基于移动最小二乘法的天线增益模型构建* 1

钟锡健,张更新,谢智东

(解放军理工大学 通信工程学院，江苏 南京 210007)



基于移动最小二乘法的天线增益模型构建* 1

钟锡健,张更新,谢智东

(解放军理工大学 通信工程学院，江苏 南京 210007)

摘要：提出了一种基于移动最小二乘法拟合的天线增益指向模型构建方法。在天线方向图为理想函数条件下，将天线增益与指向建立联系，构建天线增益指向模型；将该模型形成模拟的数据库，应用移动最小二乘法进行拟合，得到反映任意指向与天线增益关系的天线方向图拟合函数。在不同权函数的条件下对天线方向图的主瓣部分进行拟合仿真，进行了误差分析及权函数的作用分析，证明了该方法比传统的最小二乘法拟合精度更高，也证明了该模型构建方法的有效性。

关键词：方向图模型；移动最小二乘法；函数拟合；误差分析

0引言

对于星载多波束天线，点波束的天线方向图在天线设计时已设定，可以用一个函数表达式表示，如相控阵天线组成的多波束天线中，可根据相控阵天线阵面的形状、阵元的个数和排列方式、阵元间距以及阵元幅度加权方式等相关参数来模拟反映相控阵天线方向图特性的函数[1]。但在实际应用中，天线方向图函数表达式并不能完全反映天线增益与方向关系，会存在一定的误差。所以在卫星投入使用后，通常情况下会对天线增益与波束指向关系进行测量标校[2-3]，并以数据库形式存储。然而数据库只能反映某些特定指向与增益关系，并不能反映任意指向与天线增益的关系，在一些应用中会带来不便。本文针对天线方向图为理想函数和数据库两种情况，构建天线增益指向模型，实现任意指向与天线增益相关联。

1理想天线方向图函数及其指向模型

针对单个圆形点波束，文献[4-5]提出一种通过辐射源发射信号入射方向与波束中心之间的夹角近似计算波束增益的方法。假设点波束中心增益为G0，那么辐射源与波束之间的波束增益G近似计算为：

(1)

图1　θ与α和β的映射关系图

为构建任意指向的夹角关联，这里定义两个角：如图1所示，α为任意指向位置在平行于卫星运行方向上与星下点的夹角；β为任意指向位置在垂直于卫星运行方向上与星下点的夹角。其中，O为星下点，X正轴方向为卫星运行方向。

为了得到任意指向与增益相关联，将θ转换为关于α角和β角的函数(亦可与俯仰角和方位角建立联系)，转换公式为：

(tanα0-tanα)2-(tanβ0-tanβ)2]

(2)

假设卫星天线口径D为12.5m，信号的载波频率为2GHz，波束中心指向(α0,β0)为(5.0000°,0.0000°)，则其方向图如图2所示。

图2　指向与波束增益的关系

在实际应用中，天线方向图函数表达式并不能完全反映天线增益与指向关系，会存在一定的误差。为了得到准确的增益，通常会对某些特定指向下的天线增益进行精确测量，并以数据库形式存储。由于数据库不可能无限庞大，不可能反映任意指向的增益信息，若根据数据库信息将天线增益函数拟合出来，即可得到任意指向的近似增益。

为了便于拟合和检验误差，在下文中，以图2模型中主瓣部分某一粒度的数据作为数据库，使用移动最小二乘法[6-7]进行拟合。

2移动最小二乘法

移动最小二乘法(MLS，MovingLeastSquares)由P.Lancaster和K.Salkauskas在80年代初系统地提出[8]，MLS方法在最小二乘法的基础上作了较大的改进，使拟合出来的函数曲面更加光滑，精度更高。MLS的方法有以下几个主要特点：1)不需要对拟合域进行划分，只需散点模型。2)在MLS中，引入了具有紧支撑性质的权函数，其作用是使当前节点的拟合函数值只受该节点周围一定范围内节点的影响，而不受其他节点的影响，这使得MLS具有拟合复杂曲面的能力。3)通过改变MLS中的权函数和基函数可以控制拟合函数的光滑度和精度。

2.1移动最小二乘法原理

(1)

这里m是基函数的项数，bj(x)是基函数，aj(x)是其系数。

由(1)式，利用加权最小二乘法构成二次形式：

(2)

上式可用矩阵形式表示为：

J=(Ba-f)TW(x)(Ba-f)

(3)

其中，

fT=(f1，f2，…，fi)

其中，n是x附近影响节点数；w(x-xi)是节点xi具有紧支撑性质的光滑连续权函数，在xi紧支撑域内部和边界的wi=w(x-xi)>0,在其外部wi=0；fi是xi节点值。

式(2)对系数a(x)进行求导，得：

(4)

即

a(x)=A-1D(x)f

(5)

