从课本一道习题的探究和演变谈中考复习

广东省佛山市三水区白坭中学 李翠英

下面就是我对北师大版九年级数学（下）习题2.4 第3题的练习题，谈谈课本练习题的演变与探究。

一、原题回放

例1 如图1，AD是∆ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上，点F在AC边上，BC=10cm，AD=8cm，四边形EFGH是面积为15cm2的矩形，求这个矩形的长和宽？

二、原题演变与探究

演变1 内接矩形变为固定内接正方形

例1 如图2，四边形EFGH是∆ABC内接正方形，BC=27cm，AD=21cm，求这个正方形的边长？

探究：利用相似三角形的对应高之比等于相似比是解决例1和例2的关键。

演变2 内接正方形变为动态内接矩形

例2 如图3，已知△A B C中，BC=120，高AD=80，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，M、Q在BC上，AD与PN交于点E，请问矩形PQMN的面积什么时候最大，最大面积是多少？

探究：本题将相似三角形的性质和二次函数有机结合，形的最值

问题转化成数的最值问题，体现了数学建模的思想。

演变3 三角形变等腰三角形（课本习题）

例3 如下图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，设EF=x，SDEFG=y，写出y关于x的函数关系式，并画出相应的函数图象，根据这三种表示方式回答下列问题：

（1）自变量x的取值范围是什么？

（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（3）如何描述y随x 的变化而变化的情况？

（4）若高80，请问矩形PQMN的面积什么时候最大？最大面积是多少？

演变4 矩形变为动态正方形

例4 锐角∆ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M,N分别在AB,AC边上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPGN，设其边长为x，正方形 MPGN与∆ABC公共部分的面积为y(y>0)。

（1）∆ABC中边BC上高AD=______；

（2）当x=___时，PQ恰好落在边BC上（如图3）；

（3）当PQ在∆ABC外部时（如图4），求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

探究 虽然正方形在运动，但其问题的本质仍然是相似三角形的性质与二次函数的有机结合，运动中也有“静止不变”的一面。

演变5 △ABC变为直角三角形

例5 （课本例题）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，

（1）设矩形的一边AB=xcm，那么AD边的长度如何表示？

（2）设矩形的矩形面积为ycm2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

分析：表示出矩形的长与宽，进而可表示出矩形面积，再利用配方法，求出最大值

演变6 矩形一边BC在斜边上

例6 （课本习题）在上一例中，如果把矩形改为如图所示的位置上，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？

三、原题再探究 探究内接平行四边形面积的最大值

例7 如图12，四边形PQRS是平行四边形。探究平行四边形PQRS的面积的最大值。

四、从课本习题的探究谈中考复习

近年来全国各地的中考试题和有关辅导资料中，有一类试题，都是以课本例习题为原型，并在此基础上综合、变化、拓展。事实上，教材中的许多例、习题所蕴含的内容相当丰富，对它们不能简单地以题论题，而应进行适当的变化、引申、挖掘、归纳和探索，这样对提高学生数学解题能力，发展智力都能起到事半功倍的作用，同时对改进学习方法，减轻学生学习负担，提高教学质量，都是大有裨益的。在教学过程中，我们应该从以下几点做。

（一）多角度分析，联想获得多种解题途径，探索多种证题途径

在教学过程中，通过多角度观察、联想获得多种解题途径，能够拓宽学生的思路，使学生感受到数学的奥妙与情趣，从而培养学生的创新意识和能力。通过一题多解，或多题一解等，不仅能拓宽学生的思维领域，增加学生的思维空间，达到增长学生智能的目的。这样教学不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。特别是在中考的综合复习阶段，教学时注意精选一些具有广阔延展性的例题和习题，进行恰当的延伸和拓展，深入研究，以一当十，举一反三，放弃题海战术，我们就能获得最大限度的收获。

（二）“多思考、多总结”是提升学生的数学能力和学生的智能

通过多题的探究，我们可以得到“多思考、多总结”是数学能力和学生素质提高的法宝。通过这种训练，使学生从中了解命题的来龙去脉与变化，探索命题演变的思维方法，它是发展学生发散思维，培养创新能力的有效途径。同时，通过一题多变，可培养学生自行获取知识的能力，真正达到《大纲》提出的教师应着眼于调动学生学习的积极性、主动性，使学生在学习过程中提升自己的思维能力，从而调动他们智能，使学生不仅学到了知识，而且又掌握了解决数学问题的学习方法。从而培养学生的创新思维能力及创新素质。这是创新教育对我们每一位数学教师的要求，也是我们必须完成的一项重要任务。

（三）对命题条件、结论作各种变化进行探究和演变，提高学生的创新能力

在教学中经常引导学生对命题条件、结论作各种变化，对图形位置可能出现的情形作一系列演变，进而从纵向、横向、逆向展开多项探索，定能大面积提高学生的创新能力。在课堂教学中，要尽可能给学生创设对命题条件、结论作各种变化或提供创新的情境，培养学会探究和演变，使学生养成良好的学习习惯，掌握数学的学习方法，懂得怎样的知识去解决实际问题，并能主动的去探究、去深造、去扩展，从而培养学生的创新思维能力及创新素质。