竞赛数学中的几种解题思维方法
2016-07-04钱晓平
【摘 要】系统地讨论了竞赛数学的几种常用的解题理论、解题思维和方法。有助于解决竞赛数学中遇到的常见问题。具有一定的可操作性。
【关键词】构造法;反证法;数学归纳法;染色法;赋值法
随着数学竞赛的发展，已逐步形成一个特殊的数学学科——竞赛数学。它涉及到数学竞赛的内容、思想和方法;也涉及到数学竞赛教育和数学课外教育的本质、方法、规律和途径问题。根据竞赛数学的题目特点，本文归纳出其中常见的几种解题思维方法。
一、构造法
解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论。但对某些问题（例如存在性问题，条件与结论相距较远的问题等），直接推理有时不能顺利进行，因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系，这种通过构造题目本身所没有的解题工具，去实现解题的方法，就是构造法。
例1： 证明 对于和为1的正数 不等式
成立。
证明： 设A是不等式的左边，构造
说明B的构造受下式启发
=
下面求证：利用不等式即得
二、反证法
一个命题，当我们不易或无法直接证明时，就应当想到用反证法尝试。可以概括为：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导出矛盾。
例2：试证 （1）如果正整数n使方程x3-3xy3+y3=n有一组解（x，y）那么这个方程至少有三组整数解。
（2）当n=2891时，上述方程无整数解。
证明：（1）设（x0，y0）是方程的一个解，令x0=y0+y1，
则（y0+y1）3-3（y0+y1）y02+y03=n化简后得（-y0）3-3（-y0）y12+y13=n。
所以（x1，y1）=（-y0，x0-y0）也是方程的解，且（x1，y1）≠（x0，y0）。事实上 若x1=x0，y1=y0，则-y0=2y0，得y0=0，x0=0。代入原方程得n=0，这与n是自然数矛盾。
再令，代入已知方程，化简后得。
所以也是方程的一个解。类似上面局部反证，又证，，故方程有3组不同的解。
（2）假设有整数，
因为所以。
这只有下列三种情形可行，，。
根据（1）所证同时为方程的解，故后两种情况又归结为第一种情况，令代入已知方程有
而2891≡2（mod9），方程两边对模9不同余，矛盾，故已知方程无整数解。
三、数学归纳法
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一。它在数学各个分支都有广泛应用。其实质在于：将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题：“p（1）真”和“若p（k）真，则p（k+1）真”，从而达到证明目的。
例3：已知对任意，有，求证：。
證明：（1）当时，由，命题成立。
（2）假设当时，命题成立。即
当因为
又
于是
因为， 所以
又因为，故
解得 （舍去）.
所以时命题也成立。从而对，命题成立。
四、染色法
染色法，即是指根据问题的情境，把问题的对象适当地染上若干种颜色，从而把问题转化为染色问题而加以解决的一种解题思想方法。
用染色法解题，其关键是根据问题的特点，选取恰当的染色方法对问题的对象进行染色，从而把问题转化为熟悉的或易于解决的问题。
例4：有17位科学家，其中每一个人和其他所有的人通信。他们的通信中只讨论三个题目。求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目。
证明：用平面上无三点共线的17个点分别表示17位科学家。17点间两两连线。两位科学家若讨论第一个题目，则把对应两点间连线染上红色，若讨论第二个题目，则把对应两点间连线染上黄色，若讨论第三个题目，则把对应两点间连线染上蓝色，于是只需证明这17个点为顶点的三角形中存在同色三角形。
考虑以为端点的线段。由抽屉原则知，这16条线段中至少有6条同色，不妨设为红色，现考察连接的15条线段：若其中至少有一条红色线段（如），则同色三角形已出现（红色△）;若没有红色线段，则这15条线段只有黄色和蓝色，所以一定存在同色三角形（黄色或蓝色三角形）。问题得证。
五、赋值法
对于某些数学竞赛问题，若能根据问题的具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如+1或-1，0或1等），往往能使问题数值化、直观化、简单化，这就是赋值法。
例5： 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（n≥3），若顺序相邻的3个人中恰有一个男孩的有a组，顺序相邻的3个人中恰有一个女孩的有b组，
求证：3|a-b 。
证明：将n个孩子依次赋值：
，
，则相邻三个值的和
，且。
设取值为3的Ai有c个，取值为-3的Ai有d。依题意，取值为1的Ai有b个，取值为-1的Ai有a个，则
故3|a-b 。
参考文献：
[1]陈传理.竞赛数学教程.北京：高等教育出版社，1996年第一版
[2]张同君.竞赛数学解题研究.北京：高等教育出版社，2000年第一版
作者简介：
钱晓平（1979～），助教，研究方向：基础数学，2003 年毕业于南昌大学数学系，现任教于新余学院数学与计算机学院。
