一种三自由度支链嵌套并联机器人末端残余振动的主动抑制

柯　辉　王晓慧　张建军　李为民

河北工业大学，天津，300130



一种三自由度支链嵌套并联机器人末端残余振动的主动抑制

柯辉王晓慧张建军李为民

河北工业大学，天津，300130

摘要：针对三自由度支链嵌套可连续回转并联机器人末端残余振动问题，提出了基于经典正脉冲输入整形和最优S形轨迹曲线相结合的主动控制方法。首先采用拉格朗日法对刚性杆柔性部件组成的支链嵌套并联机器人进行刚柔耦合动力学建模，并通过动态特性分析确定对末端残余振动影响较大的低阶模态。结合实验分析和仿真获得共振频率和阻尼比，并根据线性化二阶欠阻尼系统在脉冲序列作用下的残余衰减振动模型，采用前反馈正脉冲输入整形与最优S形轨迹曲线相结合来改变驱动器的输入信号，从而达到对支链嵌套并联机器人末端残余振动的主动抑制。最后通过实验和数值分析对该方法进行了验证。实验结果表明，应用该方法后此种支链嵌套并联机器人末端残余振动的衰减时间缩短了57.14%，最大振幅降低了22%，有效提高了并联机器人在高速高精度硅片搬运过程中的定位精度和轨迹精度。

关键词：支链嵌套；残余振动；输入整形；S形轨迹曲线

0引言

机器人末端机械手在高速运动过程中，从一个运动状态到另一个运动状态，尤其是在抓取或停滞状态时，将产生较大惯性力，引起残余动能以及弹性势能，使得末端机械手产生明显的残余振动。残余振动的存在会严重降低该传输机器人的定位精度和运动精度，影响硅片的精确定位及其快速、平稳搬运，甚至会产生明显的噪声。同时，残余振动的长期存在，还会导致连接杆的变形和运动部件的松动，引起机构运动性能的下降和机械结构的疲劳失效。因此，必须在高速运动过程中对支链嵌套硅片传输机器人末端残余振动进行有效抑制。

对于刚性杆柔性关节机器人残余振动的抑制，通常分为被动抑制和主动抑制。

被动抑制一般是通过优化设计机械结构，选择特殊的耗能或储能材料，从而提高系统结构刚度和固有频率，增大系统阻尼，达到降低系统弹性变形、抑制残余振动的目的。李延杰等[1]以硅片传输机器人各手臂静挠度及由手臂变形引起的末端静偏移为约束、以刚性杆柔性关节系统固有频率为优化目标，进行机械结构优化，从而实现振动频率的大幅度提高。Bandopadhya等[2]对由新型复合材料结构件组成的机械臂进行研究，发现复合材料的高强度和大阻尼能有效地减小机械臂的弹性变形及残余振动。这种方法性价比高、可靠性好、易于实现，但控制效率低且灵活度差，比较被动，一般运用在整机装配之前对机械结构及其参数进行优化。

主动抑制是建立在控制对象动力学模型和优化控制算法的基础之上的，它通过改变外部输入来改善系统动态性能，达到抑制系统残余振动的目的。Sakawa[3]和Nguyen等[4]分别采用线性二次型最优控制理论设置状态反馈增益和将状态观测器加入到系统控制器中，来实现振动的抑制。但是随着系统自由度的增加，需要提供更多的外部传感器或状态观测器，这样会加大控制系统的复杂性以及控制器的设计难度，实现难度较大。相比于其他振动抑制的方法，轨迹规划法属于一种开环控制，其操作比较简单直接。Korayem等[5]采用欧拉方程与假设模态法建立机械臂的动力学模型，将最优轨迹转化为最优控制问题，通过仿真分析最终找到了对应最小关节力矩以及最小残余振动的最优关节轨迹。Korayem等[6]运用Pontryagin最小化原理分析了柔性机械臂在动态负载作用下的最优轨迹问题。吴明月等[7]针对硅片传输机器人末端低频振动问题，提出了基于最优参数化S形曲线轨迹来抑制机械手末端振动。他们的最终目标是让输入的位置指令更加平滑，避免由于运动状态的突变激发系统的振动模态，但这种方法在高速运动状态下振动抑制效果不理想。Kapucu等[8]和Ahmad等[9]利用输入整形方法分别对柔性关节机械臂和带连杆柔性关节进行优化输入，有效地抑制了系统的残余振动。

