基于极限分析上限方法的海底斜坡稳定性评价

刘博，年廷凯，刘敏，郑德凤，宋雷，印萍

(1.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024；2. 中国建筑东北设计研究院有限公司，辽宁 沈阳 110023; 3. 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221008；4. 国土资源部海洋油气资源与环境地质重点实验室，山东 青岛 266071；5. 辽宁师范大学 城市与环境学院，辽宁 大连 116029)



基于极限分析上限方法的海底斜坡稳定性评价

刘博1，2，年廷凯1，3，4*，刘敏1，郑德凤5，宋雷3，印萍4

(1.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024；2. 中国建筑东北设计研究院有限公司，辽宁 沈阳 110023; 3. 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221008；4. 国土资源部海洋油气资源与环境地质重点实验室，山东 青岛 266071；5. 辽宁师范大学 城市与环境学院，辽宁 大连 116029)

摘要：极限平衡法仍是当前海底斜坡稳定性的主要工程评价方法，但该法只能给出稳定性分析的近似解答。基于极限分析运动学定理，假定海底斜坡发生对数螺线型滑移破坏模式，将滑体有效自重和简化波浪力等以外荷载形式叠加引入到虚功率方程中，与潜在滑动面上由黏聚力产生的内能耗散率相平衡，建立考虑一阶简化波浪效应的海底斜坡上限解法；利用多变量无导数求极值的逐级迭代方法与最优化技术，结合抗剪强度折减思想，求解波浪加载下不同时刻的海底斜坡稳定性与相应的临界破坏机构，并针对典型算例开展有限元数值解的验证。进而联合采用数值法与上限解，探讨波高、波长、水深等波浪参数对海底斜坡稳定性与滑动机制的影响。结果表明，本文提出的上限解与数值解吻合较好，获得的安全系数与破坏模式等符合一般规律，为波浪作用下海底斜坡的稳定性评价提供了新的途径。

关键词：斜坡稳定性；海底滑坡；极限分析；波浪力

1引言

波浪产生的波压力直接作用于海底斜坡表面，在其循环作用下，极易诱发海底斜坡失稳，特别是在恶劣海况或极端海浪环境下更易诱发大规模海底滑动，给海洋工程建设带来不利影响甚至引发重大地质灾害[1—7]。因此，开展波浪作用下海底斜坡的稳定性评价与滑坡预测研究具有重要的现实意义。

当前海底斜坡的稳定性评价多采用极限平衡法[4—5，8—9]和静动力有限元法[1，10—13]。总体上，极限平衡法简单易行、计算参数容易满足，但所得结果为近似解答，无法确定其与严密解的大小关系，是工程上的简化近似方法，且多采用无限坡理论求解，对于局部坡度较大、规模较小的海底斜坡的计算结果并不理想，因为这类海底斜坡的破坏模式仍然以整体滑动为主而非浅表层滑动；而拟静力有限元或动力有限元法，虽然能够处理复杂工况，但要求输入的静、动力参数多，取值往往较困难，且易受到边界条件、网格剖分、本构模型等影响，要获得高精度的计算结果往往计算成本高、耗时长。相比之下，基于运动学定理的极限分析上限方法可以很好的弥补这一劣势，其采用的对数螺旋面转动破坏模式是所有可能破坏机构中最临界的一种[14]，能够考虑浅层或深部滑动，所需参数取值容易，既能满足计算精度要求，又能给出问题的真实解答，因此在水下边坡稳定性分析中受到青睐[15]。然而，该方法目前尚未实现波浪作用下的海底斜坡稳定性评价。

本文引入一阶线性波理论，假定波浪在传播过程中服从正弦分布，以等效波幅平均值对海底表面施加波压力，将波浪力、上覆水压与浮力作为外荷载做功，直接加入能量方程虚功率项中，建立考虑拟静力波压力的海底斜坡极限状态方程；利用强度折减技术与最优化方法，求解波浪作用下不同时刻的海底斜坡稳定性安全系数及相应的潜在滑动面；进一步结合典型算例，利用有限元强度折减法验证其正确性，并通过变动参数讨论，揭示波浪诱发海底滑坡的破坏机制。

