大旋转角的空间直角坐标转换方法的改进

刘志平　杨　磊

1　中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室, 徐州市大学路1号, 221116

大旋转角的空间直角坐标转换方法的改进

刘志平1杨磊1

1中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室, 徐州市大学路1号, 221116

摘要：针对现有大旋转角空间直角坐标转换方法存在的问题，基于尺度参数的SVD估计提出改化模型，并推导了参数解估计的方向余弦法、单位四元数法及罗德里格矩阵法。最后，基于奇异点、模型条件数、中误差及迭代次数等指标，通过文献算例和大旋转角仿真算例比较分析了3种方法在七参数模型与本文改化模型的坐标转换效果。结果表明，旋转矩阵的SVD初值优于单位阵初值，改化模型优于七参数模型，方向余弦法优于其他两种方法。

关键词：坐标转换模型；大旋转角；方向余弦法；单位四元数法；罗德里格矩阵法

在空间直角坐标转换应用中，布尔莎(Bursa)、莫洛金斯基(Molodensky)和武测模型等被广泛使用，但此类模型及其解法仅适用于小旋转角的坐标转换[1-3]。鉴于此，国内外学者提出了多种大旋转角空间直角坐标转换的方法，其中最具代表性的方法包括方向余弦法[4]、单位四元数法[5-6]及罗德里格矩阵法[7-8]，它们在空间直角坐标转换[9-10]、视觉领域的相机姿态标定[6]及近景摄影测量领域的相对定向等应用中取得了较好的效果[11]。然而，上述方法均是基于七参数模型的迭代解法，研究过程中仅考虑坐标转换的精度，而鲜少顾及模型病态性、旋转参数与尺度参数相关性以及迭代初值等对坐标转换方法中迭代收敛性和精度的影响。

本文在七参数模型的基础上提出改化的六参数模型(简称改化模型)，进而推导了改化模型中参数估计的方向余弦法(增量迭代)、单位四元数法(全量迭代)和罗德里格矩阵法(全量迭代)，并给出了3种算法的迭代参数更新方法。最后，通过现有文献的3个算例和大量的大旋转角仿真计算，对七参数模型、改化模型及其估计方法进行详细比较，并以奇异点、模型条件数、中误差及迭代次数等作为指标进行全面分析，所得结论对大旋转角的空间直角坐标转换应用研究具有参考价值。

1空间直角坐标转换方法

1.1七参数模型及改化

将三维坐标系Ⅰ和Ⅱ下的坐标分别记为Xi和xi，则Xi转换至xi的七参数模型[4]可表达为:

(1)

式中，Xi=(XiYiZi)T，xi=(xiyizi)T，m表示尺度参数，d=(dxdydz)T表示平移向量，R表示旋转矩阵且满足RRT=I3，可用3个独立旋转角表达为:[2]R=R2(θ)R1(γ)R3(ψ)。

在实际应用中，若直接对七参数模型进行参数估计，由于尺度参数与旋转矩阵存在数学相关性，易导致迭代估计算法发散，参数结果严重失真(尤其在大旋转角度的情况)。针对该问题，本文对七参数模型进行改化，其过程如下。

首先，计算重心坐标对(Δxi,ΔXi)。由七参数模型可得重心坐标对的等式关系:

(2)

当有多个重心坐标对时，由等式关系(2)得：

(3)

(4)

进一步地，对混合矩阵进行奇异值(SVD)分解[11]，得：

(5)

式中，U、V表示正交矩阵，S=diag(s11,s22,s33)表示对角矩阵。

(6)

(7)

1.2改化模型参数估计

1.2.1方向余弦法

若用rj表示矩阵R的第j个行向量(j=1,2,3，共3行)，并将其表示为近似向量rj,0和待估向量δrj之和，则有：

(8)

将式(8)代入改化模型(7)，考虑矩阵R的正交性质，整理可得模型参数估计方程为：

(9)

(10)

式中，βr=(δr1δr2δr3dxdydz)T。

显见，上述参数估计方程需要迭代计算。其中，迭代增量参数为(δr1,δr2,δr3),同时更新rj=rj,0+δrj,直至完成迭代计算。

1.2.2单位四元数法

单位四元数法表示的姿态矩阵为:

