相场法模拟定向凝固微观组织演化研究进展

杨　剑,　李　焕,　易志勇,　胡艳艳

(江西理工大学 材料科学与工程学院, 江西 赣州　341000)

相场法模拟定向凝固微观组织演化研究进展

杨剑,李焕,易志勇,胡艳艳

(江西理工大学 材料科学与工程学院, 江西 赣州341000)

摘要：定向凝固是一种新型的铸造成型技术,能够很好地呈现出凝固过程中界面形态的演化过程,而相场法在如今微观组织数值模拟领域中是最具有优势的一种研究方法.介绍了相场法数值模拟的基本原理,阐述了国内外学者对二元或多元合金在受流场、溶质间相互作用和各向异性、过冷等因素条件影响下自由枝晶和小晶面枝晶的相场法模拟的研究进展,说明了采用相场法耦合溶质场和计算相图等方法在其他微观组织中的应用,并且指出了相场法在模拟定向凝固微观组织领域中所存在的不足之处以及未来的发展趋势.

关键词：相场法; 定向凝固; 微观组织

定向凝固是随着高温合金的发展而逐渐发展起来的一种较为新颖的铸造成型工艺.其原理是采用强制措施使凝固金属或非凝固金属熔体形成具有指定方向的温度梯度,使熔体依照规定,顺着与热流相反的方向结晶取向凝固的一种铸造成型技术.此技术能有效地控制和消除凝固组织的晶粒取向与横向晶界,使材料的纵向力学性能得到显著提高.因此被广泛应用于一些特殊材料的研究中,如:半导体材料、磁性材料和复合材料[1].

定向凝固技术是在高温合金的研究制备过程中渐渐被发展和完善起来,最早用来消除结晶过程中产生的横向结晶,提高材料力学性能的一种技术[2].如何精准地获得凝固过程中固、液相的温度场,尤其是固-液界面的温度梯度与凝固速度,以确定金属凝固特性与外部控制参数之间的定量关系,对定向凝固过程的精确控制具有重要的影响.随着计算机技术的飞速发展,数值模拟使定向凝固过程的研究上升到一个新高度.目前,凝固过程中微观组织数值模拟的方法主要分为以下3种:确定性方法(DeterminsticMethod)、随机方法(StochasticMethod)和相场法(Phase-fieldMethod)[3].相场法作为凝固组织模拟最具潜力的方法之一,在凝固组织研究领域中已成为专家学者越来越关注的问题.

1相场模型

相场法是在考虑热力学驱动力和有序化势综合作用的基础上来建立相场方程.与处理固-液相变的其他方法的主要差异在于:引入一个表示材料时间和位置有序化数的新变量即相场变量Φ(x,t).当Φ(x,t)=1时,表示为固相;当Φ(x,t)=0/-1时,表示液相.通过固-液相界面区域Φ值在[-1,1]的连续变化,用Φ(x,t)跟踪不断变化的凝固界面,避免了追踪复杂界面引起的误差,有效地克服了尖锐界面的问题[4-5].

相场模型是用相场法建立的数学模型,模拟凝固微观组织演化过程的一种手段.本质是依据能量守恒定律,使Φ与其他各种外部变量建立一组偏微分方程,关键在于如何把抽象的物理问题转化为相场模型.目前相场模型的主要表达方式有:Helmholtz自由能函数法和熵函数法.用熵函数法建立的相场模型的最简表达式一般为:

(1)

(2)

(3)式中:Φ为相场变量;MΦ为与界面动力学相关的相场;δ为相场梯度项系数;c为合金成分;Mc为与溶质场相关的相场参数;e为内能密度;Me为与温度场相关的相场参数;S为封闭体系Ω的熵,其表达式为:

(4)

式中:s为熵的密;ε为相场梯度项修正系数.联立式(1)～式(4),所有变量可以通过体系的熵耦合起来[6].假设相场变量Φ随着时间t的变化与自由能变化函数成正比,即:

(5)

式中:M′Φ为相场移动速率(与固液界面驱动力相关);F为Helmholthz自由能函数,其表达式为:

(6)

式中:T表示温度;V表示体积.由最小能量原理有变分形式的Lyapounov函数与线性不可逆动力学,可以推导出以下方程:

(7)

(8)

式中:M′c为与溶质扩散相关的相场参数;M′e为与热扩散相关的相场参数[7].