本文采用正脉冲输入整形和最优S形轨迹曲线相结合的主动控制法，对三自由度支链嵌套并联结构硅片传输机器人末端残余振动进行主动抑制，建立刚柔耦合动力学模型并进行动态特性分析。以线性化二阶欠阻尼系统在脉冲序列作用下的残余衰减振动模型为基础，优化驱动器的输入信号，实现对支链嵌套并联机器人末端残余振动的主动抑制。

1支链嵌套并联机器人建模与动态性能分析

1.1支链嵌套并联机器人基本结构

本文研究的某种新型三自由度支链嵌套并联结构硅片传输机器人如图1所示[10]。它不但充分运用了并联机器人高速度、高刚度、高精度、动态响应特性好的特点，弥补了串联工业机器人的不足，而且采用三条运动支链嵌套而成，实现了动平台的360°连续回转，克服了传统并联机构工作空间小的缺点。

图1　3-DOF支链嵌套并联机器人

本文研究的机器人不像传统并联机器人那样连接动平台和机架的支链是彼此分离的，而是采用三个运动支链HRPP、RPP、RPRRR(H为螺旋副，R为回转副，P为移动副)嵌套而成。其中支链HRPP和支链RPP共用两个移动副P，支链RPRRR的移动副贯穿于支链HRPP和支链RPP的第一个共用移动副，且三条支链不能彼此分离，故称之为支链嵌套并联机器人。支链HRPP可实现动平台的上下移动，支链RPP和RPRRR可实现动平台的连续360°回转和径向平动，从而实现硅片在不同工位间的快速搬运和精确定位。其机构简图见图2。

图2　3-DOF支链嵌套并联机器人机构简图

1.2刚柔耦合动力学建模

1.升降电机　2.升降关节等效弹簧阻尼系统　3.丝杠 4.伸缩电机　5.伸缩关节等效弹簧阻尼系统　6.小花键轴 7.大花键轴　8.摆动电机　9.摆动关节等效弹簧阻尼系统 10.导轨　11.曲柄　12.连杆　13.末端机械手图3　3-DOF支链嵌套并联机器人简化动力学模型

该支链嵌套并联机器人是典型的刚柔耦合结构，在对它进行动力学建模的过程中，首先将由同步带和行星减速器组成的柔性关节等效为无质量扭转弹簧结构，同时确定系统阻尼采用比例阻尼进行简化；将曲柄和连杆等效为质量均匀分布的轻质刚性杆。经过上述假设，这种三自由度支链嵌套并联机器人刚柔耦合动力学模型可由图3所示的简化模型表示。

基于如下拉格朗日方程对该支链嵌套并联机器人进行动力学建模：

(1)

式中，T为系统动能；U为系统势能；qj为关节变量,j=1,2,3；Qj为相应关节变量的广义力。

且有

其中，ωp为轻质连杆12定轴转动的瞬时角速度；p为丝杆的螺距，p=4 mm；r为末端机械手距花键轴旋转的定轴距离；τj为作用在相应关节的外力。

基于以上动力学模型，定义M、C、K、F分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、作用力矩阵，则系统的动力学振动微分方程如下：

(2)

M33=J7+J8+J10+m13r2

K23=-k12l2rK32=-k12l2r

C22=ν2C33=ν3

支链嵌套并联机器人各物理量参数定义和数值如表1所示，其中部分参数为实验辨识结果。

1.3动态特性分析

忽略系统阻尼C，将支链嵌套并联机器人刚柔耦合动力学模型(式(2))写成如下形式进行动态特性分析：

(3)

根据模态分析法，设Δθ1、Δθ2和Δθ3按同频率、同相位做简谐振动，即Δθj=Ajsin(ωjt+φ)，代入式(3)可得特征方程如下：

(4)

式中，ωj为固有频率；Aj为模态振型。

故可求得

表1　简化模型中各物理量定义及其数值

(5)

通过对并联机械手进行动态分析，并结合实验仿真，可确定系统在特定工作状态下的前4阶固有频率的范围及振型，如表2所示。

表2　末端机械手前4阶模态振型和共振频率

2基于输入整形和最优S形轨迹曲线相结合的残余振动抑制

2.1等效二阶欠阻尼系统的衰减振动模型

该支链嵌套并联机器人每个关节驱动器输入持续信号时，系统将不断从外界获取能量，产生强迫振动。此时，该系统振动微分方程(式(2))的解由两部分组成：①特解x(t)是系统在外界持续激振下所产生的一种持续稳态振动，这部分不是本文研究的重点；②通解y(t)是一个典型瞬态衰减振动，也就是引起支链嵌套并联机器人末端残余振动的主要因素。而一个典型二阶欠阻尼系统残余衰减振动模型由下式表示：

(6)

