转子弯扭耦合振动共振特征分析

关卓怀，蔡敢为

（1.农业部南京农业机械化研究所，南京 210014；　2.广西大学 机械工程学院，南宁 530004）



转子弯扭耦合振动共振特征分析

关卓怀1，2，蔡敢为2

（1.农业部南京农业机械化研究所，南京 210014；2.广西大学 机械工程学院，南宁 530004）

摘要：转子存在偏心距时，弯曲振动和扭转振动之间会相互作用产生弯扭耦合振动。目前对弯扭耦合振动的研究主要集中于其非线性特征，针对共振振幅大小和共振影响因素等共振特征的研究却比较少见。在实际的结构设计工作中，有时要利用耦合共振获取更大的振幅和振动能量。所以有必要从共振特征入手，对转子的弯扭耦合振动开展进一步的研究。首先建立偏心转子的弯扭耦合振动模型，使用小参数法对振动方程求解。其次分析扭转振动、弯扭振动产生耦合共振的条件，详细比较各振型共振振幅的大小和各参数对共振振幅的影响。然后以具体的算例，对各参数对弯扭耦合共振振幅大小的影响进行数值模拟，计算各阶共振振幅的大小，给出具有最大共振振幅时的参数条件，验证理论分析，为弯扭耦合振动的研究工作提供思路和依据。

关键词：振动与波；转子；弯扭耦合振动；耦合共振；振幅

转子存在偏心距时，弯曲振动和扭转振动会相互影响产生耦合振动[1]。在转速和外加激励频率达到一定条件时，这种耦合振动同样会产生共振[2]。学者们已对弯扭耦合振动的非线性特征开展了一些研究[3–8]，但是对弯扭耦合振动共振特征的研究却并不多见。现有文献并没有明确地将弯曲耦合共振、扭转耦合共振和弯扭耦合共振进行逐个分析，也未见对各阶振幅进行详细的计算比较。在实际将弯扭耦合振动理论应用到故障诊断、振动时效等领域中时，振幅的大小是一项重要参数[9,10]。所以有必要对弯扭耦合振动的共振特征进行详细的分析，比较弯扭耦合共振各阶共振振幅之间的大小关系，明确影响弯扭共振振幅大小的因素，确定最大共振振幅时的参数条件，并通过数值仿真的方法验证理论分析。

1　转子弯扭耦合振动方程

以Jeffcott转子为研究对象，模型如图1所示,圆盘坐标如图2，参数如下：圆盘的质量为m，转动惯量J，弯曲刚度k，扭转刚度kt，平动阻尼c，转动阻尼ct。圆盘的几何形心为o1(x,y)，质心为c(xc,yc)点，偏心距为e。转轴为刚性支撑的无质量柔性轴，并与圆盘相交于o点。φ为圆盘转过的角度，圆盘转速为Ω。以上述模型为研究对象，采用Lagrange方程法，建立转子的动力学方程得

图1　圆盘坐标

图2　Jeffcott转子模型

使用小参数法进行求解得[5]

式(2)、式(3)、式(4)为偏心转子的弯扭耦合振动响应，其中

其中ω0为弯曲振动固有频率；

ωt0为扭转振动固有频率；

ω1为外加激励力频率；

ωT1为外加激励力矩频率。

2　弯扭耦合共振特征

2.1扭转振动

扭转振动响应表达式(3)等号右边第一项为转子在外部激励力矩作用下的扭转振动响应，其余各项均为弯曲振动激励起的扭转振动响应。且都与AxAy相关，说明扭转耦合振动振幅与弯曲振动振幅的大小相关。对于各项同性的转子，Ax≈Ay，所以Aθ1≈0Aθ5≈0Aθ6≈0。对于各项异性的转子，虽然 Aθ1、Aθ5、Aθ6不等于零，但是依然存在关系Aθ1

(1)当ωT1=ωt0，即外加力矩的激励频率等于转子扭转振动固有频率时，经典扭转振动达到共振状态，其共振振幅

主要与外加力矩的大小有关。

(2)当ωt0=||Ω-ω1时，频率成分为||Ω-ω1的扭转振动达到耦合共振，共振振幅

其大小与激励力的频率ω1、弯曲振动振幅Ax和经典扭转共振振幅Aθ这三个量的大小有关。当ω1=ω0时，弯曲振动达到共振状态，Ax取最大值。即时，Aθ2取最大值

eFx可等效视作转子偏心造成的外力对转子的扭矩作用，相比于外加扭矩M0为较小的量，所以Aθ2max≪Aθmax。

同理，ω1=ω0时，Aθ3取最大值。Aθ3、Aθ4相比Aθ2是一个小量，与Aθ相比则更为不明显。

2.2弯曲振动

弯曲振动响应方程(2)和(3)右端均有六项，第一项Ax为外力作用下的弯曲振动响应。第二项Ax1为质量偏心引起的弯曲振动响应。后面四项均为扭转振动激励起的弯曲振动，频率成分为且当，振幅分别为：Ax2Ax3Ax4Ax5。