2枝晶相场法模拟的研究进展

2.1自由枝晶的研究进展

枝晶具有非线性、自组织结构和分维的特点,它对热量、质量、动量传输、界面动力学和毛细管效应等方面存在相互耦合的问题.自1993年Kobayashi[8]首先在各向异性相场模型条件下模拟了二维纯金属枝晶的生长形貌后,又继续扩展到三维,得到的模拟结果与试验结果吻合.随后,Karma等[9-10]基于可模拟大过冷度范围的新相场模型,运用二维和三维定量数值,模拟了在低过冷度下界面动力学系数为0的纯金属自由枝晶的生长.试验结果表明,枝晶尖端速度和尖端半径的运算结果与稳态枝晶生长问题的Green’sfunction数值解一致.1999年Diepers等[11]提出了具有流动条件的相场模型,模拟了二维Al-4%Cu合金在绝热条件下的粗化过程.2000年,Tönhardt等[12]将纯金属凝固时的熔体相场模型由对流环境简化为剪切流动环境,并对剪切流动环境条件下枝晶的生长演化和对流条件下枝晶的生长形态进行了研究,表明对流因素对定向凝固微观组织和形貌具有非常显著的影响.随后Anderson等[13]凭借耦合,不包括流场模型与流体流动的扩散界面模型,提出了可同时对凝固和熔体对流进行处理的相场模型.在此模型中,固相与材料模拟分别视为具有高黏度的液态和相场变量的函数,并且把该相场模型用于对流条件下的相变过程,试验结果与通过尖锐界面模型计算得到的结果相吻合[14].Lan等[15]以WBM模型为基础,采用自适应有限体积法研究了强迫对流条件下对流因素对Cu-Ni二元合金枝晶生长的影响.针对求解过程中截面厚度限制的问题,运用抗溶质截流法使其缓解,得到了更理想的薄界面厚度,使得在低过冷度和模拟尺度较大的条件下进行模拟计算成为可能.结果表明,逆流枝晶尖端速度在强迫对流和低过冷度条件下能迅速达到稳定状态,逆流臂上出现二次枝晶.Jeong等[16]将平均体积法耦合对流的二维相场模型模拟延伸到三维情况下,首次研究了强迫对流对三维枝晶生长的影响,试验结果表明:对三维枝晶尖端速度的影响程度远远不及对二维枝晶的影响程度.Tong[17-18]和Beckermann等[19]基于Karma的模型,使用多重网格SIMPLE算法,提出一种具有流场条件的相场模型,研究了流动方向、流动速度和各向异性强度等因素对二维枝晶尖端生长速度和形态选择的影响;同时,他们也对枝晶尖端的稳态行为和侧向分枝进行了研究并取得了不错的成绩.试验表明:模拟的Peclet数和流动Peclet数之间的关系与Bouissu和Pelces预测模型结果一致[20].图1中所示,(a)代表强迫对流顺流方向对枝晶生长形貌的影响,(b)代表逆流方向对枝晶生长形貌的影响.图中虚线表示流场,流动方向是自上而下,逆流方向枝晶臂的生长因受到流场的抑制明显加强,而顺流方向枝晶臂的生长则恰好相反.并且可以看出,当主枝晶生长方向与流动方向成45°角时,二次枝晶臂只出现在沿逆流生长的两个枝晶臂中[21].

图1　强迫对流对枝晶生长形貌的影响

溶质间的相互作用在多元合金的凝固过程中主要体现在液相和固相的化学自由能中的相互作用项和扩散系数矩阵中的非对角项两方面.但在溶液模型或者亚规则溶液模型中,对化学自由能种的相互作用都有所涉及,而大多数多元合金的凝固过程模拟对非对角扩散项因素的影响均有考虑.通过对相场模型、热力学和动力学数据库的耦合,Kobayashi等[22]建立了基于KKS单相二元合金的多元合金凝固相场模型,并模拟了不同条件下Fe-C-P合金和Al-Mg-Si合金的枝晶生长及其显微偏析演化过程.