2极限分析上限方法基本理论

极限分析理论是基于塑性力学中的静力学和运动学定理，分别建立极限应力状态方程与功能平衡方程，从而找出实际问题的真实解范围，这个真实解应处于最大下限解和最小上限解之间[14]。在各类岩土工程问题中，极限状态方程中的未知量可以是边坡临界高度与稳定性安全系数、挡墙主被动土压力和地基承载力等问题。

极限分析上限方法是指满足土体内部破坏准则和流动法则及给定破坏模式(如对数螺旋线)条件下，外力(包括体力与面力)所做功的总功率应不大于速度间断面上的内能耗散率；当处于极限状态时，外力功率等于内能耗散功率，此时的极限荷载即为真实极限荷载的上界，对于边坡问题即为临界高度或稳定安全系数。具体通过式(1)表达如下[14]：

(1)

图1　波浪荷载下海底斜坡对数螺线破坏机构Fig.1　The failure mechanism of submarine slope subjected to wave-induced pressure

假定海底斜坡ABC′C为理想刚塑性体，满足Mohr-Coulomb屈服准则和相关联流动法则；临界滑裂面通过坡趾下方一点C′(也可通过坡趾C点，为一特殊情况)，它绕着转动中心O点(尚未确定)相对于对数螺旋面BC′以下的静止斜坡体做平面内刚体旋转，转动的角速度为Ω；斜坡由黏性土构成，高度为H，坡角为β，内摩擦角和黏聚力分别为φ和c，坡顶A点与滑出点C′连线与水平面夹角为β′(β′≤β)，OB为对数螺旋滑动面的基线，它的长度为r0，与水平面的夹角为θ0；基线OC′的长度为rh，与初始水平面的夹角为θh；图中AB和C′C的长度分别用L和D表示。在图1所示的坐标系下，对数螺旋线方程可用式(2)表示：

(2)

基于相关联流动法则和速度场相容性条件，潜在滑动面BC′上每一点的速度矢量与该点处潜在滑动面切线间的夹角均为内摩擦角φ，且与其所在的基线r(θ)方向垂直。因此，速度间断面上任意一点的V(θ)可以写成式(3)的形式。

(3)

(4)

3海底斜坡稳定性的上限方法

3.1海底滑体重力做功的功率

(5)

(6)

3.2海底滑体孔压所做外功的功率

完全浸没的水下边坡由孔隙水压力所引起的外功率可由浮力对滑体所做外功率与滑体上界面水压力所做外功率的矢量和表示[15]，即

(7)

式中，h为不连续速度间断面(滑动面)上任意点与滑体上表面AB水平面间的垂直距离(图1)，S表示上界面BACC′，ni是垂直于上界面BACC′向外的单位向量，vi是上边界转动的速度，p为沿着上界面BACC′上作用的水压力，如图2所示；由于整个海底滑体浸没在水下，故只需考虑斜坡高度H范围内产生的水压力做功即可。

图2　破坏机构中沿滑体上界面水压力分布示意图Fig.2　The schematic diagram of water pressure distribution in the failure mechanism

(8)

式中，fb是关于θ0、θh和β′的函数，表示如下：

(9)

式(7)中，滑体上界面水压力所做外功的功率可表达为:

(10)

(11)

3.3波浪荷载在滑体上所做外功的功率

采用一阶线性波描述波浪，且假设波浪在传播过程中服从正弦波的形式，波浪引起的海底压力变化可用式(12)表示:

(12)

式中，p0是波浪引起的海底压力变化幅值，表达为p0=0.5γwHw/cosh(λd)；λ为波数，可表示为λ=2π/Lw，Lw是波长，按线性波理论可近似表达为Lw=1.56T2，其中T是波浪周期；Hw和d分别表示波高和计算点水深，γw是海水的重度；x是从A点起算的水平位置坐标(如xA=0，xB>0，xC<0)，t是计算时刻，ω是波浪的圆频率，可表达为ω=2π/T。波浪力做功的功率可表达如下：