当他们分别满足共振的频率、转速要求时，共振振幅分别为：

(1)当ω1=ω0时，外加激励力频率等于转子弯曲振动固有频率，外加激励力作用下的弯曲振动发生共振，共振振幅

与经典的单自由度系统强迫振动特性一致。

当ω1=Ω时，质量偏心引起的弯曲振动达到共振状态，且ω1=Ω=ω0时，共振振幅最大式中Ax11max是由于质量偏心引起的弯曲振动响应，只与偏心距和阻尼比有关。Ax12max是由于偏心质量引起的扭转振动影响下的弯曲振动响应，与扭转振动振幅相关。上节分析中已得到结论，为一个小量，Ax12max较小，所以Ax1max主要与偏心距有关。

(2)当||ωT1±Ω=ω0时，频率成分为||Ω±ωT1的弯曲振动达到耦合共振状态。其共振振幅为

Ax2,Ax3的大小与激励力矩的频率ωT1有关，当ωT1=ωt0即扭转振动达到共振状态时，共振振幅最大，转速需要满足条件，此时

Ax2max、Ax3max从表达式上来看是一致的，但是他们到达共振状态时的条件是不一样的。Ax2max和Ax3max仅在各自满足共振条件时大小相等，但是在参数确定后，只有一种振型能满足共振条件，达到共振状态。

Ax2max和 Ax3max与 Aθmax（经典扭转振动共振振幅）在在同一个数量级上。

由于在求解时，略去了ε2以及更高阶项。如果取更高阶数，会得到更多的频率成分。但是其振动特性都符合上述规律，且都小一阶共振振幅。

综上，弯曲耦合共振的频率条件为

当弯曲耦合振动和扭转耦合振动同时满足共振条件时，转子达到弯扭耦合共振状态。综合弯曲、扭转振动的共振条件可得，转子弯扭耦合共振的条件为

3　数值仿真

3.1扭转振动

忽略重力影响，设旋转频率Ω=134 Hz，外加激励频率ω1=50 Hz，在不同频率的外加激励力矩作用下，扭转振动的幅频图如图3所示。ωT1=ωt0=147 Hz时，扭转振动振幅最大，为经典扭转共振。ωT1=||Ω-ω1=84 Hz时也存在一个峰值，说明由于弯扭耦合作用，弯曲振动激励的频率成分为||Ω-ω1的扭转振动。

设外加激励频率ω1=200 Hz，转速Ω发生变化时，频率成分为||Ω-ω1的扭转振动振幅的变化如图4所示。

当转速||Ω-ω1=147 Hz=ωt0时振幅最大，即为扭转耦合共振。外加激励力ω1变化时，扭转耦合共振振幅的变化如图5所示。

图3　扭转振动幅频图

图4　扭转耦合振动振幅随转速的变化

图5　不同频率外加激励力作用下的扭转耦合共振振幅

扭转耦合共振在ω1=ω0=335 Hz处取最大值。这是因为扭转耦合振动是由弯曲振动激励引起，当弯曲共振时，扭转耦合振动的振幅也达到最大。

扭转耦合振动的振幅与转速Ω和外加激励频率频率ω1有关。三个量的关系如图6所示。

扭转振动的峰值线为||Ω-ω1=ωt0=147 Hz，此条件下频率成分为||Ω-ω1的扭转振动产生耦合共振。且当ω1=ω0时，由于弯曲振动达到共振状态，所以由扭转耦合振动共振振幅最大，此时。

图6　转速、外加激励频率和扭转耦合振动振幅的关系

3.2弯曲振动

图7　弯曲振动幅频图

设外加激励力矩 ωT1=150 Hz，转速频率Ω=100 Hz弯曲振动的幅频图如图7所示。的弯曲振动。经典弯曲振动的振幅远大于耦合作用激励的弯曲振动振幅(大于图中所显示的最大值)。在当前数值条件下，频率为的弯曲耦合振动振幅大于频率为

