正弦信号频率估计的改进高阶自相关算法

朱磊， 沈继红

(哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)



正弦信号频率估计的改进高阶自相关算法

朱磊， 沈继红

(哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

摘要：针对混有加性高斯白噪声的正弦信号，利用正弦信号的线性预测性质和高阶自相关函数，提出了新的频率估计算法。新算法与多种算法进行了计算复杂度比较，同时理论推导得到新算法的频率估计方差的闭合表达。新算法平衡了估计性能和计算量之间的矛盾。在仿真实验中，与改进协方差 (MC)算法、Rim算法、Pisarenko 谐波分解 (PHD)算法及其多种改进型算法进行比较。结果表明：本文算法总体优于各对比算法，特别在在信号序列较短和中高信噪比情况下，性能接近克拉美罗界。

关键词：正弦信号；频率估计；线性性质；高阶自相关 ；克拉美罗界；Pisarenko谐波分解法

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160127.1137.036.html

正弦信号的频率估计问题是信号处理领域的一个基本问题，其在雷达、声呐、探测、无线通信以及语音识别等领域被广泛关注和研究[1-4]。极大似然估计法(maximum likelihood，ML)算法能够达到克拉美罗限，但是需要进行大量计算[2-3]，在工程中难以实现。为寻找计算量合适的次优算法，研究者进行了很多探索[3-22]， 焦点集中在两个方面：估计的精度和算法实现所需的计算量。最大似然估计是最优估计，其方差接近克拉美罗限(CRLB)[1-2]，但计算量大无法满足实时处理的要求[5]。Quinn、 Candan等[6,16-17]利用FFT系数进行插值计算。Rife、Aboutanios等[1,18-20]利用迭代估计频率。为了提高估计性能采用相位校正[21-22]技术，能够在插值算法中改善算法精度。而迭代法的性能则一定程度上依赖于初值的选取[5,21]。文献[5]指出当初值落在频率真值5倍克拉美罗限均方根范围之内，迭代法方可获得高性能。设计出新的高精度直接估计法，既可为迭代提供准确初值，也可直接作为频率估计器，具备理论和应用的价值[21]。

利用正弦信号线性(linear prediction，LP)性质及自相关函数，研究者提出了多种算法，如改进协方差(modified covariance，MC)算法[13]、Pisarenko谐波分解法(PHD算法)等[8]。PHD算法具备实现步骤简单、计算量少等优点，SO等[9-10]提出了众多改进算法，从改进自相关函数设计的角度，减少估计误差。Rim等[11]则考虑利用更多自相关信息，包括高阶自相关等来进行算法改进。曹燕[4]利用Rim算法作为初值，利用泰勒展开式进行频率细化，获得了更好的精度。本文将利用高阶自相关函数在提高估计精度上的优势[14]与PHD算法的派生形式[12]，进行新估计算法的设计，寻找合适的直接估计算法。

1基于线性(LP)性质的估计方法

1.1MC估计法

单一频率实正弦信号模型可表示为

(1)

其中

(2)

在无噪声的情况下，利用正弦信号的LP性质可以得到

(3)

基于LP性质可以构造预测误差函数:

(4)

(5)

此方法被也就是改进协方差(modified covariance，MC)算法[13]。

1.2Rim估计法

当噪声存在时，MC算法是一个有偏的方法[15]。为了改进MC算法的估计精度，不少文献开展了研究[9，11]。其中Rim提出基于自相关的频率估计算法[11]。

无噪理想情况下，对式(1)给出的信号模型，定义基于时间平均的自相关函数:

(6)

当N足够大时，式(6)中第二项趋于零，对自相关求数学期望为

(7)

式中δk,0为Kronecker函数。当k≠0,δk=0，此时信号的自相关函数：

(8)

自相关信号的频率与原信号频率相同，即原信号的频率估计问题转化为自相关信号的频率估计问题。同样利用LP性质可得rk+rk+2≈2cos(ω0)rk+1，则对q>p>1，观察序列:

(9)

可以得出Rim法频率估计表达式：

(10)

对Rim算法的性能进行了进一步分析表明，Rim算法在中高信噪比下表现较好。但是由于算法需要进行多个自相关函数计算，因此计算量较大[7]。

2基于高阶自相关的频率估计方法

从基于自相关的频率估计误差分析，自相关阶数越高，性能越好[14]。文献[12]对PHD算法的派生形式进行了研究，提出基于方程求根形式的PHD算法表达。本文算法引入高阶自相关系数，利用LP性质推广PHD派生形式。推导出基于高阶自相关的估计算法。

自相关函数定义由式(6)得到，同时由式(8)可以得到

(11)

(12)

(13)

上述过程都利用了高阶的自相关函数，会带来频率模糊问题。文献[11]和文献[18]提出利用与PHD估计值最近的估计值作为算法的估计值。

(14)

表1　各种方法计算量比较

3统计性能分析

由式(12)定义三阶多项式：

f(T)=4r2T3-2r3T2-3r2T+r3

(15)

(16)

(17)

利用式(6)进行期望计算，为计算式(16)，可以从式(15)得到

(18)

(19)

分别计算E(r2)、E(r3)、E(r22)、E(r32)、E(r2r3)：

(20)

(21)

(22)

(23)

E(r2r3)=

(24)

将结果代入式(18)、(19)，通过略去高次项进行近似，得到方差的精确理论估计：

(25)

当N值较大时，式(25)的后几项可以进行进一步的简化得到：

(26)

