烦忧数学吗？来学无穷大吧

孙文长

无穷大直观体验

美国曾经有个小男孩，在与家人团聚时，听爸妈说“我们永远都在一起”。能跟爸妈在一起，他很开心，但他不明白“永远”是多远，意味着多长时间。亲爱的读者，你明白吗？

有一天，爸妈叫他和妹妹一起敬拜上帝。他与妹妹并肩跪在地上，身后正好有一面穿衣镜；爸妈在他们对面，也并肩跪下，身后也有一面穿衣镜。镜子照射出爸爸、妈妈、妹妹和他的身影，通过两面镜子来回反射，他们一家人的身影被照射出很多很多个。顺着镜子往里看，他惊讶得发现这些身影只是变得越来越小，却没有尽头！于是他思绪飘飞，对着镜子开始数爸妈和妹妹的身影，一个、两个、三个、四个、五个……突然一个词“永远”映入了脑海。永远就是数也数不完，今天明天后天……以后的每一天，我们都在一起。

这个小孩经历的就是对无穷大的理解。无穷大属于一个数学概念，学习无穷大不仅为了应付考试，还有许多意想不到的额外好处。

有助于学习高等数学

无穷大在数学上不是特指一个概念，它与许多主题有关，比如极限、集合、阿列夫数等。无穷大是高等数学的重要基础之一，中小学时理解无穷大，未来将受益匪浅。

从小学开始，数学教师就教导0不能做除数，它没有意义。但高等数学里，在扩充复平面的规则下，0可以做除数，存在这样一个等式：1/0=∞。当然了，这个等式也不是平常意义上的运算。如果现在你能理解无穷大，将来就能更好地学习高等数学。

有助于理解抽象知识

学习无穷大，有助于化抽象为具体，更好理解抽象的数学知识。

在阅历经验有限的条件下，理解抽象知识最好的方法就是把它具体化，化虚为实。比如利用两面穿衣镜折射出无数个影子，就是对“永远”这个抽象概念的具体化。具体化之后，即使小学生也能理解抽象概念。

荷兰错觉图形大师埃舍尔，精通于以艺术绘画表现数学特性，他作品丰富，很多都表现了无穷大、几何原理等不同的数学知识。比如他的版画《鱼与鸟》，演绎了鱼与鸟的图底转换。作品中鸟在不断的变化中不知什么时候突然变成了鱼，而鱼又不知什么时候突然变成了鸟，这体现了渐变的特性。渐变也是无穷大的一个特性，从版画的直观图形中，我们可以更好地理解无穷大。

数学本身就是抽象的，无穷大更抽象，因此为了理解无穷大，必须把它具体化。假以时日，这种具体化的能力，就会慢慢变成习惯。一旦养成习惯，就有助于理解更多的数学知识，甚至其他学科的抽象知识。

有助于提高主动学习能力

学习无穷大，还能促进学习者主动学习，提高想象力和元认知能力。

对于1→0中间的数，比如1/2、1/4、1/8、1/16……乃至无穷，怎样理解呢？可以用这种直观又必须具备想象力的方法。取一张A4纸，用剪刀在中间剪掉一半，把剩下一半再拦腰剪掉一半，然后在剩下一半的一半的纸上再拦腰剪掉一半，依次类推，一直剪到最后，纸越来越小，小得不能再剪了。你所剪下的每一半纸，分别就是1/2、1/4、1/8、1/16等等，或许剪到1/2056时，实在剪不下了。但是，这时你应该明白，假如有一个小一号的人，拿一把小一号的剪刀，他可以继续一半一半剪下去，而且永远剪下去。

根据建构主义教育理论，知识学习不能被动接受，必须主动建构，像一砖一瓦建房子一样，在大脑中构建知识网络。如果把1→0中间所有（1/2）N（N=自然数）的数，比作一张知识网络上的知识点，那么构建这个知识网络，就要认清所有这些（1/2）N数。认清这些数，首先不可能被动地“听”，单纯地课堂传授或许能让你记住它们，但很难认识；其次，不可能一个一个地数，它们有无数个，根本数不过来。

所以，学习者必须主动探究，理解1/2、1/4…1/16…1/128……等每个数究竟有多大（如纸张大小），以及它们之间相互关系（如纸张大小比较）；还要发挥想象力，在诸如1/2056这样大小实在剪不下去的纸上，仍然能继续剪下去（如存在小一号的人和剪刀）。

这种直观地学习无穷大的方法，可以给学习者留下一种数字直觉，它能促进主动学习和元认知。这些就是新课程改革中，探究或问题导向的课程形式所注重的培养目标。

总的来讲，学习无穷大最直接的益处，或许就是让学习者免于害怕数学。毕竟，抽象的无穷大的“数”，你可以理解，其他类似几十亿、上万亿的数自然再不会头疼。