图8　弯曲耦合振动振幅随转速的变化

转速Ω=ω0-ωT1=185 Hz时，振幅最大，即产生了弯曲耦合共振。当ωT1变化时，振幅的变化如图9所示。ωT1=147 Hz时，由于扭转振动达到了共振状态，弯曲耦合共振的振幅最大。

图9　不同频率外加激励力矩作用下的弯曲耦合共振振幅

综合考虑转速和外加激励力矩的影响，弯曲耦合振动振幅如图10所示。

图中弯曲耦合振动振幅有两条峰值线，分别是ωT1=147 Hz和Ω+ωT1=335 Hz。前者是因为扭转振动达到共振状态，由于耦合作用，扭转振动产生的弯曲振动振幅会比较大。后者是弯曲耦合振动达到耦合共振状态，所以振幅较大。

图10　转速、外加激励频率和弯曲耦合振动振幅的关系

当两个条件都满足时，弯曲振动和扭转振动振幅都达到最大值，也就是弯扭耦合共振，与理论分析结果一致。

4算例

为了更直观地看出各共振振幅的大小关系，对各量赋值进行具体的计算对比。参数如下：

e=0.001 mM0=1N mFx=10 NJ=0.07 kgm2m=10 kg，ξ=0.06 ξt=0.03 ω0=22 Hz ωt0=14 Hz Ω=8 Hz为转子的旋转频率，ω1为外加激励力频率，ωT1为外加激励力矩频率。

设外加激励力的频率ω1=10 Hz，则扭转振动为

设外加激励力矩的频率ωT1=14 Hz，则弯曲振动为

比较计算结果，由耦合作用激励的弯曲振动中，频率成分为|Ω-ωT1|的弯曲振动共振振幅Ax2max最大，与分析结果一致。

5结　语

（1）弯曲耦合振动、扭转耦合振动在满足一定的频率条件时，会产生弯曲耦合共振、扭转耦合共振。但是仅在时，产生弯扭耦合共振，并且时耦合共振振幅最大（根据具体的参数情况选取正负号）；

（2）弯曲振动和扭转振动相互影响：弯曲振动振幅与弯曲振动激励频率和扭转振动振幅相关；扭转振动振幅与扭转振动激励频率和弯曲振动振幅相关。可以同时达到最大值，此时弯扭耦合振动的振幅也达到最大；

（3）由耦合作用激励起的弯曲振动中，频成分为||Ω±ωT1的弯曲振动振幅最大；由耦合作用激励起的扭转振动中，频成分为||Ω±ω1的扭转振动振幅最大。

参考文献：

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[10]蔡敢为.弯扭耦合共振式振动时效装置及其实现方法[P].中国专利，CN 102212672A.2011.10.

广西自然科学基金重点项目（2014GXNSFDA118033)）

E-mail:caiganwei@163.com

中图分类号：TB123；TH113.1

文献标识码：A

DOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.002

文章编号：1006-1355(2016)01-0005-05+25

收稿日期：2015-05-07

基金项目：国家自然科学基金资助项目（51365004）；

作者简介：关卓怀(1988-)，男，河南开封人，硕士，助理研究员，主要研究方向为为机械动力学。E-mail:guanzhuohuai@163.com

通讯作者：蔡敢为(1961-)，男，湖南湘潭人，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为机械创新设计、机电系统性能设计理论、机构学。

Resonance CharacteristicsAnalysis of Bending-torsion Coupled Vibration of Rotors

GUAN Zhuo-huai1,2,CAI Gan-wei2

(1.Nanjing Institute ofAgricultural Mechanization,Ministry ofAgriculture,Nanjing 210014,China; 2.School of Mechanical Engineering,Guangxi University,Nanning 530004,China)

Abstract:Eccentricity of rotors can induce bending-torsion coupled vibration of shafts.Currently,research of the bending-torsion coupling vibration is focused on the nonlinear characteristics,but seldom on the resonance characteristics of the bending-torsion coupled vibration of the shafts.In the structure design,bending-torsion coupled resonance vibration is sometimes employed to obtain larger amplitude and vibration energy.So,further study on the bending-torsion coupled vibration of rotors according to the resonance characteristics is necessary.In this paper,first of all,a model of an eccentric rotor for bending-torsion coupled vibration analysis was built,and the vibration equation was solved by small parameter method.Then,the condition of coupling resonance of the bending and torsional vibrations was analyzed.Finally,the theoretical analysis was demonstrated by numerical simulation.This work provides an idea and data base for the bendingtorsion coupling vibration analysis.

Key words:vibration and wave;rotor;bending torsional coupled vibration;coupling resonance;amplitude