基于“三个理解”的“有序数对”教学设计

☉浙江省台州市白云中学　张安军



基于“三个理解”的“有序数对”教学设计

☉浙江省台州市白云中学张安军

2016年3月某校举办第四届“青藤怀”青年教师优质课评比活动，课题内容为“有序数对”（人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册第七章第一节）.其实在小学阶段，学生对用“数对”表示具体情境中物体的位置就有了一定的了解.本节课中结合已有的知识和生活经验，进一步感受用“有序数对”表示物体位置.教材内容是从生活中常见的几个例子出发，如电影院的座位、教室中学生的座位.电影院中的座位，如9排7座和7排9座中虽有两个相同的数，但两者位置完全不同，从而引出“有序数对”概念，利用“有序数对”可以确定位置.这节课从教材编排来看，篇幅较小，没有例题，内容简单.身为评委，发现在赛课的过程中，部分参赛教师为了加强对有序数对概念的理解，反复操练.如报出有序数对，让学生起立；或者学生起立，其余同学报出有序数对.教师的教学仅停留在第几排第几座位置之类的生活常识上，对于如何选择起始点，如何把整数格点推广到实数对点，如何从第一象限上的点推广到其他象限上的点，以及那些能激起学生思维冲突的地方避而不谈.还有部分参赛教师在有序数对概念教学上仅用了5 至10分钟左右，学生的主要精力在做与本节内容关系不强的拓展性题目的练习上（如练习，a、b两数均为正整数，且也是正整数，则有序数对有多少对？），没有挖掘“有序数对”概念课中所蕴含的一一对应思想、数形结合思想，没有让学生经历活动或探究等形式体悟数学思想方法，把概念课变成了机械演练的习题课.小学中用“数对”确定位置，初中教材在其基础上用“有序数对”确定位置，面对这样的课我们如何衔接，如何承上启下，如何实现从教教材到用教材的超越？人民教育出版社中数室章建跃先生提出的“三个理解”是指“理解数学”“理解学生”“理解教学”，笔者极为赞同.下面是笔者基于“三个理解”下对“有序数对”教学的再认识.

一、理解数学，突出数学思想

正如章建跃先生所言，“理解数学是教好数学的前提，大量课堂观察表明，数学教学质量低下的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位.”［1］数学教学教的是数学，只有教师清楚知识的发展过程与发展方法，他才能带领学生“重演”知识的萌芽期、生长期、成熟期，才能让学生学到“有根、有血有肉的知识”，进而把“过程与方法目标”落到实处.［2］数学意义上的“有序数对”来源于现实生活中的几排几座，但又是对现实生活中这样一类位置，从定性到定量的抽象和概括.“点—直线、射线、线段—角”是构成图形的基本要素，就如造房子离不开沙子、砖头、水泥一样，可见点在几何图形中的重要作用.要对几何图形进行数量化，关键是如何刻画点的数量化.学习用有序数对确定位置，学生不仅会用有序数对表示点的位置确定，更要体会这背后的数学价值.有序数对和点的位置的一一对应，如果从更高的高度看，就是法国数学家笛卡尔的坐标思想.由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何想法，以及能使数与点建立一一对应.笛卡尔就用平面直角坐标系中的点来描述平面上的点，从而实现“形”向“数”转化和统一，开创了解析几何.

有序数对是平面直角坐标系的章前课，它是后继学习平面直角坐标系和用坐标表示平移的基础，所涉及的坐标思想和确定位置的方法是后继学习“图形与坐标”“函数与图像”“曲线与方程”的理论基础.从能力层面看，它是学生从一维向二维过渡的基础，是学生训练数形结合思想很好的载体.

二、理解学生，关注思维特点

影响课堂教学成功与否最根本的因素是学生的学，因此著名教育学家奥苏贝尔有至理名言：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要因素，就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.”因此，教师在进行教学设计时，要换位思考，站在学生的立场，了解学生的学习心理，了解学生的认知结构，了解学生在思维深刻性方面的能力的不足，根据学生的认知基础、认知心理及认知障碍等来设计与实施课堂教学.［2］在“有序数对”这节课中，学生的认知起点在哪里？学生已经知道了什么呢？其实“用数对确定位置”在小学的各种版本的教材中都有这么一节课，各种版本的教材中用数对表示位置都有这样的约定：“列在前排在后”，这种约定与日后学习平面直角坐标系的方法相一致.对于这节课，《数学课程标准（2011版）》在第二学段（四至六年级）要求“在具体情境中，能用方格纸上的整数对表示位置，知道数对与方格纸上的点对应（例37）”.