式中，A为系统衰减振动的振幅；ζ为二阶系统的阻尼系数；ω为无阻尼固有频率。

2.2基于输入整形的开环控制器

输入整形是一种典型的开环前反馈控制，它将不同幅值和时滞时间的脉冲序列信号与系统的输入信号进行卷积，生成的指令作为控制系统的运动输入，通过改变驱动器的输入信号，来实现对系统残余振动的主动控制。

2.2.1输入整形的实现原理

(7)

典型两脉冲输入整形法消除末端残余振动的实现原理，即在t1和t2时刻分别作用幅值为A1和A2的两脉冲，通过控制好脉冲的幅值和作用时刻，从而保证在第二个脉冲作用时刻t2结束以后，两个脉冲产生幅值大小相等、方向相反的衰减振荡。

2.2.2正脉冲输入整形开环控制器

典型的两脉冲输入整形器的设计目标是通过两脉冲响应叠加，在第二个脉冲作用结束后，系统的残余振动得到抑制。为了保证整形时间最短，将第一个脉冲的作用时间设定为t1=0，同时为了不改变系统输入信号作用下的实际输出响应，脉冲序列的幅值和必须为1。因此可以得到输入整形的约束方程如下：

(8)

联立方程求解，可通过振动系统的共振频率和阻尼比来确定脉冲的幅值和作用时间。故有矩阵形式方程解：

(9)

图4　脉冲输入整形矢量图

2.3输入整形和最优S形轨迹曲线相结合的振动抑制

支链嵌套并联机器人各关节空间是通过减速器和同步带串联组成的，多柔性以及小阻尼的关节空间会产生较严重的残余变形以及残余的弹性势能。因此必须考虑结合关节空间的轨迹离线规划，保证输入的位置指令更加平滑，避免由于运动状态的突变激发系统的振动模态，产生较大末端残余振动。

2.3.1最优S形轨迹曲线

相比梯形速度曲线、三角函数速度曲线以及一般样条曲线而言，最优S形速度曲线不仅速度过渡平滑、加速度连续，而且冲击小，运动平稳，容易实现。最优S形曲线速度、加速度随时间变化曲线如图5所示。

(a)速度曲线(b)加速度曲线图5　S形轨迹曲线图

最优S形速度曲线依次包括变加速、匀加速、变加速、匀速、变减速、匀减速、变减速七个阶段，其中Jm为系统加加速度，am为系统最大加速度，vm为系统最大速度。则在任意时刻，最优S形曲线的位移、速度、加速度可由以下公式表示：

(10)

(11)

(12)

2.3.2输入整形与最优S形曲线相结合

根据线性化二阶欠阻尼系统在脉冲序列作用下的残余衰减振动模型(式(6))，采用前反馈正脉冲输入整形(式(8))与最优S形轨迹曲线(式(9))相结合来改变驱动器的输入信号，从而达到对支链嵌套并联机器人末端残余振动的主动抑制，确保并联机器人在高速高精度硅片搬运过程中的定位精度和轨迹精度，达到安全稳定的大批量生产硅片的要求。

3实验验证

3.1实验系统的搭建

实验测试系统由运动控制系统和信号采集与分析系统组成。运动控制系统主要由PC构成上位机，研华运动控制卡PC-1240U构成下位机，基于LabVIEW软件平台对运动控制卡进行二次开发，通过伺服驱动器来间接控制交流伺服电机的开放式运动控制系统。信号采集与分析系统由信号分析PC机、8通道LMS移动式数据信号采集系统、352C33压电式加速度传感器组成。实物图见图6。

(a)测试系统实物图(b)加速度传感器分布图图6　实验测试系统搭建

同时，将三个加速度传感器安装在支链嵌套硅片传输机器人末端机械手上，其中将系列化加速度传感器LW152741和LW152742对称分布在硅片传输机械手前端，LW152743安装在前两个加速度传感器的对称轴上。系列化传感器的灵敏度是100.1mV/g，量程是±50g(g=9.8m/s2)。测试系统采样频率设置为12 800Hz，根据香农采样定理，将带宽设置为6400Hz。静态带宽设置为100Hz，谱的分辨力设置为12.5Hz，谱线数设置为512，为每一个block的数据点数的一半，采样时间设置为10s。

3.2实验验证与数值分析

采用支链嵌套并联机器人末端机械手的加速度振幅来描述残余振动的振动状态。首先对机械手在搬运特定状态下的低阶共振频率以及系统阻尼刚度进行测定，实验结果如图7所示。通过频域图(图7a)可以获得对系统残余振动影响较大的低阶共振频率为27.32Hz，同时通过提取时域图(图7b)中相隔20个周期的振幅幅值An和An+20，便可得到系统对数衰减系数：

