小齿轮2采用功率两分支，经Ⅰ级大齿轮3传递扭矩，两级传动之间通过均载扭力轴4连接，第Ⅱ级两个小齿轮5同时与第Ⅱ级大齿轮6啮合，功率最终由第Ⅱ级大齿轮6输出，系统中的各构件处靠滚动轴承7支承，该系统可进一步有效解决传动装置大扭矩、大速比的要求。

图1　双路功率分支传动系统的三维模型

采用集中参数法建立系统的弯-扭耦合动力学模型如图2所示，其中，输入扭矩为Tin，输出扭矩为Tout，Kij(i=1，4，5；j=2，3，6)为时变啮合刚度，Cij(i=1，4，5；j=2，3，6)为啮合阻尼，φi(i=1，4，5)和φj(j=2，3，6)为齿轮i、j的扭转角，e(t)ij为综合误差项，Ii(i=1，2，…，6)为各构件的转动惯量，Mi(i=1，2，…，6)为各组件集中质量，k24和k35分别为均载扭力轴的扭转刚度，c24和c35分别为均载扭力轴的扭转阻尼。

图2　双路功率分支传动系统动力学模型

齿轮副的啮合动载荷作用力Pij和振动阻尼力Dij可以表示为式中xi、yi和xj、yj表示齿轮i(i=1，4，5)、j(j=2，3，6)沿x、y向的轴心变形量；ΔAxi、ΔAxj表示齿轮i(i=1，4，5)、j (j=2，3，6)的x向误差幅值；ΔAyi、ΔAyj表示齿轮i(i=1，4，5)、j(j=2，3，6)的y向误差幅值；ζij表示齿轮副ij啮合线与x轴正向夹角；rbi、rbj表示齿轮i、j的基圆半径。

横向弯曲振动的动力学微分方程可表示为

式中Kxi和Kyi表示齿轮i的x、y向支承刚度；Cxi和Cyi表示齿轮i的x、y向支承阻尼；ẍi，ẋi，xi表示横向x方向振动加速度、速度和位移；ÿi，ẏi，yi表示横向y方向振动加速度、速度和位移将角位移形式的广义坐标转化为线位移形式的广义坐标，即ui=riφi。扭转方向的微分方程可以表示为式(4)所示，采用变步长四阶Runge-Kutta法对振动方程进行求解，计算振动时域响应，通过傅里叶变换(FFT)得到相应的频域响应，将结果代入式(1)可以得到动载荷，最后得到系统的动载系数。

式中 meq,i(i=1，2，…，6)是各齿轮的等效质量，meq,i=Ii/r2bi。

以第Ⅱ级各路齿轮副传动扭矩为例，每一齿频周期中动载系数KD可以表示为

式中i12表示系统第Ⅰ级齿轮副12的传动比。max Pij为一个齿频周期内动载荷的最大值。动载系数直接反映了系统的动态响应特性，动载系数越大，系统振动越明显。

2　基于LTCA的时变啮合刚度激励

式中a，b，c为常数项。

忽略轮齿齿面摩擦，假设两对齿(I和II)同时接触。在无载荷的作用下，轮齿未发生变形，两对接触的轮齿I和II的齿面初始间隙为 [w]k，其中[w]k=[δ]k+[bj]k，bj(j=1，2，…，n)为齿对k(k=I，II)的齿面法向间隙，[δ]k=δ[1,1,...,1]T。

在载荷P作用下，力矩平衡和轮齿接触变形后位移协调条件由下式描述

轮齿在外载荷作用下啮合时，引起的扭转角变形和扭矩Tij(k)的函数式描述为[11]式中k=I，II，[pj]k=[p1，p2，…，pn]T，[dj]k=[d1，d2，…,dn]T，[Z]=Z[1，1，…，1]T(若pjk>0，则djk=0；若pjk=0，则djk> 0)。pj(j=1，2，…，n)是齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处的法向载荷，dj(j=1，2，…，n)是齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处变形后的齿面间隙，Z为轮齿的法向位移，[F]k是齿对k的法向柔度矩阵，[w]k为齿面初始间隙，[w]k=[δ]k+[bj]k，bj(j=1，2，…，n)为齿对k的齿面法向间隙，[δ]k=δ[1，1，...，1]T。

对一个啮合周期中所有啮合位置上顺序进行LTCA计算，得到Z、[P]和[d]，Z为当前接触位置载荷P作用下的齿轮变形后的法向线位移传动误差，将其变换为角位移误差Δφij。

通过计算某一啮合位置k下不同载荷作用下对应的多组承载传动误差，将其分别代入式(6)，即可确定系数a，b，c，同时，可以推导出承载传动误差与名义载荷的函数关系式，再拟合出一个啮合周期中各啮合位置下承载传动误差随扭矩Tij(k)变化的函数关系式，最后得到各对齿轮副时变啮合刚度激励，可表示为