例37：小青坐在教室的第3行第4列，请用数对表示，并在方格纸上描出来.在同样的规则下，小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示？

［说明］需要先在方格纸上标明正整数刻度，希望学生能够把握数对与方格纸上点（行列或者列行）的对应关系，并且知道不同的数对之间可以进行比较.这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系.

同样，对于“有序数对”，《数学课程标准（2011版）》在第三学段（七至九年级）要求“结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置”.那么到底体会到何种程度呢？结合教材，考虑到本节课是学生学习实数之后，数的范围从有理数扩充到实数，在实数这一章中学生已经理解数轴上的点与实数是一一对应的，本节课是章前课，它的后继内容是“平面直角坐标系”，作为章引言，让学生感受到在日常生活的事例中，用数对确定位置，或者位置由数对刻画，体会这两者之间的对应关系，使平面有序和结构化，从而体会到学习本章内容的意义.其次是从小学中的整数对拓展到实数对，本节课教学目标主要不在于用“有序数对”找位置，而是要为下一节课“平面直角坐标系”的理解提供直观的认识.

三、理解教学，注重概念自然生成

理解教学是指教师清楚教学的本质与功能，掌握一定的教学方法与教学艺术，清楚学生的认知规律和教学的基本原则，能够把教与学作为有机的、统一的、相互促进的整体来加以处理.［3］具体联系本节课，通过创设几个有趣的活动，让学生在活动中积累经验，并提升其做的经验，使它上升为数学思想方法.具体地说，本节课中，在活动中让学生体验坐标思想、数形结合思想.在教学设计时应体现下列理念、思路与方法.

首先，通过创设现实世界中几个与有序数对相关的实例，让学生感受数学来源于现实，又高于现实.在学生最近发展区提出问题，并用与已有的认知基础和认知策略相适应的方法构建“有序数对”概念.让概念的生成做到真实、自然而有效.

其次，数学是思维的科学，数学教学应尽可能提出有层次的问题.好的问题是开启学生思维的动力，能有效地发展学生的能力与思维，数学教学应该是一个教师指导下学生在活动和操作中发现数学问题与数学结论的过程.

第三，在理解教材的基础上合理地开发教材，不拘泥于教材的局限，增强“课标意识”和“用教材教的意识”，突破人为设置的、不合理的课时内容间的界限，强化单元教学、整体教学意识.［2］

四、教学过程设计与分析

1.问题情境

问题1：2015年世界反法西斯战争胜利70周年纪念日，天安门广场上出现了壮观的阅兵仪式，如图1、图2、图3所示，你知道它是怎么组成的吗？其中用到了哪些数学知识？

图1

图2

图3

师：参加图案表演的每个士兵都根据队列要求，按排号、列号站在一个确定的位置.随着信号开始，整个队伍的方阵就组成整齐的图案.类似于用“第几排第几列”来确定同学的位置，在数学中通常建立平面直角坐标系，用具有特定含义的两个数来刻画点的位置.本章学习平面直角坐标系这一重要工具后，同学们会发现，运用数学解决问题的能力又有提高了.比如，同学们学习有序数对后，就会设计一些简单漂亮的图案了.

设计说明：利用多媒体播放世界反法西斯战争胜利70周年的录像，然后选择一些典型性的图片，将章引言适当改变，激发学生学习的兴趣，在学生观看图片的基础上提出问题，引发学生用数学眼光审视画面中的图片.然后介绍本章要学习的内容及意义.

问题2：如果你是导演，想让图4上标有圆圈的这个缶亮起来，你会如何描述它的位置？

问题3：如图5，文章中有一处错别字，如何告诉同学这一处的位置？

问题4：如果一轮船在大海中作业时突发危险，船长应如何向警方描述他的位置？

图4

图5

追问1：上述三个问题在确定物体的位置时，都有什么共同点？

追问2：你会用更简洁的符号表示它的位置吗？

设计说明：在现实生活中，用数对确定位置的例子，体现了数学是研究与刻画现实世界的模型.三个问题情境都指向共同的目标，即为了准确描述位置，需要从定性到定量，从粗略到精确去加以刻画.当学生都能用第几列第几排去描述时，老师再次引导归纳出描述位置的共同特征用到两个数，如何简化这一表示方法呢？遵循小学学习“用数对描述位置”的规定：列数在前，排数在后.然后回顾用数对表示位置时这一表示方法的注意点.

