对一道不适合六年级学生习题的思考

沈亚

[摘 要]通过对一道题的分析，提出质疑，明晰教师应对学生的练习进行思考，使练习适合学生的思维能力和知识基础，让学生得到更好的发展。

[关键词]教材 正方体 思维 空间观念 能力

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-024

2013年第10期《中小学数学》（小学版）刊登了童义清老师所写的《教材能否再多编一题》一文，童老师在文章中说教学六年级总复习时遇到这样一道填空题：“由几个相同小正方体搭成的立体图形，从正面看到的是，从左面看到的是，这个立体图形至少是由 个小正方体组成的。”

童老师班上的大部分学生，也包括童老师，认为是由6个小正方体（如图1）组成的。课堂上，生1站起来反驳道：“我不同意，我认为是由5个小正方体组成的。”其他学生听后一头雾水，生1操作（如图2）后，其他学生才恍然大悟。童老师对此进行了深刻细致的剖析：“全班60多名学生几乎没有人想到这种方法，这或许跟我们教材编排的思路有关。通过对比北师大版教材、苏教版教材以及人教版教材，发现这些教材中凡是涉及由小正方体搭成的立体图形题，都是把小正方体有序紧密地进行排列，要么是直直的一行，要么是直直的一列，每个小正方体都至少有1个面和其他小正方体重合（如图3），却很少出现面不重合且只有棱重合（如图4）的情况。”

因此，童老师认为由于教材上很少出现这种情况——小正方体面不重合而棱重合，所以学生凭借从教材中获得的知识和经验进行初步判断时出现了偏差。

仔细拜读之后，我很佩服童老师对各种不同版本教材细心解读的精神，让我深刻地感受到一线教师对教材的大胆质疑与不同设想，但童老师文章中的一段文字引起了我的思考：“生1摆出的这个图形不是很复杂，相反少了1个正方体（如图2），显得更加简单。”这里，我不禁问道：“如果更显简单，为何60多名学生（也包括童老师）几乎都没有想到这种方法？”当然，童老师归结的原因是跟教材编排的思路有关，而且进行了细致入微的阐述，但我并不认可童老师由此得出教材需要再多编一题这样的结论，因为将三视图还原实物几何体的时候，由三视图（正面、上面、左面）可以准确地确定实物图的形状。生1摆出的这个图形看似并不复杂，但是回到题目原点就会发现：此题根据两个方向（正面、左面）的视图还原实物图，对于空间观念尚在建立阶段的小学生而言是极不合理的。主要理由如下：

（1）很难确定这个实物图需要小正方体的具体数量。

（2）还原这个立体图形至少是由 个小正方体组成的，不仅要想象出可能的实物图，而且要从中选出最少的个数。

（3）只根据两个方向观察的平面图形，还原实物图的可能性众多，具有不唯一性。

（4）还原面不重合，只有棱重合，这一特例处于一般人思维的盲区：从正面看，至少需要5个小正方体；从左面看，右侧至少还要添1个小正方体，所以自然而然地认为至少要6个小正方体。

（5）我先生是搞建筑设计的，看到这样的题目，送我一句话：“题目不完整，容易让人产生歧义。”同时，他明确地表示：“既然要还原实物图，那么通常要提供必要的三视图（正面、上面、左面），否则就很难准确还原。”

看他对这种题目不屑一顾的样子，更激起了我的好奇心，商量着让他还原出实物图，开始他犹豫了一下，而后画出结果（如图5）。我笑后给出生1的方法，他摇摇头又来了一句：“这种题目也太怪了。”这不由得让我想到一句笑话：“小学一年级的数学思考题难倒大学老教授。”

而后在我的再三请求下，他给我画了两幅由三视图还原的实物图，从中可以清楚地比较出由6个和5个小正方体搭成的图形，我发现正视图和侧视图是一样的，只有俯视图有明显的区别（如图6）。由此可见，要准确还原实物图的确需要由三视图来支撑，否则真的有些强人所难了，更何况是对小学生而言。

细读文章后，我认为童老师在备课时应该没有考虑到这一题的难度，原文如下：“这道题是考查学生对空间几何体三视图与实物图的相互转化能力，由于是复习课，多数内容比较简单，所以课堂上我没有准备小正方体学具。”显然，童老师没有用小正方体来引导学生进行观察、操作等活动，而是直接让学生凭借已有的知识经验抽象、概括出结论。童老师很可能课前没有将这题进行研究，才会在初步判断时也认为答案是6个小正方体。我根据自己多年的教学经验得出：让学生练习的题目，教师必须试做，才能了解题目的深浅程度，预设学生可能出现的错误。不可否认，就这题的难度而言，试做后有可能使学生的错误率降低，但并不能完全避免学生错误的发生。如果发现题目的难度过大，教师完全可以自行改编或者直接删除。

