常微分方程稳定性的简单应用

郜欣春+田苗青

摘要：对于某些动态的模型可以通过微分方程来讨论，有些情况我们不需要求解微分方程只是利用稳定性理论就可以得到方程解的变化趋势，本文介绍常微分方程稳定性的一些理论，应用这些理论讨论渔业可持续捕捞以及关于军备竞赛的问题。

关键词：自治方程；平衡点；稳定性

我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变的过程，例如人口演变，物种的相互依存、竞争、弱肉强食，可再生资源的持续发展等问题，可以根据研究对象内在的或者可以类比其他对象的规律列出微分方程。利用微分方程来分析它的变化规律，预测它的未来趋势，从而研究对它的控制手段。但大多数的微分方程是无法求出它的解析解，而且对于某些实际问题我们也没有必要求出方程的解去寻求每个时刻的状态，而仅是研究当时问充分长了之后动态过程的变化趋势。比如在什么样的条件下会趋于某个特定的数值或者在什么条件下它会离这个特定数值越来越远。对于这样的问题，我们就不需要去求解微分方程，只是利用微分方程的稳定性理论，通过对平衡状态的稳定性讨论就可以得出一个简单实用的结论。

1一阶常微分方程平衡点的稳定性及其应用