2.2小晶面枝晶的研究进展

Wheeler等[23]提出的WBM模型与Kim等[24]提出的KKS模型因在非小晶面枝晶生长过程中表现出较强的适应性而被研究者们认可.2001年Eggleston等[25]在相场模拟模型中采用界面能校正形式成功模拟出了较强各相异性条件下小晶面枝晶的生长.而后Suzuki等[26]利用该校正模型模拟了Si-Ni二元合金小晶面枝晶的生长,如图2所示.

图2　Si-Ni二元合金小晶面枝晶形貌

Uehara等[27]在强动力学各向异性条件下模拟了Ni二维小晶面枝晶的生长演化,并研究了各向异性对枝晶形貌和尖端稳态行为的影响.与此同时,张国伟等[28]在Uehara的试验基础上增加了高界面能各向异性的条件,模拟了小晶面枝晶的演化.试验结果显示:过冷度发生改变时,晶体生长由热扩散控制转变为界面动力学系数控制.Wang等[29]研究了水杨酸苯酯小晶面晶体生长的三维形态.试验结果表明:小晶面晶体形貌在成型期前后,过冷度和生长速率呈现出不同的函数关系,成型前期表现为非线性,而成型后生长阶段表现为线性关系.

3其他微观组织的研究进展

相场法因能够自动处理复杂几何结构中的边界问题并且可以模拟移动的边界问题而应用广泛[30],这不仅表现在枝晶方面,在其他微观组织的模拟方面也有所应用.

于艳梅等[31]运用WBM模型模拟了Ni-Cu二元合金等温近似定向凝固和非等温定向凝固的固-液界面形态的演变过程.研究结果显示:当初始过冷度大于25k时界面生长速度加快,从而减小了绝对稳定平界面的临界速度.2005年,Nestler[32]提出三维并行计算方法来模拟多元合金的非等温凝固.此模型主要适用于描述多元系的扩散过程、多相的相变及温度场的变化,同时,该相场模型也引入了界面能各向异性和动力学各向异性.2005年,Kobayashi等[33]对相场方程进行了优化,建立了相对理想的多相场模型,对三维枝晶的演化过程和动力学过程进行了模拟.此外,Kim等[34]根据不同的相场变量代表不同取向的晶粒,建立了可用于描述晶粒生长的多相场模型.李梅娥等[35]运用WBM模型耦合抽拉速度对Ni-Cu合金定向凝固的界面形态的演变过程及溶质浓度分布进行了模拟.研究显示:Ni-Cu合金的高速绝对稳定性临界速度大约为2.5cm/s,此结果和经典理论保持一致;在接近高速平界面生长的过程中,随着凝固速度的增大,胞间间距减少,沟槽变浅,固液界面温度降低,固相浓度变大,有效溶质分配系数变大,使得溶质截留效应更显著.肖荣振等[36]运用耦合溶质场的相场模型,采用温度冻结近似条件,模拟了单相二元合金高速定向凝固的固液界面形态和溶质偏析,展现了定向凝固的平 - 胞 - 平转变,研究了固相扩散系数Ds及溶质梯度系数δ对模拟结果的影响.2009年,Nomoto等[37]采用多相场模型耦合计算相图的方法(CALPHAD),对Al-Ti-B和Al-Si-Ti-B系合金在凝固过程中的晶粒细化进行了模拟.2010年,Minamoto等[38]通过MICRESS软件模拟了Mg-Zn-Y合金在凝固过程中的组织变化.2015年,Xing等[39]使用定量相场模拟了二维体系下枝晶阵列在非轴向取向晶体定向凝固过程中的倾斜生长.关于对扩散界面宽度收敛性的研究结果表明:扩散界面宽度W0/d0≤11.3是合理的;通过对一些参数的研究,观察主间距、取向误差角、顶端过冷度的抽拉速度、主间距上限值和倾斜角对晶体生长的影响,而且增加主间距或者减小取向误差角时,顶端过冷度会减小.Chen等[40]采用有限元法的定量相场模型,模拟了Al-Cu合金定向凝固的初始瞬态,通过对比原位分析理论和欧洲同步辐射装置的X射线照相,实时观察模拟了凝固过程中平界面和液态前溶质分布的模拟速度,这与Warren-Langel初始平面凝固瞬变的模拟十分接近,加快平界面速度后,就会失去稳定性,包晶的过渡就会开始.

