互等定理在细长轴车削超静定问题中的应用

李 昊（南京农业大学 工学院，南京 210031）



互等定理在细长轴车削超静定问题中的应用

李 昊
（南京农业大学 工学院，南京 210031）

摘 要：描述了互等定理解决问题的一般步骤，分析了互等定理的应用原理，并结合实际工程中细长轴车削时的超静定问题，对该方法加以应用。结果表明，互等定理在解决工程中的非常规力学问题时，可以简化解题过程，并得到可行的解。

关键词：互等定理；细长轴；超静定问题

0　引言

随着工业技术的不断发展，对机器和工件的要求越来越高，很多工程问题仅凭经验获得结果已不能满足设计要求。工程中解决力学问题常见的方法是将复杂的工程问题转化为简单的力学问题，运用力学知识建立系统的力学模型并对其进行求解［1～3］。细长轴类零件在工程机械中应用较为广泛，在解决细长轴类零件受力问题时单纯地把它等效为刚体是不可行的，细长轴在加工或工作过程中会发生弹性变形，不仅会导致机器工作精度降低，还会引起较大的振动。文中描述了互等定理解决超静定问题的求解过程，并以细长轴车削加工为例，建立细长轴车削时的超静定力学模型，并运用互等定理对其进行求解。

1　互等定理求解问题的一般过程

假设图1所示的悬臂梁为线弹性结构，其上分别作用力F1和F2。悬臂梁在力的作用下发生弹性变形，沿两力方向的位移分别为δ1和δ2。

则悬臂梁的变性能应为F1和F2所做的功，即：

将F1和F2看做第一组力，在梁上再加一组力F3和F4，则梁在F3和F4作用下分别产生位移δ3和δ4，同时F1和F2在结构上会多产生一段位移，分别为δ1′和δ2′，如图2所示。

此时悬臂梁的变形能不仅增加了F3和F4所做的功，还有F1和F2多做的功，即

其中，δ1′和δ2′是F1和F2在F3和F4作用下沿F1，F2方向的位移。同理，如果先加第二组载荷F3和F4，则二力产生位移分别为δ3和δ4。再添加第一组载荷F1和F2，此时不仅F1和F2会产生位移δ1和δ2，F3和F4也会多产生一段新位移δ3′和δ4′，则悬臂梁的总变形能为

其中，δ3′和δ4′是F3和F4在F1和F2作用下沿F3，F4方向的位移。

由于材料的变性能只与所加载荷的大小与载荷的位移有关，与加力的顺序没有关系［4］，所以Vε1= Vε2。则令（2）式等于（3）式，可得

即第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，此即互等定理［4］。

2　细长轴车削问题的求解

细长轴零件车削时容易产生振动，因此加工时通常会使用尾顶针来夹持。则细长轴的一端由三爪卡盘夹紧，另一端由尾顶针固定，如

将三爪卡盘等效为为固定端，尾顶针等效为铰支座，在切削力F的作用下，建立细长轴的受力模型，如图4所示。

方程数量小于位置约束力数量，因此该力学模型为超静定模型。考虑运用互等定理求解。

由此可得第一组力在第二组力引起的位移下的功为

由于B处为铰支座，所以单位力F′的位移为零，则根据互等定理有

综上可得，运用互等定理解决工程中的超静定问题具有切实可行的意义。该方法简化了非常规力学问题的解答过程。

参考文献：

［1］武文革，庞思勤，常兴.可逆向车削细长轴加工误差的力学分析［J］.北京理工大学学报，2004，24（02）：109-112.

［2］张于贤，王红.关于逆向车削加工细长轴误差的力学分析［J］.机械设计与制造，2005（01）：59-60.

［3］姜广美.车削加工细长轴的方法研究［J］.硅谷，2010（11）：49.

［4］刘鸿文.高等材料力学［M］.高等教育，1985.

项目来源：南京农业大学SRT计划项目资助（1530A23）

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.13.225

作者简介：李昊（1995-），男，本科，现就读于南京农业大学工学院机械工程系。