窄方腔软湍流Rayleigh—Bénard热对流中角涡的三维发卡涡结构

包芸+张义招+徐炜

摘要：通过直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS）求解三维窄方腔湍流Rayleigh-Bénard（RB）热对流流场，讨论尺度比为1/4的三维窄方腔中的流动.三维方腔流场的流线图和速度场与二维流场一致，都反映出大尺度环流和角涡的软湍流流动特征.进一步观察三维流线图发现，在近底板附近流线的走向并不是沿着大尺度环流的方向.转换三维流线图的观察角度，可明显看到近底板附近流线是螺旋状的，并与角涡相连.分析整个流场的涡旋特征发现，在窄方腔热对流中沿底板棱边区域产生涡对与角涡连接形成三维发卡涡流动的结构.

关键词：三维发卡涡结构； 窄方腔； 直接数值模拟； Rayleigh-Bénard热对流

中图分类号： O357.5

文献标志码： B

Abstract：The flow field of 3D turbulent Rayleigh-Bénard（RB） convection in a narrow square cavity is solved by Direct Numerical Simulation （DNS）， and the simulation results in the narrow square cavity with 1/4 scale ratio are discussed. The streamline chart and the velocity field chart of 3D cavity are consistent with those of 2D flow field， which show the soft turbulent flow characteristics of the large scale circulation and the corner vortex. The further observation indicates that the streamline direction near the bottom plate is not along the direction of the large scale circulation. Turning the viewing angle of the 3D streamline chart， it can be obviously seen that the streamlines near bottom plate is spiral and connected to the corner vortex. The analysis on the vortex characteristics of the whole flow field shows that， in the heat convection of the narrow square cavity， there is a 3D hairpin vortex structure generated by the connection of a vortex pair near the bottom plate edge with corner vortex.

Key words：3D hairpin vortex structure； narrow square cavity； direct numerical simulation； Rayleigh-Bénard convection

0 引 言

热对流是一种常见的现象，与人类的生产和生活关系密切.自然界中的热对流现象普遍存在，例如地球大气层的热对流运动和地幔的热对流运动.工业领域的冷却系统、电子设备的散热装置等也都是热对流过程.[1]

Rayleigh-Bénard（RB）热对流是从各种复杂的热对流运动中抽象出来的典型模型.RB热对流是让流体在下壁面加热、上壁面冷却的封闭空间内，受到浮力和重力的作用而运动形成的流动.RB热对流系统是过去几十年许多科学工作者研究的热点问题，已有大量的实验和相关理论研究成果[2-3]，其中典型的大尺度流动结构有在软湍流区的大尺度环流和角涡[4-6]等.

本文研究三维RB热对流的直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS），计算三维窄方腔内的热对流流动，讨论热对流的流场特性和三维角涡结构.

1 物理模型和控制方程

整个窄方腔的几何尺寸为长Lx，宽Ly，高Lz，见图1.窄方腔的窄边即为底面矩形宽Ly，由于宽Ly小于长Lx，而长Lx等于高Lz，故在本文中称其为窄方腔.定义窄方腔尺度比为Ly与Lx的比.

式中：[WTHX]V[WT]为速度矢量；p为压力；θ为温度；Ra为瑞利数；Pr为普朗特数.

对于固定几何形状的对流装置，RB热对流的流动状态由2个无量纲参数确定：一是瑞利数Ra=gaΔTH3/νκ，二是表征物质物理性质的普朗特数Pr=ν/κ.所有壁面使用固壁无滑移速度边界条件和无梯度压力边界条件.温度在侧壁面使用绝热边界条件，上壁面温度为-0.5，下壁面温度为0.5.

RB热对流的2个重要响应参数为雷诺数Re和努塞尔数Nu.Nu表征通过对流装置的实际总热量J与热传导的热量的相对大小.

基于Oberbeck-Boussinesq方程近似的RB热对流问题属于典型的不可压缩黏性流动问题.本文基于投影法的思路，在交错网格上使用2阶有限差分离散控制方程，时间采用1阶向前的差分格式.投影法中计算量最大的部分是全场联立的压力泊松方程的求解，合理设计压力泊松方程求解方法对于提高湍流RB热对流直接模拟效率有重要的意义.采用一种新的针对块三对角泊松方程的近似求解方案[8]实现泊松方程在超级计算机上高效并行求解，在此基础上建立三维DNS高效并行直接求解方法[9]，并使用该方法进行三维高Ra湍流热对流的数值模拟计算.

2 窄方腔热对流流动特性中的角涡三维结构

算例的尺度比取1/4，Ra=1.0×109，Pr=4.3，计算网格在x和z方向为壁面加密的变距网格，较窄的y方向为等距网格，网格总数为Nx×Ny×Nz=500×65×511.计算迭代400万时间步.200万计算时间步后能看到稳定的大尺度环流等流动结构，再进行平均场物理量的统计计算.