4相场法存在的问题及未来的发展趋势

相场法采用连续变量模拟不连续的现象,因其算法简单、功能强大而倍受国内外学者青睐.它能直接模拟固-液相中一些复杂的凝固现象,如溶质的偏析、分枝的形成、粗化和重熔等,而且能够定量地分析研究扰动各向异性、固-液界面曲率和动力学效应对凝固微观组织所产生的影响.但因相场方程复杂、计算效率低,不能对复杂的模型进行求解,所以制约了微观组织模拟的发展.若要对样件微观组织的形成过程进行精确模拟,就需要建立能够准确描述样件微观组织演化过程的数字模型,而且需要具有高效数值计算能力的设备支持.

从相场法的提出到迄今为止,经过国内外学者的不懈努力,微观组织的模拟经历了从定性模拟到定量模拟,从无点形核到随机形核,从纯物质微观组织的模拟到二元、多元合金微观组织的模拟,从忽略流场因素发展到考虑流场因素的影响,数字模型和研究方法正在日益完善中.若使微观组织的模拟取得更大的突破,则需要研究学者们的进一步努力.

4.1相场法存在的问题

(1) 对形核的时间、数量和晶核的分布、运动状态、生长等方面的分析理论还有待于进一步的完善.

(2) 合金的相图、物性参数等数据还不够完善.

(3) 目前的相场模型大多数只考虑热扩散的稳定界面,忽略了固-液界面结晶释放的潜热.然而合金的实际凝固过程大多数是非平衡凝固,因此相场法若要实用化就必须考虑到其他因素的影响.

(4) 相场法的计算量较大,而当前计算机的数据处理能力有限,仅仅能够对凝固体系中微小区域的局部进行模拟,因此受计算机运算能力的限制较大.

(5) 深过冷熔体的定向凝固相场模型还不够完善,导致在高温梯度下的定向凝固过程不能较为真实地展现出来.

(6) 目前定向凝固微观组织相场模型已从定性模型发展为定量模型,但其数据不够完善,产生的误差较大,因此要实现定量模型的准确模拟就需要对相场模型进行进一步的研究和完善.

4.2相场法未来的发展趋势

(1) 目前定向凝固微观组织的相场法模拟对形核过程的影响因素考虑得较为简单,这与实际过程有较大的差异,因此将形核机制更好地耦合到相场模型中是未来研究的方向之一.

(2) 相场法计算量大,对计算机运算依赖性较强,因此在研究发展高效、适用性更广的相场模型外,还应该采用更加先进合理的数值求解方法,如并行计算、多重网络和GPU计算等.

(3) 定向凝固的实际凝固过程极为复杂,因此要使其在实际生产中应用,则需要对偏晶反应、包晶反应、共晶转变、再结晶和固相转变等模拟过程进行深入研究,使数值模拟与生产实际更加紧密地结合.

(4) 液相对流和传热传质的问题在凝固过程中对组织的最终形态和成分的分布有着不容忽视的影响,而推进微观组织模拟的发展有待于这方面问题的解决,因此这也是未来的一个研究趋势.

参考文献：

[1]周振平,李荣德.定向凝固技术的发展[J].中国铸造装备与技术,2003(2):1-3.

[2]宋先跃,唐建新,刘振伟.定向凝固理论与技术的发展[J].热加工工艺,2009,38(15):59-62.

[3]胡爱文,赵维民,张新宇,等.铸件凝固微观组织数值模拟研究的新进展[J].铸造,2003,52(11):1046-1052.

[4]陈志,宋庆军,陈安琪,等.相场法模拟凝固微观组织演化研究进展[J].铸造技术,2011,32(3):384-387.

