外摆线型单螺杆泵螺杆-衬套副的运动特性分析

杜秀华　刘双新　田　密　韩道权

东北石油大学，大庆，163318

外摆线型单螺杆泵螺杆-衬套副的运动特性分析

杜秀华刘双新田密韩道权

东北石油大学，大庆，163318

摘要：通过分析外摆线型单螺杆泵螺杆-衬套副的相对运动，发现螺杆-衬套副的固定接触点出现在衬套骨线上，衬套可采用金属材料，螺杆可在金属基体表面黏接橡胶外套；用瞬心法推导出齿凸接触点和齿凹接触点处相对滑动速度的计算公式，并用MATLAB生成速度曲线，用SolidWorks建立螺杆泵实体模型，用SolidWorks Motion进行运动仿真，对比速度仿真值与速度公式曲线可知，拟合度很高，最大偏差率仅为-0.101%；将速度曲线与啮合状态进行对应，发现齿凹接触点处相对滑动速度的最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凹中点相接触处，齿凸接触点处相对滑动速度最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凸中点相接触处。

关键词：外摆线型单螺杆泵；齿凸接触点；齿凹接触点；相对滑动速度

0引言

用于单螺杆泵线型设计的摆线主要有普通摆线、短幅内摆线、短幅外摆线和内外摆线四种[1]，目前采油用螺杆泵广泛应用的线型是内摆线，螺杆由金属材料制成，衬套采用橡胶材料[2]，由于衬套是易损件，在检泵时需要将抽油杆和油管全部取出，工作量大，耗时长，成本高。外摆线线型也可用于螺杆泵的设计，但对外摆线型螺杆泵的研究却甚少。

采油螺杆泵是通过一对螺杆-衬套副的啮合来实现液体举升的，接触点处相对滑动速度的大小对螺杆泵的磨损和寿命有着直接的影响。文献[3-4]利用运动仿真软件对内摆线型单螺杆泵运动进行仿真，采用取点拟合的方式得到型线上齿凸接触点和齿凹接触点处的相对滑动速度曲线；文献[5-6]则利用数学分析的方法，给出了内摆线型螺杆-衬套副间最大相对滑动速度的计算方法。本文在以上文献基础上对外摆线型螺杆-衬套副进行运动分析，推导其型线上两类接触点处相对滑动速度的计算公式，该公式一方面可作为外摆线型单螺杆泵结构参数优化时速度约束的数学模型，另一方面可结合MATLAB软件生成速度曲线，进一步探讨型线上两类接触点的运动规律，为外摆线型螺杆泵的磨损和寿命分析提供理论依据。

1螺杆-衬套副模型的建立

短幅外摆线型单螺杆泵由螺杆和衬套两部分组成，螺杆骨线方程为[7]

R(θ)=(nejθ-Kejnθ)R2

(1)

式中，n=N+1，N为螺杆头数；K为幅长系数，0

将螺杆骨线向内侧等距形成螺杆型线，其方程为

Rr(θ)=R(θ)+r(0)R2ejα

(2)

式中，r(0)为等距半径系数；α为螺杆骨线向内等距方向角。

衬套截面的骨线方程为[7]

(3)

式中，T为计算衬套骨线方程时产生的三角函数周期，T=0,1,…,N，其中，0对应衬套骨线的第一个头，1对应第二个头，以此类推。

衬套型线方程比较复杂，由两部分组成，如图1所示(N=2)，第Ⅰ部分为衬套骨线的等距线，第Ⅱ部分为以尖点为圆心，以等距半径为半径的圆弧。且

(4)

(5)

图1　衬套骨线及其等距线

将式(3)转化到直角坐标系中，有

(6)

φ=-(N-1)θ+2β+2πT

式中，φ为滚圆滚角。

根据上述型线方程(式(2)和式(4))取头数N为2，幅长系数K为0.7，衬套线型外廓直径DK为89 mm，滚圆半径R2为12.36 mm，等距半径系数r(0)为0.8，在SolidWorks软件中建立外摆线型单螺杆泵实体模型，如图2所示。

图2　外摆线型单螺杆泵实体模型

2螺杆-衬套副的运动分析

建立与衬套骨线相连的静坐标系x1-O1-y1和与螺杆骨线相连的动坐标系x2-O2-y2(x1、x2为实轴，y1、y2为虚轴)，如图3所示，螺杆在衬套中做行星运动[8]，实际上是两个运动的叠加，一是螺杆绕自身形心O2做自转运动，设定方向为顺时针，另一个是螺杆形心O2绕衬套形心O1做公转运动，方向则为逆时针，公转角为

