基于乘法算理理解的算法建构

唐燕飞

[摘 要]乘法算理为乘法算法的建构提供了理论基础，乘法算法需要乘法算理来解释。通过借助点子图、依托拆数法、妙用巧算法来阐述乘法教学中的算法建构过程，帮助学生更好地理解口算和笔算乘法的算理，从而掌握乘法的口算和竖式计算。

[关键词]两位数乘一位数 两位数乘两位数口算 笔算乘法 算理算法

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-089

算理和算法相辅相成是的，课程标准中也强调了算理和算法的重要性：在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。

一、借助点子图，将抽象的算理具体化

点子图常用于简单的笔算乘法教学。它可以把抽象的乘法算式转化成具体的实物模型，便于学生在具体可见的点子图中找寻到笔算乘法的基本算法。

【案例】两位数乘一位数的乘法

师（出示题目：每排有12个球，3排有多少个球？）：你能列出算式吗？（12×3或3×12）为什么两个算式都是正确的？（两个算式都表示3个12是多少）你会计算吗？把你想的过程用算式表示，也可以在点子图上圈一圈。

生1：我用连加法，12+12+12=36。

生2：我把12拆成整十数10和一位数2，10×3=30，2×3=6，30+6=36。

（教师引导学生发现结果中十位上的“3”是3个10相加而得，表示3个十；个位上的“6”是2个3相加而得，表示6个一。）

其实大部分学生都能正确口算两位数乘一位数的不进位乘法，教师选择12×3的目的有二：一是不仅让学生知道这样算，还要知道为什么这样算，而不是没有思维含量的机械计算；二是渗透数形结合思想，将实物的“球”用模型“点”来表示，学生头脑中的思考过程就能体现在点子图中。

二、依托拆数法，将复杂的算理逻辑化

“拆数法”是把其中一个乘数拆成整十数与一位数的和后分别与另一个乘数相乘，再把各部分的积相加。

【案例】两位数乘两位数的乘法

师（出示题目：幼儿园购进12箱迷你南瓜，每箱24个。一共有多少个？）：你们会列式吗？（24×12）那24×12等于多少呢？请在练习本上算一算。

生1：我把12拆成3乘4，24乘3等于72，72乘4等于288。

生2：我把12拆成10和2，24×10=240，24×2=48，240+48=288。

生3：我是把13拆成10和3，10×23=230，3×23=69，230+69=299。

生4：我是把23拆成20和3，13×20=260，13×3=39，260+39=299。

师：我们可以把一个乘数拆成乘法算式或加法算式，但是把一个乘数拆成整十数和一位数是万能的笔算“法宝”。

教师选择24×12和23×13这两道两位数乘两位数乘法，主要目的有三：让学生感受到连乘法在两位数乘两位数乘法中具有局限性；体会拆数法的简便性；让学生感知，即使形式不同，计算方法即算理都是一样的。

三、妙用巧算法，将单一的算理多样化

通常的算法是人为的规定与选择，是为了保证数学内部的和谐，而算法背后的道理才是算理。

【案例】十几乘十几乘法的巧算

师：你们会计算12×13吗？

生1：我用连乘法来计算，把12拆成3乘4，13乘3等于39，39乘4等于156。

生2：我用拆数法来计算，把12拆成10和2，10×13=130，2×13=26，130+26=156。

生3：我用竖式来计算。（略）

师：今天老师再教你们一招。十几乘十几的巧算口诀：头乘头是高位积，尾加尾是中积，尾乘尾是末尾的积。最后再排列，遇到满十的向前位进一就是了。我们一起来算一算！

生4：头乘头1×1=1；尾相加2+3=5；尾相乘2×3=6。最后再排列起来就是156。

师：请用这种方法来算一算15×17。

生5：头乘头1×1=1；尾相加5+7=12；尾相乘5×7=35，最后排列时高位积本是1，要加进上来的中位积12中的1，就是2了；中位积本是2，加尾积进上来的3就是5了；末尾积就是5。就是255。

让学生摆脱思维的定式，从不同角度灵活地选择算法，寻求合理的运算途径，这是一种高层次思维能力的训练，更是促进学生积极思考的有效教学方式。

（责编 童 夏）