[5]肖荣振,朱昶胜,安国升,等.Ni-Cu合金定向凝固海藻状生长形态的相场法模拟[J].兰州理工大学学报,2014,40(6):9-13.

[6]朱昌盛,肖荣振,王智平,等.定向凝固微观组织的相场法模拟研究进展[J].铸造,2006,55(1):43-46.

[7]张雪娟.Al-1.96%molCu合金定向凝固数值模拟[D].兰州:兰州理工大学,2007.

[8]KobayashiR.Modelingandnumericalsimulationsofdendriticcrystalgrowth[J].PhysicaD:NonlinearPhenomena,1993,63(3/4):410-423.

[9]KarmaA,RappelWJ.Phase-fieldmethodforcomputationallyefficientmodelingofsolidificationwitharbitraryinterfacekinetics[J].PhysicalReviewE,1996,53(4):R3017-R3020.

[10]KarmaA,RappelWJ.Numericalsimulationofthree-dimensionaldendriticgrowth[J].PhysicalReviewLetters,1996,77(19):4050-4053.

[11]DiepersHJ,BeckermannC,SteinbachI.Simulationofconvectionandripeninginabinaryalloymushusingthephase-fieldmethod[J].ActaMaterialia,1999,47(13):3663-3678.

[12]TönhardtR,AmbergG.Simulationofnaturalconvectioneffectsonsuccinonitrilecrystals[J].PhysicalReviewE,2000,62(1):828-836.

[13]AndersonDM,McfaddenGB,WheelerAA.Aphase-fieldmodelwithconvection:sharp-interfaceasymptotics[J].PhysicaD:NonlinearPhenomena,2001,151(2/4):305-331.

[14]于艳梅,吕衣礼,张振忠,等.相场法凝固组织模拟的研究进展[J].铸造,2000,49(9):507-511.

[15]LanCW,ShihCJ.Efficientphasefieldsimulationofabinarydendriticgrowthinaforcedflow[J].PhysicalReviewE,2004,69(3):287-316.

[16]JeongJH,GoldenfeldN,DantzigJA.Phasefieldmodelforthree-dimensionaldendriticgrowthwithfluidflow[J].PhysicalReviewE,2001,64(4):041602/1-14.

[17]TongX,BeckermannC,KarmaA.Velocityandshapeselectionofdendriticcrystalsinaforcedflow[J].PhysicalReviewE,2000,61(1):R49-R52.

[18]TongX,BeckermannC,KarmaA,et al.Phase-fieldsimulationsofdendriticcrystalgrowthinaforcedflow[J].PhysicalReviewE,2001,63(1):138-158.

[19]BeckermannC,DiepersHJ,SteinbachI,et al.Modelingmeltconvectioninphase-fieldsimulationsofsolidification[J].JournalofComputationalPhysics,1999,154(2):468-496.

[20]AnanthR,GillWN.Dendriticgrowthinmicrogravityandforcedconvection[J].JournalofCrystalGrowth,1997,179(1/2):263-276.

[21]刘静,段萌萌.相场模拟对流影响凝固组织形成的研究进展[J].铸造技术,2012,33(4):459-462.

[22]KobayashiH,OdeM,KimSG,et al.Phase-fieldmodelforsolidificationofternaryalloyscoupledwiththermodynamicdatabase[J].ScriptaMaterialia,2003,48(6):689-694.

[23]WheelerAA,BoettingerWJ,McfaddenGB.Phase-fieldmodelforisothermalphasetransitionsinbinaryalloys[J].PhysicalReviewA,1992,45(10):7424-7439.

[24]KimSG,KimWT,SuzukiT.Phase-fieldmodelforbinaryalloys[J].PhysicalReviewE,1999,60(6):7186-7197.

[25]EgglestonJJ,McfaddenGB,VoorheesPW.Aphase-fieldmodelforhighlyanisotropicinterfacialenergy[J].PhysicaD:NonlinearPhenomena,2001,150(1/2):91-103.

[26]SuzukiT,KimSG,KimWT.Two-dimensionalfacetcrystalgrowthofsiliconfromundercooledmeltofSi-Nialloy[J].MaterialsScienceandEngineering:A,2007,449-451:99-104.