(7)

自转角为

(8)

图3　螺杆-衬套副骨线啮合运动

上述运动可以等同于如下运动：即半径为NKR2的动瞬心圆携带螺杆骨线沿半径为nKR2的定瞬心圆做纯滚动，P点为速度瞬心。

螺杆骨线在衬套骨线中做行星运动时会形成两类接触点，如图3所示，螺杆骨线始终通过衬套骨线的尖点，如Q点，称之为固定接触点，另一类接触点沿着衬套骨线边界流动，如E点，称之为流动接触点。

通过分析外摆线型单螺杆泵螺杆-衬套副的运动，发现其固定接触点出现在衬套骨线上，与固定接触点在螺杆骨线上的内摆线型单螺杆泵相反。因此，外摆线型单螺杆泵的衬套可采用金属材料，通过铣削完成，螺杆表面采用橡胶材料，利用模具在金属螺杆表面浇注一层橡胶，使螺杆成为易损件。在检泵时只需将抽油杆和螺杆取出，从而避免了取出油管的麻烦，这样会大大减轻劳动强度，缩短拆装时间，降低检泵成本，提高经济效益。

3齿凸接触点处相对滑动速度

螺杆、衬套骨线分别向内侧等距形成螺杆、衬套型线，其中固定接触点(如Q点)向内等距形成一段圆弧，在该段圆弧上形成的接触点称之为齿凸接触点(如M点)，如图4所示。设螺杆自转角速度为ω2，方向为顺时针，自转角为φ2；公转角速度为ω1，方向为逆时针，公转角为φ1。则齿凸接触点处的相对滑动速度矢量：

vt=lPMω2

(9)

图4　螺杆-衬套副型线啮合运动

在静坐标系x1-O1-y1中，由向量的运算法则可知

lPM=lO1Q+lQM-lO1P

(10)

Q点为衬套骨线上的固定接触点，lO1Q在静坐标系x1-O1-y1中的表达式为[7]

(11)

由于螺杆和衬套为循环对称结构，每个头上接触点的运动规律是相同的，只是有一个相位差的区别，故本文只考虑衬套骨线上的第一个固定接触点(Q点)，即T=0。

lQM为固定接触点向内等距长度，螺杆型线在衬套型线中做啮合运动时有自转运动，需给lQM添加一个自转角φ2，得

lQM=r(0)R2ejαe-jφ2

(12)

速度瞬心P在静坐标系x1-O1-y1中的位置:

lO1P=nKR2ejφ1

(13)

根据式(11)～式(13)，可将式(10)转化为

(14)

将式(14)代入式(9)并化简得

(15)

φ2=ω2t

4齿凹接触点处相对滑动速度

衬套骨线上流动接触点(如E点)向内等距对应到型线上(S点)始终位于衬套齿凹处，因此称之为齿凹接触点，如图4所示，齿凹接触点处的相对滑动速度矢量

va=lPSω2

(16)

在静坐标系x1-O1-y1中，由向量的运算法则可知

lPS=lO1E+lES-lO1P

(17)

衬套骨线上流动接触点(E点)在静坐标系x1-O1-y1中的轨迹方程为式(3)，故

(18)

lES为流动接触点向内等距长度，其表达式为

lES=r(0)R2ejαe-jφ2

(19)

根据式(13)、式(18)、式(19)可将式(17)转化为

(20)

将式(20)代入式(16)并化简得

r(0)ejαe-jω2t-nKejNω2t}R2ω2

(21)

综上，式(15)和式(21)分别为外摆线型单螺杆泵齿凸接触点和齿凹接触点处相对滑动速度的计算公式。

5速度公式的验证与应用

用SolidWorksMotion对图2所示的实体模型进行运动仿真，螺杆自转转速取2r/min，公转转速取4r/min，根据φ函数找到指定时刻齿凸接触点、齿凹接触点在螺杆型线上的位置，然后选定该点并输出该点速度随时间变化的Excel表格，分别从表格中找到两类接触点在对应时间的仿真速度值。由于本文所建立的外摆线型单螺杆泵实体模型没有简化近似的部分，仿真时给螺杆所赋予的运动为螺杆的真实运动，其误差主要来源于MATLAB计算时选取的步长大小，步长越小，精度越高，因此速度仿真值可认为是理论正确值。将本文推导出的齿凸接触点处的相对滑动速度公式(式(15))和齿凹接触点处的相对滑动速度公式(式(21))写入MATLAB软件进行计算，并分别输出齿凸接触点在螺杆型线上流动一周和齿凹接触点在衬套上流动一周过程中两类接触点处的相对滑动速度(并非流动速度，而是相对滑动速度)变化曲线，与仿真值进行对比，如图5和图6所示，将图6中第一个周期的图像进行放大，如图7所示。