其中，A(x)=BTW(x)B，D(x)=BTW(x)。

由式(5)代入式(1)，可得拟合函数

(6)

2.2权函数

权函数在函数的拟合中起着十分重要的作用[9]，权函数的选择直接关系到函数拟合的精度。假设某待拟合区域内的权函数为w(x-xi)，x是该区域中任意网格点对应的坐标，xi是节点i对应的节点坐标，则权函数的选择应遵循以下原则：

(1)光滑性，即权函数w(x-xi)为光滑连续的函数；

(2)紧支撑性，每个节点的权函数在紧支撑区域内大于零，即w(x-xi)>0；在该节点紧支撑域外部时为零，即w(x-xi)=0；

(3)单调递减性，即w(x-xi)随x到xi距离的增加而减小。

紧支撑权函数的选择有很多，如高斯权函数，指数权函数，样条权函数等。其中，高斯权函数的形式如下：

(7)

3仿真分析

使用移动最小二乘法对天线方向图函数主瓣部分进行拟合，选用基函数为二次基，即bT=(1,x,y,x2,xy,y2)，拟合的数据库粒度为0.1°，分析不同的权函数其对拟合误差影响。图3为待拟合的理想方向图函数。

图3　待拟合函数曲面

为了检验拟合误差，对误差度量定义为：

(8)

(9)

选用不同权函数的拟合天线方向图函数曲面及相对于原函数的绝对误差如图4所示。

图4(a)中使用的权函数在整个区域内都是常数，这里取w=1，这时移动最小二乘法退化成传统的最小二乘法。

图4(b)中权函数在一个小的子域内等于常数，取w=1，在其它地方等于零。虽然这个权函数也具有紧支性，但光滑性效果不好，在函数值变化较大的区域会出现较大误差。

图4(c)中权函数是高斯权函数，不但具有紧支特性，而且具有光滑性。

(a)权函数为全局常数

(b)权函数为紧支撑的常数

(c)权函数为紧支撑高斯函数

拟合误差统计如表1所示。

表1　使用不同权函数的拟合误差

由以上仿真结果可以得到以下结论：

1)权函数为全局常量时，移动最小二乘法退化成传统的最小二乘法，相比于选用高斯权函数，拟合局部的能力差，拟合曲面光滑性差，拟合误差较大。

2)权函数为具有紧支特性的常量时，拟合效果好于最小二乘法，但由于权函数为常数，拟合曲面的光滑性较差。

3)权函数为紧支特性的高斯权函数时，由于其局部拟合能力和光滑性强，拟合曲面精度十分可观，这也说明了本文基于移动最小二乘法拟合的天线增益模型构建方法的有效性。当拟合粒度更小时，拟合精度会更高。

4结语

本文将天线增益与指向建立联系，构建天线方向图为理想函数时的增益指向模型，并针对数据库形式的方向图只能反映某些特定指向与增益关系这一不足，提出一种基于移动最小二乘法拟合的天线增益模型构建方法。根据理想方向图函数形成的数据库，应用移动最小二乘法对其进行拟合。分析了权函数对拟合误差的影响，结果表明移动最小二乘法拟合效果优于传统最小二乘法，证明了移动最小二乘法的优越性及基于移动最小二乘法拟合的天线增益模型构建方法的实用性。

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ConstructionofAntennaGainModelbasedonMovableLeastSquare

ZHONGXi-jian,ZHANGGeng-xin,XIEZhi-dong

(CollegeofTelecommunicationEngineering,UniversityofScienceandTechnology,NanjingJiangsu210007,China)

Abstract：The construction of antenna gain pointing model based on movable least square method is proposed. An antenna gain pointing model is constructed by establishing the relation between antenna gain and direction when the antenna pattern is an ideal function. With the model as database and movable least square method for fitting, the antenna pattern fitting function in reflecting the relation between arbitrary direction and antenna gain could be acquired.Fitting simulations under different weight functions are done. The error analysis and role analysis of the weighted function indicate that this method could acquire higher-fitting precision as compared with the traditional least square method, and the effectiveness of this model construction.

Key words：antenna pattern model; MLS (movable least square); function fitting; error analysis

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.05.008

* 收稿日期：2015-12-18；修回日期：2016-03-26Received date:2015-12-18；Revised date：2016-03-26

基金项目：国家自然科学青年基金(No.61401507)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China for Youth(No.61401507)

中图分类号：TN967

文献标志码：A

文章编号：1002-0802(2016)05-0549-05

作者简介：

钟锡健(1991—)，男，硕士研究生，主要研究方向：卫星干扰源定位;

张更新(1967—)，男，教授，主要研究方向：卫星通信、卫星导航与卫星测控;

谢智东(1984—)，男，讲师，主要研究方向：卫星通信抗干扰。