(11)

(12)

将式(12)代入改化模型(7)，整理得模型参数估计方程：

(13)

式中，βq=(q1q2q3dxdydz)T。

1.2.3罗德里格矩阵法

罗德里格矩阵表示形式为[8]

(14)

(15)

将式 (15)代入改化模型(7)，得模型参数估计方程：

(16)

式中，βω=(ω1ω2ω3dxdydz)T。

显见，上述参数估计方程需要迭代计算。其中，迭代全量参数为(ω1,ω2,ω3),直至完成迭代计算。

1.3迭代参数更新方法

2)对于单位四元数法，根据式 (11)中单位四元数与旋转矩阵的关系，得迭代参数更新式[9]：

(17)

3)对于罗德里格矩阵法，根据反对称矩阵G(ω1,ω2,ω3)与旋转矩阵的关系式 (14)，得迭代参数更新式：

(18)

2实验结果与分析

2.1现有文献算例

为验证所提改化模型的3种估计方法的正确性和有效性，本文对各方法利用现有文献算例分别进行比较研究。具体设计方案如下。

表2　3个方案的计算结果

2.2仿真算例

为更全面地比较文中所提改化模型的3种估计方法在大旋转角情况下的适用性，选取江苏省徐州市范围(经度116.5°～117.5°，纬度33.5°～34.5°，以0.25°为步长形成25个格网点)坐标数据进行比较研究。首先，根据各格网点的经纬度，令大地高均为0 m，利用CGCS2000椭球参数计算各点的空间直角坐标，作为转换前的坐标A。然后，给定一组七参数值d=[1.0001.5002.000]T、m=1.5×10-8及3个旋转角(γ,θ,ψ)，由七参数模型(1)计算转换后的各格网点坐标B，进而利用各方法计算坐标转换参数。

表3　两个方案的计算结果

3结语

本文探讨了现有大旋转角空间直角坐标转换方法中存在的问题，并在此基础上提出改化模型。推导了改化模型的方向余弦法、单位四元数法及罗德里格矩阵法，并基于奇异点、模型条件数、中误差及迭代次数等指标，通过大量验证计算得出：1)与七参数模型相比，改化模型显著改善了模型的病态性，同时有助于避免迭代发散；2)方向余弦法、单位四元数法和罗德里格矩阵法受初值影响的差异较大，迭代初值的精化可明显提高方向余弦法和单位四元数法的收敛效率和精度；3)使用文中所提出的SVD估计作为迭代初值，在本文的评价指标下，方向余弦法优于单位四元数法，罗德里格矩阵法效果最差。

参考文献

[1]潘国荣, 汪大超, 周跃寅. 两种大转角空间坐标转换模型研究[J]. 山东科技大学学报: 自然科学版, 2015, 34(1): 61-67(PanGuorong,WangDachao,ZhouYueyin.TwoSpatialCoordinateTransformationModelofLargeAngle[J].JournalofShandongUniversityofScienceandTechnology:NaturalScience, 2015, 34(1): 61-67)

[2]王传江, 王解先, 顾建祥. 大旋转角三维直角坐标转换的一种线性模型[J]. 铁道勘察, 2013, 38(6): 4-6(WangChuanjiang,WangJiexian,GuJianxiang.ALinearModelof3-DimensionalRectangularCoordinateTransformationBasedonBigRotationAngle[J].RailwayInvestigationandSurveying, 2013, 38(6): 4-6)

[3]姚宜斌, 黄承猛, 李程春,等. 一种适用于大角度的三维坐标转换参数求解算法[J]. 武汉大学学报：信息科学版, 2012, 37(3):253-256(YaoYibin,HuangChengmeng,LiChengchun,etal.ANewAlgorithmforSolutionofTransformationParametersofBigRotationAngle’s3DCoordinate[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2012, 37(3):253-256)

[4]陈义, 沈云中, 刘大杰. 适用于大旋转角的三维基准转换的一种简便模型[J]. 武汉大学学报：信息科学版, 2004, 29(12):1 101-1 105(ChenYi,ShenYunzhong,LiuDajie.ASimplifiedModelofThreeDimensional-DatumTransformationAdaptedtoBigRotationAngle[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2004, 29(12):1 101-1 105)