2.1 窄方腔热对流的平均场特性

平均场流动特性三维图见图2，流动状态与二维流动的流动状态一致，处于软湍流区.在流线图和中截面速度矢量图中都可以看到明显的大尺度环流和角涡.与二维相应的流动对比，给出的二维方腔热对流平均场流线图和速度矢量图见图3.在图2和3中大尺度环流和角涡这2个宏观流动结构一致，但流动细节上仍存在一些差异.

对比图2a和3a可知二者的角涡和大尺度环流的大小相近，但形状略有不同.二维时大尺度环流的

形状接近椭圆且在顶部有小的角涡存在，而三维流动中的大尺度环流为梭形且流线顶到方腔的角点.这一点在图2b和3b中也能看到.二维时角涡基本

对称且涡心在中间部位，三维时由中间截面的速度分布看到角涡的涡心被挤向边壁.由流线图可以看到二维时流动的最大速度是在大尺度环流和角涡的交接线上，而三维时最大速度分布在侧壁上.

认真观察图2a平均场的流线图会惊异地发现，在近底板区域的流线并不是沿大尺度环流的方向运动，而是在贴近前后壁区域沿竖直方向似螺旋状离开底板.因此，检查该区域是否会出现特殊的流动结构.

发挥三维图形的特点，转换三维视图的观察角度，给出不同视角的三维流线图，见图4.图4中三维流动中的角涡向两边弯折，具有明显的三维涡旋流动结构.

2.2 角涡的三维发卡状涡旋结构

由于涡旋运动复杂，难以准确定义，对涡旋的识别通常采用涡旋的判据进行研究.此处采用涡旋Q判据研究三维湍流热对流流动中角涡的涡旋流动结构.

取Q=0.25得到的三维窄方腔热对流平均场涡旋分布见图5.在窄方腔的上下壁面附近各自存在1个连续的发卡状涡旋.也就是说在窄方腔热对流中，角涡受前后壁面的影响，在窄方腔的近底板区域形成三维发卡状角涡结构，2个分布区呈现中心对称关系.与图4平均场流线对比可以看出：在大尺度环流的上下部分，即近上下壁面的区域中存在较强的对涡涡旋，并与角涡连接生成发卡状涡旋结构.这个三维的发卡状涡旋结构诱导流动使得近底板区域的流线呈现与绕对涡旋转流动方向一致的螺旋状，而不是沿大尺度环流的流动方向.

下壁面附近的发卡状涡旋分布放大图见图6，并给出3个平行于左右侧壁的竖直截面上的速度矢量.三维发卡状角涡的2个涡脚在近底板区域沿长棱形成1个对涡.对涡诱导的速度沿前后壁面垂直

向上再向里卷，使得近底板附近区域的流动与二维中随大尺度环流方向一致的运动不同，呈现出图4中的螺旋状流线.

3 结 论

通过DNS的方法研究当Ra=1.0×109，Pr=4.3时尺度比为1/4的窄方腔热对流系统.分析窄方腔热对流的三维流动特性，讨论其温度特性和传热效率的空间分布特征，得到以下结论：1）在窄方腔软湍流区的流动中，三维RB热对流的流动与二维流动比较，都存在大尺度环流和角涡，而且大尺度环流和角涡的尺寸基本一致；2）在三维窄方腔的中截面上的流动中，大尺度环流和角涡的形状与二维流动中的有差别；3）在三维流动的流线图中，近底板区域的流动并不是沿着大尺度环流的流动方向的，而是垂直底板方向，通过观察三维流线视图发现，近底板区域的流线是螺旋状的，而角涡沿近底板的侧棱向两边弯曲，形成三维发卡状涡旋结构.

由三维发卡状角涡引起的近底板螺旋状流动的流态变化导致物理传热特性的改变有待进一步深入研究.

参考文献：

[1] 周全， 夏克青. Rayleigh-Bénard湍流热对流研究的进展、现状及展望[J]. 力学进展， 2012， 42（3）： 231-251.

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ZHANG W， ZHANG H. Scalable parallel algorithm of block tridiagonal systems for initial boundary value problem[J]. Journal of Shanghai University（Natural Science Edition）， 2007， 13（5）： 497-503.

[9] 张义招， 包芸. 三维湍流Rayleigh-Bénard热对流的高效并行直接求解方法[J]. 物理学报， 2015， 64（15）： 154702.

ZHANG Y Z， BAO Y. Direct solution method of efficient large-scale parallel computation for 3D turbulent Rayleigh-Bénard convection[J]. Acta Physica Sinica， 2015， 64（15）： 154702.

（编辑 武晓英）