两类图在球面和环面上的嵌入

摘 要 图在不同亏格曲面上的嵌入往往有相关关系， 因此， 分析一些图类在小亏格曲面上的嵌入是一项有意义的工作. 本文利用刘彦佩教授提出的嵌入的联树模型研究了两类图在球面和环面上的嵌入特征，分别得到了它们的嵌入个数.

关键词 曲面； 亏格； 嵌入； 联树

中图分类号 O157.5 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2016）03-0075-05

Abstract Embedding numbers of graphs on distinct genus surfaces are always related. Therefore， analyzing embedding numbers of graphs on lower genus surfaces is important to determine their genus distributions and total genus distributions. Based on the model of joint tree introduced by Liu， this paper calculates the embedding number of two type graphs on sphere and torus.

Key words surface； genus； embedding； joint tree

本文中关于曲面、嵌入和亏格等概念均与文献[1]一致. 图的曲面嵌入是拓扑图论的一个重要分支， 特别地， 研究图在不同亏格曲面上的嵌入个数即图的亏格分布和完全亏格分布问题是其中重要研究方向之一. 上世纪九十年代起， 国内外很多学者做出了一些有价值的研究[2-7]， 但是还远远未解决这个问题， 对于大部分图类， 还不能得出其亏格分布和完全亏格分布， 此问题被证明为NP难问题. 于是， 有学者转而研究一些图在特定曲面上的嵌入， 譬如研究图在球面、射影平面、环面及Klein平面等小亏格曲面上的嵌入. 近年来， 利用刘彦佩教授提出的联树模型和曲面运算理论[8]， 国内一些学者在这方面做出了一些有意义的结论[9-11].本文作者亦在联树模型的基础上， 研究了两类项链图在射影平面上的嵌入[12]， 本文拟在此基础上， 进一步研究两类图在球面和环面上的嵌入.

1 曲面运算理论和联树模型

为了表述方便， 本文对曲面运算理论和联树模型进行简要介绍[8].

曲面运算理论：任何一个曲面都可以看作是由一个正多边形“粘合”而成， 所以曲面可以用多边形来表示， 具体的表示理论参考文献[8]. 下面仅列出本文叙述中要用到的三种运算和三种关系.

参考文献：

[1] GROSS J L， TUCKER T W. Topological graph theory[M]. New York： Dover Publicaions， Inc， 1987.

[2] GROSS J L， FURST M L. Hierarchy of imbedding distribution invariants of graph[J]. J Graph Theory， 1987，11：205-220.

[3] GURST M L， GROSS J L， STATEMAN R. Genus distributions for two classes of graphs[J]. J Combin Theory Ser B， 1989，46：22-36.

[4] GROSS J L， ROBBINS D P， TUCKER T W. Genus distributions for bouquets of circles[J]. J Combin Theory Ser B， 1989，47：292-306.

[5] KWAK J H， LEE J. Genus polynomials of dippoles of circles[J]. Discrete Math， 1993，33：115-125.

[6] CHEN J， GROSS J L， RIEPER R G. Overlap matrics and total imbedding distrbution[J]. Discrete Math， 1994，128：73-94.

[7] CHEN Y C， LIU Y P. The total embedding distributions of cacti and necklaces[J]. Acta Math Sinica （Eng Ser）， 2006，22（5）：1583-1590.

[8] 刘彦佩. 地图的代数原理[M]. 北京：高等教育出版社， 2006.

[9] 杨 艳， 刘彦佩. 两类四正则图的完全亏格分布[J]. 数学学报， 2007，50（5）：1190-1200.

[10] 赵喜梅， 刘彦佩. 类圈图的亏格分布[J]. 数学物理学报， 2008，28（4）：757-767.

[11] 魏 白， 黄元秋， 郭 婷， 等. 一类图在小亏格曲面上的嵌入[J]. 湖南师范大学自然科学学报， 2012，35（5）：24-29.

[12] 刘新求， 黄元秋. 两类项链图在射影平面上的嵌入[J]. 数学物理学报， 2011，31（3）：601-610.

（编辑 HWJ）