(13)

式中，vi表示滑体上界面S上的运动速度，其他参数的意义同式(12)。

由于波浪周期一般较长(可达3～5 s)，孔压累积效应相对较弱，且在周期内波浪力没有十分剧烈的变化，故将上述波浪正弦循环加载方式等效为拟静力常载，波浪压力p可等效为波幅平均值2p0/π，近似取0.65p0作为海底土层的上覆压力，方向垂直指向海底面[10]。取坡顶与坡趾处上覆压力的平均值作为斜坡上的上覆压力值，方向与波形相同并且垂直指向海底斜坡表面，如图3所示。对于波浪传播时间或不同时刻的波浪压力问题，可在波浪一个传播周期内平均取8个计算时间节点，分别记为t0～t7时刻(其时间间隔为T/8，T是波浪传播的周期)，若t0～t3时刻代

表前半个周期，则t4～t7时刻代表后半个周期，波浪力方向与前者相反；若规定在t0时刻点上，坡顶A点上方的波浪恰好是一个波形的起始点，此时A点处波浪力为0。上述波浪力简化模式，其优点是对于滑体上方的完整波形，每个波长Lw上的波浪力功率均可以写成合力偶矩功率的形式，而对于不完整的波形(如滑体上方不足波长Lw的部分)，可方便地计算出这部分波浪力的合力和合力作用点，再求得其所做外功的功率。在这一计算过程中，可以省去复杂繁琐的积分运算，从而在一定程度上提高计算与搜索效率、达到简化计算目的[17]。

图3　海底波浪力简化模式Fig.3　Simplified mode of wave pressure on the seafloor

(14)

n=0～3。

图4　AB、AC和C′C段波浪力分布模式示意图Fig.4　The schematic diagram of water pressure distribution in the failure mechanism

(15)

当Lw/2-L2≥D时，

(16)

当Lw/2-L2

(17)

在t4～t7时刻的波浪力与t0～t3时刻的波形相同、方向相反，故其波浪力做功的功率可以用上述式(14)～(17)的相反数形式表达。基于分段表达的海底斜坡波浪力功率公式(14)～(17)，则波浪力做功的总功率可表达为：

(18)

(19)

综上所述，波浪作用下海底斜坡总的外功率为：

(20)

3.4海底斜坡内能耗散率

(21)

3.5波浪作用下海底斜坡功能平衡方程的建立

(22)

式中，H是关于θ0、θh和β′的函数；通过搜索程序，在允许的范围内变化3个控制变量的值可以得到H的最小值，以此作为水下斜坡的临界高度；当β=β′时，此时f4的值为0，此时对数螺旋型滑动面恰好通过坡趾处。

3.6基于强度折减技术的海底斜坡稳定性

强度折减技术由Zienkiewicz等[18]首次提出并应用于岩土工程稳定性的数值分析中，Viratjandr和Michalowski[15]、Nian等[16]将强度折减技术引入到边坡稳定的极限分析上限方法中，通过假定临界滑动面并不断折减土的抗剪强度参数，使边坡达到极限状态而获得安全系数。应用Mohr-Coulomb模型模拟土体材料，折减后的抗剪强度参数可分别表达为：

(23)

(24)

式中，c和φ分别为土的黏聚力和内摩擦角，FS为强度折减系数，计算中当坡体进入极限状态时即为安全系数；cm和φm为折减后的抗剪强度指标，是边坡土体实际发挥的抗剪强度，即维持坡体平衡需要发挥的最小抗剪强度。

对于一个几何条件(坡高H和坡角β)和土性参数(c和φ)确定且遵循对数螺旋面滑动的海底斜坡，结合强度折减技术，可建立如式(25)所示的斜坡稳定性极限状态方程：

(25)