其结构更加清楚简洁，当然，准确程度受到相应的限制。通过图像可以清楚的对比理论误差式(25)、(26)与估计算法的数值试验的近似程度。

图1显示精确误差公式在SNR=10 dB， N=200时能够较好的匹配试验结果。但注意到式(26)在对式(25)近似时，要求合适的SNR与N值。在对SNR与N取不同值时发现理论误差公式(26)在较大的SNR与较小N值情况下，近似效果较差。

图1　SNR=10 dB， N=200时均方误差Fig.1　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=200

图2～4分别显示增大SNR、长度 N不变，SNR不变、N减小，SNR增大同时N减小三种情况下理论误差公式与试验情况的对比图。

通过表2，清楚的看到式(25)与式(26)的近似程度差别。虽然式(25)结构繁琐，但能够更好的逼近估计误差。在相对低SNR与高数据长度N情况下则能够用式(26)近似。相对于SNR变化，式(26)对于数据长度N变化更加敏感，这与理论分析相吻合。

图2　SNR=20 dB， N=200时均方误差Fig.2　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

图3　SNR=10 dB， N=40时均方误差Fig.3　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=40

图4　SNR=20 dB， N=40时均方误差Fig.4　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=40

SNR=10dBSNR=20dBN=200好(图1)较差(图2)N=40差(图3)非常差(图4)

4仿真实验

利用计算机对本文提出的估计算法进行模拟。 并将算法与PHD算法[8]、ML算法[3]、MC算法[13]、IVPHD(improved PHD)算法[9]、RPHD(reformed PHD)算法[10]、Rim算法[11]进行比较。最后，与CRLB限[2]进行对比。

图5的比较结果显示本文提出的算法明显优于各种PHD算法及其改进IVPHD，RPHD算法等。特别的，在区间(0.35π,0.65π)，最大领先10 dB。注意到在图2～4中，IVPHD体现出过大的波动性，并且在区间(0.35π,0.65π)内明显差与本文算法(并且差于其他算法)，并在区间外呈现大幅震荡的结果，算法稳定性较差。并且，与计算量最大的Rim算法相比，算法总体上优于Rim算法，特别在区间ω0≤0.2π和ω0≥0.8π有5 dB以上的优势，并且算法的稳定性很好。

图7显示本文提出的两种算法，与其他6种算法，在ω0=0.825π,N=20,φ=0 情况下，MSE 随SNR 变化情况。结果显示算法体现出优势。本文提出的算法全面优于MC、PHD、IVPHD、RPHD，Rim算法。特别是在SNR>10 dB情况下，算法能够接近于CLRB界，相差小于1 dB ，体现了计算量和计算精度很好的综合。

图5　SNR=20 dB 、 N=200时各算法MSEFig.5　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

图6　SNR=10 dB 、 N=20时各算法MSEFig.6　MSE vsω0/π， SNR=10 dB & N=20

图7　ω0=0.85π,N=20时各算法MSEFig.7　MSE vs SNR atω0=0.85π,N=20

5结论

本文对正弦信号频率估计问题进行研究，通过理论分析和推导，利用正弦信号的LP性质及高阶自相关函数的特点，提出基于高阶自相关的新估计算法：

1)对算法进行计算复杂度比较，相较其他算法，本文算法在计算量上的消耗较小。适用于实时情况；

2)利用泰勒展开式对算法的方差进行理论推导，给出本文算法的估计误差的精确和粗略2种闭合表达式。精确公式能够在各种条件下更准确逼近估计误差。但在N值较大情况下，结构简单的粗略形式表达满足精度要求；

3)对算法的仿真结果表明，本文算法精度性能上优于与之对比的算法，特别是在数据序列较小和中高信噪比情况下能够逼近理论界CRLB。本文提出的估计算法能够综合平衡计算精度和计算量，既能单独作为估计算法，以较小计算量满足精度需求。同时，也能作为频率估计迭代算法的合适初值，进一步提高频率估计算法的性能。

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收稿日期：2015-01-14.

基金项目：国家自然科学基金项目(NSFC:11002037).

作者简介：朱磊(1982-), 男,讲师,博士研究生； 通信作者：朱磊, E-mail: zhulei@hrbeu.edu.cn.

doi:10.11990/jheu.201501022

中图分类号：TN911.23

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2016)04-0579-06

Modified high-lag autocorrelation estimation method for frequency estimation of sinusoidal signal

ZHU Lei，SHEN Jihong

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：Based on the linear prediction (LP) property and high-lag autocorrelation of sinusoidal signals, a new frequency estimation algorithm for real sinusoid signals in additive white Gaussian noise is proposed. The computational complexity and theoretical variance expression of the frequency estimation algorithm are given. The new estimator can reach a compromise between estimation performance and amount of computation. Computer simulations were performed to validate the performance of the proposed algorithm via comparison with the Cramer-Rao lower bound (CRLB) and several conventional frequency estimation algorithms, including modified covariance (MC), Rim, Pisarenko harmonic decomposition (PHD), and their modified algorithms. The results show the proposed algorithm is superior to the other methods, and its performance is close to that of CRLB for short data lengths and large SNR.

Keywords：sinusoidal signal; frequency estimation; LP property; high-lag autocorrelation; Cramer-Rao lower bound; Pisarenko harmonic decomposition

网络出版日期：2016-01-27.

沈继红(1966-), 男, 教授，博士生导师.