图5　齿凸接触点处相对滑动速度

图6　齿凹接触点处相对滑动速度

图7　齿凹接触点处相对滑动速度放大图

由图5、图6可以看出，齿凸接触点与齿凹接触点处相对滑动速度的仿真值与公式计算值拟合度很高，最大偏差率为-0.101%。齿凸接触点在螺杆上流过一周需要30s，齿凹接触点在螺杆上流过一周只需10s(在衬套上流过一周需要15s)，齿凹接触点不停“追赶”和“超越”它前方的齿凸接触点，从而使它前后方的腔室分别出现“减小”-“消失”和“产生”-“增大”的循环，这便是螺杆泵推移介质的机理。

由图6可以看出，当t=0时，不存在齿凹接触点。在图7中作垂直于横轴t轴的直线，该直线与速度图像交点的个数随时间的推移不断变化，即在衬套一头内齿凹接触点的个数随时间不断变化，这与内摆线型单螺杆泵一头内始终只有一个齿凹接触点不同[9]。

(a)t=0 s　　　　(b)t=2.5 s(c)t=7.5 s图8　螺杆与衬套不同时刻啮合状态

分别截取SolidWorksMotion中t=0，2.5，7.5s时螺杆与衬套的啮合状态图(图8)。当t=2.5s时，齿凹接触点处相对滑动速度达到最大值，如图6所示，为3.883mm/s，最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凹中点相接触处，啮合状态如图8b所示；当t=7.5s时，齿凸接触点处相对滑动速度达到最大值，如图5所示，为11.133mm/s，最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凸中点相接触处，啮合状态如图8c所示。

6结论

(1)短幅外摆线型单螺杆泵固定接触点在衬套骨线上，因此衬套可采用金属材料，螺杆表面采用橡胶材料，使螺杆成为易损件，这样在检泵时只需将抽油杆和螺杆取出，避免了取出油管的麻烦，这样会大大减轻劳动强度，缩短拆装时间，降低检泵成本，提高经济效益。

(2)采用瞬心法推导出短幅外摆线型单螺杆泵齿凸、齿凹接触点处的相对滑动速度公式，并验证了其正确性，为外摆线型单螺杆泵结构参数优化提供了速度约束的数学模型，为磨损和寿命分析提供了理论依据。

(3)短幅外摆线型单螺杆泵齿凹接触点的数目随时间的推移不断变化,其变化状态主要受螺杆头数和幅长系数的影响。

(4)齿凹接触点处相对滑动速度的最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凹中点相接触处，齿凸接触点处相对滑动速度最大值发生在螺杆齿凸中点与衬套齿凸中点相接触处。

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(编辑王艳丽)

Motion Characteristic Analysis of Screw-bushing Pair for Epicycloid Type Progressive Cavity Pumps

Du XiuhuaLiu ShuangxinTian MiHan Daoquan

Northeast Petroleum University,Daqing,Heilongjiang,163318

Abstract：A fixed contact point was found on the bushing bone line by analyzing the relative movement of epicycloid type progressive cavity pump screw-bushing pair, so the bushing might be made of metal and the metal screw surface might be made of rubber. The calculation formula of relative sliding velocity on convex tooth and concave tooth was derived by using the method of instantaneous center, then using MATLAB the velocity curve was built and using SolidWorks the solid model of PCP was set-up. Using SolidWorks Motion the simulation was carried on and then comparing the simulation values and calculation curves, they were in good fitting. The maximum deviation rate is only minus 0.101%. The maximum relative sliding velocity value of concave tooth is found in the middle of screw convex tooth contacting with the middle of bushing concave tooth, the maximum value of convex tooth is found in the middle of screw convex tooth contacting with the middle of bushing convex tooth.

Key words:epicycloid type progressive cavity pump(PCP); convex tooth contact point; concave tooth contact point; relative sliding velocity

收稿日期：2015-08-03

基金项目：国家科技支撑计划资助项目(2012BAH28F03)；黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541098)

中图分类号：TK72

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.006

作者简介：杜秀华，女，1964年生。东北石油大学机械科学与工程学院教授、博士。主要研究方向为采油机械的性能及失效分析。发表论文20余篇。刘双新，男，1990年生。东北石油大学机械科学与工程学院硕士研究生。田密，女，1982年生。东北石油大学机械科学与工程学院讲师、博士研究生。韩道权，男，1966年生。东北石油大学机械科学与工程学院副教授。