式中，FS是关于θ0、θh和β′的非线性隐式函数，fA=f1-f2-f3-f4，fB=fb+fw+fq，详见式(6)、(9)、(11)和(18)，其他参数的定义同前。采用多变量无导数求极值的逐级迭代方法，当H赋值为边坡的实际高度时，先假定一个初始折减系数FS，再逐步改变FS(增大或减小)，使土体的抗剪强度参数c与tanφ同步变化，直至获得的土坡临界高度无限接近于实际斜坡高度，此时得到的折减系数FS即为边坡的安全系数。

采用MATLAB软件，基于C++语言开发了海底斜坡稳定性的极限分析上限方法搜索程序，采用上述优化方法对搜索过程进行优化，以此确定边坡的稳定性安全系数、潜在滑动面以及相应的水下斜坡临界破坏机构。需要指出，这里定义的波浪作用下海底斜坡安全系数，是通过计算波浪在一个周期内8个不同时刻的安全系数，取最小值作为波浪作用下海底斜坡整体稳定性的安全系数。

4方法验证与讨论

为了检验提出的极限分析上限方法的合理性，结合海底斜坡典型算例，开展基于有限元强度折减法的数值验证工作，并探讨不同波浪参数(如波高、波长、水深等)对解析与数值计算结果的影响以及波浪作用下海底斜坡的潜在破坏模式和临界滑动面变化范围。

算例：某黏土质海底斜坡，坡角为β=5°，坡高为H=15 m；土体的重度为γ=20 kN/m3，抗剪强度参数分别为φ=2°和c=20 kPa，变形模量和泊松比分别为E=30 MPa和ν=0.3。

考虑这一海底斜坡所处海水深度为d=10 m，选取波浪波长和波高分别为Lw=30 m和Hw=5 m、Lw=60 m和Hw=2.5 m两组工况，开展波浪加载下海底斜坡稳定性的上限分析，所得安全系数FS与计算时刻t间的关系曲线如图5黑线所示。计算中以一个波浪周期T为基本单位，将T平均分为8个计算时刻，分别计算不同时刻t海底斜坡稳定性的安全系数，取各安全系数中的最小值作为该类波浪周期下海底斜坡的整体稳定性安全系数。

进一步地，以有限元软件ABAQUS为基础，在荷载模块中添加一阶线性波浪力模式，完成周期性波浪加载；在给定的某一计算时刻(如T/8、T/4、3T/8…)，通过不断折减土体的抗剪强度参数，在满足φ-ν(即摩擦角-泊松比)不等式条件下[19]，实现波浪加载下海底斜坡稳定性与破坏模式的连续弹塑性有限元数值计算，直至某一折减系数下满足斜坡失稳判据，此时的边坡处于临界失稳状态，从而获得该波浪加载下海底斜坡的稳定性安全系数，进而变化计算时刻，获得波浪作用下不同时刻的海底斜坡稳定性的安全系数[20](图5红线)。对比两种方法的计算结果，总体上随时间变化的趋势相同，结果也比较接近(图5a数值解与上限解略有差异)，特别是在大波长(Lw=60 m和Hw=2.5 m)工况下，结果十分接近，这表明本文上限方法是合理有效的。

图6显示了一组典型波浪(波长为Lw=45 m、波高为Hw=5 m)在水深分别为d=10 m和20 m工况下海底斜坡在t3时刻的临界滑动面位置和斜坡破坏模式，其中黄色点划线来自上限方法的结果，等效塑性应变图来自弹塑性有限元的解答。

对比分析可见，两种方法确定的潜在滑动面位置十分接近，破坏模式也基本一致。随着海水深度d的增加，潜在滑动面的位置并没有发生显著变化，而安全系数随着水深的增加而逐渐增大，最后趋于静水条件下的稳定性安全系数(FS=1.570)。

图6　t3时刻两种方法计算得到的潜在滑动面Fig.6　The critical sliding surface (CSS) by the two methods in different depths at time t3