该刚度更加反映出齿轮在各啮合位置的力学特性，将啮合刚度的离散值通过多项式拟合和Fourier级数变换展开成周期函数。

3　算例求解

算例中各参数依据文献[4]中的数据，其中输入功率373 kW，输入转速8 780 r/min，齿轮参数见表1。

表1　齿轮参数

根据第2节所述的方法，计算得到两级各齿轮副的啮合刚度如下图3所示。

图4(a)和图4(b)分别表示了系统第Ⅰ和Ⅱ级各齿轮副的动载荷时间响应和对应的FFT频谱图。

由图4得到，在标准无误差的工况下各级齿轮副的动载系数分别为1.152和1.065。系统各级齿轮副啮合频率处振动较为强烈。

对不同转速下的系统载荷变化情况进行分析，图5给出了系统两级动载系数随转速的变化情况，ξg表示啮合阻尼比。

由图5可知，第Ⅰ级峰值转速为1 097.5，第Ⅱ级峰值转速为548.75和3 292.5，随着转速的变化，动载系数也随之变化，在系统进行动态特性分析时，可根据需求设定合理的工作转速，使之远离共振转速，提高系统的可靠性。增大阻尼，可以降低临界转速附近的动载荷，但对非临界转速附近的动载荷则影响很小。

图3　时变啮合刚度激励

(a)第Ⅰ级动载荷及对应的FFT频谱

图4　标准工况下动载荷时域历程和FFT频谱图

图5　动载系数与转速之间的关系

4　动态力学模型验证

文献[4]中给出了该系统的实验设备，整个装置形成一个功率流动闭环系统，如图6所示。

图6　系统实验设备及原理示意图

各级齿轮副的动载荷时域历程理论分析结果同文献[4]中动力学的计算结果进行对比，如图7所示，该工况为标准无误差工况，各级齿轮副传递扭矩过程中，静态标准载荷为4.05×105N∙mm 和7.86×105N∙mm(理论计算去掉瞬态时域响应)。

图7(a1)和图7(a2)示出，理论计算和文献[4]分析的第Ⅰ级各齿轮副的动载荷均在4.05×105N∙mm上下波动，理论分析和文献计算的动载系数分别为1.152和1.117；图7(b1)和图7(b2)示出，第Ⅱ级齿轮副在连接轴端的动载荷均在7.86×105N∙mm上下波动，得到的动载系数分别为1.065和1.112。得到动载系数相差不大，结果具有较好的一致性。

图8(a)和图8(b)分别给出了连接轴第Ⅱ级的动载荷处的文献数据和理论分析的FFT频谱图。

由图8可以看出，理论分析和文献数据分析得到的啮合基频都在1 019.13 Hz，文献[4]的数据分析(图8(a))在啮合频率处频谱值最大，频率3次谐波幅值逐渐递减，理论分析(图8(b))第2阶频率2 038.21 Hz处得到的幅值略高于啮合基频的幅值，主要是来源于轴频的影响，理论分析和文献数据分析的结果趋势一致。

图7　系统动载荷理论分析与文献计算对比

图8　理论与文献对比第Ⅱ级动载荷FFT频谱图

5结　语

(1)本文利用LTCA仿真分析技术得到各齿轮副的时变啮合刚度激励，并融合到功率分支系统动态特性分析中，准确体现了系统各齿轮副之间的齿面动态力学特性；

(2)采用集中质量法建立动态力学模型，简化了齿轮二分支传动系统的动力学分析模型。阻尼的增大，可以降低临界转速附近的动载荷，但对非临界转速附近的动载荷则影响很小；

(3)数据结果分析一致性较好，验证了本文提出的数学计算模型的可行性。

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中图分类号：TH132.4

文献标识码：A

DOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.003

文章编号：1006-1355(2016)01-0010-05+44

收稿日期：2015-08-27

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51505361)；陕西省教育厅专项科研计划项目(15JK1338)；陕西省特种加工重点实验室开发项目(2014SZS20-K04)

作者简介：董皓(1985-)，男，西安市人，工学博士，讲师，目前主要研究方向为齿轮传动动力学、车辆工程。E-mail:donghaofane@sina.com

Dynamic CharacteristicsAnalysis of Power Double Branch Gear System Based on the LTCATechnology

DONGHao1,FANGZhou1,DUAN Ling-ling2
(1.School of Mechatronic Engineering,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China; 2.Shaanxi Hualu Chemical Green Environmental Protection Co.Ltd.,Xi’an 710025,China)

Abstract:Double branch power split transmission system is widely used in aerospace engineering.In order to find the dual dynamic vibration characteristics of the power split transmission system,the dynamic mechanical model of the system was established.First of all,the actual meshing process of each gear pair was simulated using the technique of the loaded tooth contact analysis(LTCA),and the time-varying mesh stiffness excitation was obtained,which can improve the numerical precision.Then,by using the lumped mass method,the bending-torsion coupled three dimensional dynamic model of the dual power-split transmission system was established,and the corresponding dimensionless equations were deduced by eliminating rigid-body displacement and using dimensional normalization.Finally,the responses of this system in frequency domain and time domain were obtained,and the dynamic load change characteristics of each gear pair were analyzed.The results show that the dynamic characteristics of the system are greatly influenced by the input speed. Increasing the mesh damping can reduce the dynamic load near the critical speed.The experiment and theory are in good agreement.This work may provide a theoretical basis for the optimization design of the system.

Key words:vibration and wave;loaded tooth contact analysis(LTCA);time-varying mesh stiffness;bending-torsion coupled;dynamic factor;damping