[27]UeharaT,TsujinoT,OhnoN.Elasto-plasticsimulationofstressevolutionduringgraingrowthusingaphasefieldmodel[J].JournalofCrystalGrowth,2007,300(2):530-537.

[28]张国伟,侯华,赵宇辉,等.晶粒生长中高界面能各向异性的相场模拟[J].铸造技术,2008,29(2):239-243.

[29]WangJC,InatomiY.Three-dimensionalphasefieldmodelingofthefacetedcellulargrowth[J].IsijInternational,2010,50(12):1901-1907.

[30]何帅.相场法的准确性与边界曲率的关系研究[D].杭州:浙江大学,2011.

[31]于艳梅,吕衣礼,张振忠,等.相场法凝固组织模拟的研究进展[J].铸造,2000,49(9):507-511.

[32]NestlerB.A3Dparallelsimulatorforcrystalgrowthandsolidificationincomplexalloysystems[J].JournalofCrystalGrowth,2005,275(1/2):e273-e278.

[33]KobayashiR,WarrenJA.Modelingtheformationanddynamicsofpolycrystalsin3D[J].PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications,2005,356(1):127-132.

[34]KimSG,KimDI,KimWT,et al.Computersimulationsoftwo-dimensionalandthree-dimensionalidealgraingrowth[J].PhysicalReviewE,2010,74(6):1047-1053.

[35]李梅娥,杨根仓,周尧和.二元合金高速定向凝固过程的相场法数值模拟[J].物理学报,2005,54(1):454-459.

[36]肖荣振,徐建林,王智平,等.高速定向凝固溶质偏析的相场法数值模拟[J].自然科学进展,2007,17(9):1273-1278.

[37]NomotoS,MinamotoS,NakajimaK.Numericalsimulationforgrainrefinementofaluminumalloybymulti-phase-fieldmodelcoupledwithCALPHAD[J].ISIJInternational,2009,49(7):1019-1023.

[38]MinamotoS,NomotoS,HamayaA,et al.MicrostructuresimulationforsolidificationofMagnesium-Zinc-Yttriumalloybymulti-phase-fieldmethodcoupledwithCALPHADdatabase[J].ISIJInternational,2010,50(12):1914-1919.

[39]XingH,DongXL,ChenCL,et al.Phase-fieldsimulationoftiltedgrowthofdendriticarraysduringdirectionalsolidification[J].InternationalJournalofHeatandMassTransfer,2015,90:911-921.

[40]ChenY,BognoAA,XiaoNM,et al.Quantitativelycomparingphase-fieldmodelingwithdirectrealtimeobservationbysynchrotronX-rayradiographyoftheinitialtransientduringdirectionalsolidificationofanAl-Cualloy[J].ActaMaterialia,2012,60(1):199-207.

Research Progress on Simulating Evolution of Directional Solidification of Microstructures with Phase Field Method

YANG Jian,LI Huan,YI Zhiyong,HU Yanyan

(MaterialScienceandEngineeringSchool,JiangxiUniversityofScienceandTechnology,Ganzhou341000,China)

Abstract：Directional solidification is a new casting forming technology which can well demonstrate the evolution of interface morphology during solidification.Phase-field method is the most dominant research method in numerical simulation of microstructure nowadays.The article mainly expounds the basic principle of numerical simulation with phase field method and research progress on simulation of free dendrite and small dendritic crystal morphology in bivariate or multivariate alloy under the interaction between the solute and anisotropy and the influence of factors like the anisotropy and supercooling with phase-field method by scholars at home and abroad as well as application of coupling solute field and phase diagram calculation methods in other microstructures.In addition,the article points out some shortcomings with phase-field method and its future.

Keywords：phase-field method; direction solidification; microstructures

文章编号：1005-2046(2016)02-0054-06

DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2016.02.009

收稿日期：2015-12-02

作者简介：杨剑(1990—),男,硕士研究生,主要从事有色金属材料加工. E-mail: DNANGEL2016@163.com

中图分类号：TG 244

文献标志码：A