故可求得系统的比例阻尼:

于是，可确定两脉冲输入整形器的作用幅值和时间，由下式表示：

(13)

(a)频域图

(b)时域图图7　系统共振频率与阻尼刚度的测定曲线

通过LabVIEW程序框图编写源代码，输入参数化最优S形轨迹曲线。结合输入整形器设计参数，对源代码进行参数化修改，从而达到改变交流伺服驱动的输入量。实现了基于LabVIEW软件平台通过运动控制卡对交流伺服电机进行间接控制的目的。

通过实验，可得到系统在最优S形速度曲线输入条件下，机械手末端残余振动的振动状态测定曲线如图8所示。图8a、图8b分别为频域图与时域图。图9为经典输入整形与最优S形轨迹曲线相结合的振动曲线。通过对比可以发现，支链嵌套并联机器人的末端残余振动衰减时间Δt由3.5s缩短到1.5s，衰减时间缩短了57.14%，同时残余振动的最大振动幅值降低了22%。

4结论

(1)基于经典正脉冲输入整形与最优S形轨迹曲线相结合的方法对某种新型三自由度支链嵌套并联机器人末端残余振动进行主动抑制。该方法通过优化驱动器输入信号，以低阶模态为主要抑制目标，最终实现对末端残余振动的有效抑制。

(2)基于LabVIEW软件平台对运动控制卡PC-1240进行二次开发，通过伺服驱动器来间接控制交流伺服电机，从而实现支链嵌套硅片传输机器人在不同工位间高速度高精度的硅片搬运。通过信号分析PC机、8通道LMS移动式数据信号采集系统、352C33压电式加速度传感器组成测试系统。对该残余振动主动抑制方法进行了有效验证，并对实验数据信息进行了实时检测和反馈。

(a)频域图

(b)时域图图8　最优S形速度曲线输入条件下测定曲线

(a)频域图

(b)时域图图9　输入整形与最优S形曲线相结合的振动曲线

(3)通过数据分析和实验结果验证，支链嵌套并联机器人的末端残余振动衰减时间Δt缩短了57.14%，最大振动幅值降低了22%。故可验证这种基于经典输入整形与最优S形速度输入曲线相结合的主动控制方法能够有效抑制这种三自由度支链嵌套并联机器人末端残余振动，提高该并联机器人在高速度高精度硅片搬运过程中的定位精度和轨迹精度。

参考文献：

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[10]张建军，李为民. 支链嵌套三自由度动平台可连续回转并联机器人结构: 中国，ZL200810052792.1[P].2008-04-18.

(编辑王艳丽)

收稿日期：2015-07-21

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175144)

中图分类号：TP241.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.12.016

作者简介：柯辉，男，1988年生。河北工业大学机械工程学院硕士研究生。主要研究方向为并联机构与控制技术。王晓慧，女，1970年生。河北工业大学机械工程学院副教授。张建军(通信作者)，男，1971年生。河北工业大学机械工程学院教授、博士研究生导师。李为民，男，1964年生。河北工业大学机械工程学院教授、博士研究生导师。

ActiveSuppressionforTerminalResidualVibrationofa3-DOFParallelRobotwithLimbsofEmbeddingStructures

KeHuiWangXiaohuiZhangJianjunLiWeimin

HebeiUniversityofTechnology,Tianjin，300130

Abstract：Aiming at the problems of terminal residual vibration suppression of a 3-DOF parallel manipulator with limbs of embedding structures，an active suppression method was proposed based on the classical positive impulse input shaping combined with the optimal S-curve profile. Firstly，using the Lagrange method a rigid-flexible coupling dynamics model was built for the parallel manipulator with limbs of embedding structures,which consisted of the rigid rod and the flexible components, and then through the dynamic characteristic analyses, it was confirmed that the influences on the residual vibration most were the low order modal. After that, resonant frequency and damping ratio were obtained through experimental analyses and simulations, and based on the residual attenuation vibration model of the linear second-order owed damping system that affected by impulse sequence, changing the input signals of the drive through feedforward positive impulse input shape combined with the optimal S-curve profile,so as to achieve active suppression of the terminal residual vibration of the parallel manipulator with limbs of embedding structures. The experimental results show that the chain nested residual vibration attenuation time of the end of the parallel robot is reduced by 57.14%, the maximum amplitude is reduced by 22%,the positioning accuracy and trajectory precision are improved in the process of high speed and high precision wafer handling.

Key words：limbs of embedding structure；residual vibration；input shaping；S-curve track profile