2.建构活动

［建构活动1］

问题5：如图6，约定：列数在前，排数在后.说出下列数对：（3，5）、（5，3）、（2，4）、（4，2）所对应班级的同学。

图6

图7

追问1：按照上述约定，（3，5）和（5，3）是同一个位置吗？（2，4）和（4，2）呢？

追问3：你能尝试用自己的语言概括有序数对的定义吗？

设计说明：以学生生活中教室的位置为情境，以已有的认知为基础进行概念的构建.通过两数相同但顺序不同的数对描述班级中的同学，发现顺序不同的数对所对应的是不同的学生，在这个活动过程中，真实、自然感受有序数对的含义，从中归纳、抽象、概括有序数对的概念.

［建构活动2］

问题6：在图7所示的班级位置示意图中，有序数对（7，6）对应的同学是谁呢？

追问：（7，6）是所对应的位置没有呢，还是所对应的同学没有？（以下没有特别说明，都是约定列数在前，排数在后）

问题7：假如某班座位如图8所示，若把教室座位抽象成点，如图9所示，那么教师讲台桌，即点A是第几排？

在康复训练后期，患者需要根据自己的运动意图进行主动康复训练。采用阻抗控制方法建立机器人与患者之间力与位置的动态关系，实现患者主动参与的主动训练控制，同时采用模糊自适应逻辑对阻抗参数实时调整。

图8

图9

图10

追问1：座位B，即点B是第几列？

追问2：你能在图9中画出表示（0，0）的点O吗？

追问3：你是怎样理解“（-2，3）和（3，-2）”的含义的？

追问4：图9中点C所表示的有序数对是什么？

追问5：隐藏了图9中的网格线得到图10，对于平面内任意一个点P，你能写出其有序数对吗？

追问6：在图10所确定的平面中，有序数对（x，y）能确定几个点？反之，任意一点P对应几个有序数对？点和有序数对有着怎样的关系？

设计说明：一个有序数对对应班级中的一个位置，有时这个位置上虽没有人，但有序数对所对应的教室平面中的一个点却无论如何是存在的.从有序数对对应的同学进一步抽象为有序数对对应的平面中的点.教室中学生的座位都是正整数点，为了把正整数点推广到任意整数点，通过教师讲台桌是第几列等把有序数对从正整数点推广到任意整数点，并且构建原点（0，0），为下一节课平面直角坐标系的引入打下基础.

3.拓展延伸

问题8：如图6所示，请以下同学：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）站起来.

追问1：请观察站起来的同学形成的图形的形状，分别讨论这些有序数对有何特征.

追问2：你能用字母x表示上述有序数对吗？这条直线上所有的点都包含进去吗？

追问3：谁能像老师这样，叫出一些有序数对，使得站起来的同学恰好在一条直线上？

问题9：谁能说出一个有序数对，使得全班同学都站起来？

追问：请你谈谈有序数对和平面中的点，以及点动成线，线动成面它们之间的关系.

设计说明：通过特殊有序数对（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）…，动起来，这些点恰好在一条直线上，学生经历从数到形，再从形到数，即同一直线上的点所在的两个数之间的关系可以表示成（x，x+1）.而后学生自主探索同一直线上的点的有序数对特征，由于条件开放，有的学生可能发现平行于x轴的直线，平行于y轴的直线，与x、y轴都相交的直线，通过小组合作探究，这些同一直线上的点用一个字母表示，或者说出一个有序数对让全班同学站起来等，感受到学习有序数对的意义和必要性.

4.回顾反思

问题10：本节课我们得到了哪些结论？通过本节课的学习你有哪些感悟与体会？

设计说明：学生围绕以上问题发表自己的观点与看法，教师再做简要的小结.

参考文献：

1.章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015（4）.

2.黄文光，郦兴江.理解“三个理解”凸显数学思想［J］.中学数学（下），2015（1）.

3.李昌官.基于三个读懂，追求自然的探究［J］.数学通报，2011（5）.Z