童老师建议教材在编排例题或练习时，涉及小正方体还有可能出现面不重合而棱重合的情况，但童老师对这一题没有注明出处，只是写道：“教学六年级总复习时，我与学生遇到……”由此可以推测，此题很有可能是教辅用书上的，而并非出自正规教材。现如今充斥市场的是各种各样、名目繁多、盈利性强的教辅用书，那数量真是铺天盖地，质量却是良莠不齐。我个人认为：“出这道题目的人极有可能运用正向思维，考虑的也是由6个小正方体搭成的图形，只是没考虑到解决问题的人可能运用逆向思维，即根据两个方向（本题是正面、左面）观察到的平面图形还原实物图，而且涉及面不重合但棱重合这一特例。基于此，确实没有必要一一罗列所有的可能。”

我认为，这种题目的出现只会增加小学生学习空间几何体的难度，不利于他们空间观念的培养。空间思维是一种复合思维，快速、高效是它的两个显著标志。而且，此题的难度远远超越了小学生空间思维能力的极限，练习之后，反而会影响学生已经建立的空间观念，导致他们容易和已有的知识储备、个人经验产生混淆。另外，先不论这种练习是否会打击学生学习数学的兴趣，降低他们学好数学的热情，如此的拔苗助长也是极其不可取的。而生1提出的方法，也从另一个侧面说明此题的不合理。试想，如果没有出现生1的方法，那么这道题的答案将毫无疑问是6个小正方体。如此不合理的题目才会引出错误的答案，追本溯源，又怎能将出现这种特殊情况的原因简单地归结为和教材编排有关？我认为童老师思考错了方向，纠错了责任方。不过，如果童老师先考虑不同版本教材共同的编写意图，再认真研读课程标准，继而调整思路，就会发现各种版本教材的编者没有将这一特例引入教材的原因了。同时，《数学课程标准》（2013版）中明确指出：“空间观念主要表现为能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化。”这里清楚地说明此题超越了课程标准的范畴，从而失去了考查学生空间思维能力及知识掌握程度的价值，这样的练习其效果适得其反。

文章的结尾处，童老师还提出这样的建议：“试想，如果教材在编排例题或练习时，在保证基本要求能够实现的基础上，适当辐射小正方体还有可能出现其他的位置关系（如图7），体现立体图形与几何图形转换情况的多样性，就可以避免学生形成思维定式，更有利于适应不同层次学生的学习需求。”大胆设想一下，如果教材编者采纳了童老师的建议，出现面不重合而棱重合的情况，那么类似这种的题目就可以堂而皇之地让所有学生进行练习。那我们再回到此题，就会发现这道题并非只有生1出示的这一种摆法，还有多种情况（如图9）。

请问：“这真的能更有利于适应不同层次学生的学习需求吗？能让学生更好地发展空间观念吗？”我认为此道题超出了教材的广度，超越了课程标准的深度，超越了学生空间思维能力的极限。经查阅资料后，我发现：通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会出现这样的题型。可见，这类习题在小学数学课堂上作为研究素材显然是拔苗助长，根本不合时宜的，又怎能不让学生生畏呢？我认为，此道题只会增加学生学习空间几何体的难度，不利于发展他们的空间观念。对空间观念尚在建立的学生来说，在这种问题上实在不必太过苛求；对于空间观念本来就不强的学生来说，这种题目的练习无疑更是雪上加霜，也与我们现行教育所提倡“切实减轻学生负担”的理念背道而驰。但愿出题的人能够把握教材的本意，而我们一线教师更要准确地理解编者的意图，精心选题，事先备题，才能让更多的学生进行扎实有效的训练，从而切实提高学生的数学素养。

数学的思想是化繁为简，所以我们不能在数学上化简为繁。教师对教学内容进行拓展、延伸应遵循一定的规律，不能随意地对教学内容进行扩展，从而导致知识性的错误发生。由于上述这道题极具思考性，对于空间观念特别强的学生而言，此题如果作为课外思维训练，让这类学生练习一下未尝不可。

以上纯属个人观点，如有不妥，敬请指正。我很愿意抛砖引玉，与大家共同进步。

（责编 蓝 天）