5结论

(1)基于极限分析运动学定理，发展了一阶简化线性波加载条件下海底斜坡稳定性的极限分析上限方法，并通过无导数优化技术搜索潜在滑动面和最小安全系数。

(2)上限方法与数值解确定的潜在滑动面位置十分接近，破坏模式也基本一致；同一时刻、随着水深的增加，潜在滑动面的位置并无显著变化，而不同时刻潜在滑动面位置变化显著，线性波加载下海底斜坡失稳滑动机制类似于对数螺旋面型式。

(3)极限分析上限法获得的安全系数随着波长或波高的增加而逐渐减小，随着水深的增加而逐渐增大，最后趋于静水条件下的安全系数；该法可作为现行海底斜坡稳定性评价方法的有益补充。

(4)针对简化线性波加载，提出了海底斜坡稳定性的上限解法；而有关实际波浪荷载、复杂土性与岩土组构的海底斜坡稳定性问题，正在深入研究。

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Stability of seafloor slopes based on upper bound approach of limit analysis

Liu Bo1，2，Nian Tingkai1，3，4，Liu Min1，Zheng Defeng5，Song Lei3，Yin Ping4

(1.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering，DalianUniversityofTechnology，Dalian116024，China; 2.ChinaNortheastArchitecturalDesign&ResearchInstituteCD，LTD，Shenyang110023，China; 3.StateKeyLaboratoryforGeoMechanicsandDeepUndergroundEngineering，ChinaUniversityofMiningandTechnology，Xuzhou221008，China; 4.KeyLaboratoryofMarineHydrocarbonResourcesandEnvironmentalGeology，MinistryofLandandResources，Qingdao266071，China; 5.SchoolofUrbanandEnvironmentalScience，LiaoningNormalUniversity，Dalian116029，China)

Abstract:Currently，the limit equilibrium method (LEM) has been one of the most popular approaches to assess the seafloor stability. But still，the method has some limitations and only the approximate solutions can be obtained. To achieve the true solution，the upper bound approach based on kinematic theorem of limit analysis incorporating a log-spiral rotational failure mechanism，is established to solve the stability of submarine slopes，in which the simplified linear wave loading is considered，and the external work rates produced by the effective self-gravity of sliding body and the wave-induced pressure on the seafloor slope are equal to the internal energy dissipation rates yielded by the cohesion along the critical sliding surface (CSS). The safety factor (FS) and the corresponding CSS at different time under waves are obtained by combining multivariate stepwise iterative method without derivative and the mathematically optimal technique with strength reduction method (SRM). And，typical example is introduced to carry out the verification of the finite element numerical solution. On the basis of these，the effect of wave parameters such as wave length，wave height and water depth on the slope stability and failure mechanism are discussed. Calculation results show that the FSs and the corresponding CSSs obtained by the upper bound approach agreet well with the numerical solutions，and are also consistent with the general rules. The proposed approach provides a new path for the analysis of seafloor stability．

Key words:seafloor stability; landslide; limit analysis approach; wave force

收稿日期：2015-05-13；

修订日期：2015-09-24。

基金项目：国家自然科学基金(51179022，51579032)；海洋油气资源与环境地质重点实验室基金(MRE201304)；深部岩土力学与地下工程国家重点实验室基金(SKLGDUEK1307)。

作者简介：刘博(1987—)，男，辽宁省沈阳市，主要从事海洋土力学与岩土工程研究。E-mail:304122199@qq.com *通信作者：年廷凯(1971—)，男，辽宁省庄河市人，教授，主要从事海洋岩土力学与防灾岩土工程方面研究。E-mail:tknian@dlut.edu.cn

中图分类号:P642

文献标志码：A

文章编号：0253-4193(2016)07-0135-09

刘博，年廷凯，刘敏，等. 基于极限分析上限方法的海底斜坡稳定性评价[J]. 海洋学报，2016，38(7): 135-143，doi:10.3969/j.issn.0253-4193.2016.07.013

Liu Bo，Nian Tingkai，Liu Min，et al. Stability of seafloor slopes based on upper bound approach of limit analysis[J]. Haiyang Xuebao，2016，38(7): 135-143，doi:10.3969/j.issn.0253-4193.2016.07.013