[5]SchenkT.FromPoint-BasedtoFeature-BasedAerialTriangulation[J].ISPRSJournalofPhotogrammetry&RemoteSensing, 2004, 58: 315-329

[6]季顺平, 吴珍丽. 单位四元数在航空摄影测量解算中的应用与实践[J]. 测绘科学, 2010, 35(1):44-46(JiShunping,WuZhenli.TheApplicationandPracticeofUnitQuaternionMethodinAerialTriangulation[J].ScienceofSurveyingandMapping, 2010, 35(1):44-46)

[7]姚吉利, 韩保民, 杨元喜. 罗德里格矩阵在三维坐标转换严密解算中的应用[J]. 武汉大学学报: 信息科学版, 2006, 31(12): 1 094-1 096(YaoJili,HanBaomin,YangYuanxi.ApplicationofLodriguesMatrixin3DCoordinateTransformation[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2006, 31(12): 1 094-1 096)

[8]原玉磊, 蒋理兴, 刘灵杰. 罗德里格矩阵在坐标系转换中的应用[J]. 测绘科学, 2010, 35(2): 1 78-1 79(YuanYulei,JiangLixing,LiuLingjie.ApplicationsofLodriguesMatrixinCoordinatesTransformation[J].ScienceofSurveyingandMapping, 2010, 35(2): 178-179)

[9]周拥军. 基于未检校CCD相机的三维测量方法及其在结构变形监测中的应用[D]. 上海：上海交通大学, 2007(ZhouYongjun.StudyonUncalibratedCCDCameraBasedDigitalClose-RangePhotogrammetryfor3DStructureDeformationMeasurement[D].Shanghai:ShanghaiJiaotongUniversity, 2007)

[10]姜柱, 刘庆元, 周曼. 单位四元素在坐标转换中的应用[J]. 矿山测量, 2012(5): 28-29(JiangZhu,LiuQingyuan,ZhouMan.ApplicationofUnitQuaternioninCoordinatesTransformation[J].MineSurveying, 2012(5): 28-29)

[11]张永军, 胡丙华, 张剑清. 大旋转角影像的绝对定向方法研究[J]. 武汉大学学报:信息科学版, 2010(4): 427-431(ZhangYongjun,HuBinghua,ZhangJianqing.AbsoluteOrientationofLargeRotationAngleImages[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2010(4):427-431)

Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No. 41204011,41504032; Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,No. SKLGED2014-3-2-E.

About the first author:LIU Zhiping, associate professor, majors in adjustment theory, navigation positioning and geospatial inversion, E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn.

An Improved Method for Spatial Rectangular Coordinate Transformation with Big Rotation Angle

LIUZhiping1YANGLei1

1Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of NASMG, CUMT,1 Daxue Road, Xuzhou 221116, China

Abstract:To accomplish spatial rectangular coordinate transformation with big rotation angles, the improved coordinate transformation model is proposed. This model is based on scale parameter estimation using the matrix singular value decomposition (SVD). Three estimation methods, including direction cosine, unit quaternion and Rodrigues are presented for the improved coordinate transformation model. Finally, simulated and practical experiments of coordinate transformation with big angle are tested to compare and analyze the adaptability of the three methods using the total number of singular points, the condition number of normal matrix, the number of iterations and the RMS, etc. Experimental results show that the improved model is better than the extant seven parameters model, that the SVD solution of rotation matrix is superior to unit matrix as an initial value, and that the direction cosine method is preferable to the other two methods.

Key words:coordinate transformation model; big rotation angle; direction cosine; unit quaternion; Rodrigues

收稿日期：2015-06-25

第一作者简介：刘志平，副教授，主要从事误差理论、导航定位和反演分析研究，E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.07.006

文章编号：1671-5942(2016)07-0586-05

中图分类号：P226

文献标识码：A

项目来源：国家自然科学基金(41204011,41504032)；大地测量与地球动力学国家重点实验室开放基金(SKLGED2014-3-2-E)。