如何理解并有效应用反比例函数中“k”值的几何意义

季红娟



知识学习园/难点提示

如何理解并有效应用反比例函数中“k”值的几何意义

季红娟

一、正确理解“k”值的几何意义

k的几何意义：反比例函数图像上的点（x，y）具有两坐标之积为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数

A.S1

C.S2

图1

图2

图3

A.S1S2>S3

C.S1=S2>S3D.S1=S2

【解析】（1）正方形ABOC的边长为2，则面积为4，所以=4.因为图像位于第二象限内，所以k<0，所以可以得到k=-4.

（2）根据k的几何意义，可知S1=S2=S3，所以选D.

（3）根据k的几何意义，可知S1=S2，设PE与反比例函数交于点G，则△GOE的面积与S1，S2相等，则S1=S2

【点评】在把k与矩形、三角形面积结合起来用时，必须根据图像所在的象限来判断k的正负.

二、活用“k”值的几何意义是关键

A.1B.2C.3D.4

图4

图5

A.1B.2C.4D.8

图6

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②④

【解析】（1）将BA延长与y轴相交，根据k的几何意义，可以知道矩形ABCD的面积即为，所求面积为2，选B.

【点评】能将图形灵活地进行割与补，并与k值的几何意义结合起来，可以很轻松地解决较复杂的图形问题.

三、反比例函数中几何图形的综合应用

A.8B.10C.12D.24

【解析】根据已知点的横坐标得出其纵坐标，进而求出直线AB的解析式，及其与x轴横坐标交点，即可得出△AOC的面积.

图7

【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及用待定系数法求一次函数解析式，得出直线AB的解析式是解题关键.

图8

A.S1=S2B.2S1=S2

C.3S1=S2D.4S1=S2

【解析】根据题意，易得A、B两点关于原点对称，可设A点坐标为（m，n），则B的坐标为（-m，-n）；在Rt△EOF中，由AE=AF，可得A为EF中点，分析计算可得S2，矩形OCBD中，易得S1，比较可得答案.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.

图9

如图10，过C点作CE⊥x轴，垂足为E.

图10

∵Rt△ABO中，∠OBA=90°，

∴CE∥AB，

∵C为Rt△ABO斜边OA的中点，

∴CE为Rt△ABO的中位线，

作者单位：（江苏省常州市武进区前黄实验学校）