从单一网络向《网络的网络》的转变进程——略论多层次超网络模型的探索与挑战

方锦清

(中国原子能科学研究院核技术应用所 北京 102413)



从单一网络向《网络的网络》的转变进程
——略论多层次超网络模型的探索与挑战

方锦清

(中国原子能科学研究院核技术应用所 北京 102413)

摘要：简要回顾单一网络的理论框架的总体概貌；概述当前令人关注的“网络的网络”或超网络的诸多特点、相关定义和概念，简介若干多层次超网络的理论模型研究概况，最后对于复杂网络面临的十大挑战性课题给予说明。

关键词：单一网络；网络的网络；多层次超网络；十大挑战性课题

复杂网络无处不在、无时不在。在世纪之交(1998—1999)以小世界网络和无标度网络两大发现为标志，诞生了一门广泛交叉的新兴科学：网络科学[1-11]。正如无标度网络的发现者艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西(A-L.Barabasi)在2012年指出[3]： “作为一个范例，还原论已经过时了；作为一个领域，复杂性研究也疲惫不堪了；现在网络科学来取而代之了。基于数据的复杂系统的数学模型正在提供一个全新的视角，迅速发展成为了一门崭新的交叉学科：网络科学。” 18年来，国内外不断掀起了网络科学的研究热潮。一方面，它成为探索人类面临的挑战性问题的科学方法和思想武器，对推动和促进社会进步具有现实和长远的意义。另一方面，迄今它发展起来的网络理论框架主要是基于单个网络结构，这是一种简化的网络科学理论框架，而现实世界总是存在着大量相互关联和彼此依存的错综复杂的网络，值得关注的是，现实广泛存在的“网络的网络”(“Networks of Networks”，NON)或称超网络(Supernetwork)正在成为网络科学最新的前沿课题，最富有挑战性。由于NON课题的复杂性、多样性和艰巨性，正在逐步从单个网络向“网络的网络”的研究推进中，主要在NON的拓扑结构特性和动力学同步功能两大方面展开理论工作，取得了一定的进展。本文将简要回顾单一网络的理论框架概貌；

概述NON或超网络的诸多特点、相关定义和概念，简介若干多层次超网络的理论模型研究概况，以及网络科学面临的十大挑战性课题。

1单一网络的简要回顾

美国网络科学家巴拉巴西是一位致力于网络科学的国际领军人物。正是他首次在1999年揭开了单一复杂网络的内幕之一——无标度网络的奥秘。迄今，他出版的代表作有二本网络科学科普著作[4-5]：《链接：网络新科学》和《爆发》。前书功在标志世纪之交国际上诞生了一门广泛交叉的网络科学，展示了网络科学发展观方法理论的广泛应用，它覆盖了自然界和人类社会广阔的空间;后书深刻揭示了复杂网络无时不在，如何覆盖浩瀚的时间长河，发现了社会网络等不同层次的人类行为特点和某些可预测性，例如人类的行为特性93%是可以预测的。这样，上述两本著作把复杂网络的时间与空间不可分割地联系在一起，形成了比较完整的传统意义上的网络科学的理论框架。2006年他与Newman、Wattsh出版合著：《网络的结构与动力学》。他探索网络问题始于1994年博士后研究，经过20年的顽强拼搏，根据报道，2015年他正式单独出版了第一本个人专著：《网络科学》，国内迄今还没有看到此书。根据报道介绍，该书系统而全面地总结了他的团队从事网络科学研究20年的丰硕成果，可以说，这是迄今国际上基于单一网络的理论框架的一本标志性著作。

无标度网络的发现、无标度特性的生成机制的揭示和发展过程具体反映了网络科学的诞生和发展所经历的曲折道路。巴拉巴西在第一本个人专著《网络科学》中自述了许多真实的故事，他及其团队所经历的许多失败和挫折正是网络科学发展进程中最好的代表和见证，他的顽强坚持的精神值得我们学习。在专著引言介绍里，他真实透露了所经历的5次失败教训：不仅有3篇论文(1995，1996，1998))曾经失败、受挫、被拒或被推迟发表，例如探索映射网络遭到失败(1996)；其实1999年给美国 “科学”杂志投稿时开始也一度被拒，但是他顽强地与编辑据理力争，BA无标度模型的论文才得以发表，这个新发现在国际上产生了广泛而深刻的影响。但是由于论文对于无标度特性缺乏严格的数学证明曾一度被质疑，导致他科研经费难以申请(例如美国国家基金和美国国防部项目的申请失败)。所有这些挫折和失败都没有动摇他的斗志。反而给他在科学史留下和增添了可歌可泣的难忘故事和难得的启迪。

巴拉巴西为首的科研团队对于网络科学的诞生无疑作出了突出贡献，不仅首先发现了许多复杂网络的无标度特性及其产生的物理机制，把这个普遍特性应用于研究各种实际网络。更难得的是，不断引领和推动新课题的创新，例如，他们把物理学中玻色-爱因斯坦凝聚现象与复杂网络巧妙地联系起来，把复杂网络自然推到物理学的怀抱，成为网络科学的两大理论基石之—；并提出和建立了复杂网络的控制理论方法。他说得好：正是“这些物理学家、数学家、电脑科学家、社会学家以及生物学家等人共同努力，深入详细地研究了无标度网络模型及其扩展模式后，获得了大量实证结果，从而建立了一套内容丰富、完整的网络增长和进化理论体系。”，因此，这个十多年来发展的关于单一网络科学的理论不妨称为网络科学传统的理论体系，多学科科学家的贡献功不可没。这个传统理论体系提出了各种理论模型，并揭示复杂网络内部链接、链接重排、删除节点和链接、节点老龄化、非线性效应等许多因素的影响，揭开了网络拓扑结构和动力学特性(功能)的各种过程及其规律，共同构成传统的复杂网络演化的理论框架。实际上，产生无标度特性的物理机制具有多样性，BA无标度模型只不过是一个特例。总之，迄今复杂网络中，无标度拓扑结构不是例外，而是普遍的常态，这就解释了为什么大多数真实网络都是无标度网络。演化网络理论把网络看作随时间连续不断变化的动态系统，以无标度模型为代表的大量研究结果深刻地揭开了蕴含在各种增长网络的生成机制。这些发现和创新为传统的网络科学体系的建立作出了重要的贡献，巴拉巴西成为建立基于网络共性的前期科学理论的先行者和领军人物，他的科研团队功不可没。无疑，巴拉巴西具有高瞻远瞩的眼光，充满对于网络的真知灼见，它使人们认识了许多现代社会和自然界里绚丽多彩的网络世界。令人惊奇的是，借助现代计算机技术，正不断揭开社会关系网络、高科技企业网络、新陈代谢网络和细胞网络等诸多网络具有相似性和共性，并超出了它们之间的差异性。这些发现提供了崭新而重要的网络科学发展观，应用来考察和审视周围自然界和人类社会的丰富多彩相互连接关系及其变化规律。中国网络科学领域也取得了与国际上同步的发展。

迄今，网络科学已经渗透到各个角落和不同领域，它成为一种有力的科学思想武器，开阔了人们的视野，开辟了新天地，继续产生越来越广泛而深刻的影响。

2“网络的网络”的概况、基本特点和定义

2.1概况

实际上广泛存在“网络的网络(NON)”，或称“超网络”，或称“体系的体系”，目前叫法术语不尽相同，但是有着共同的特点和内含，这些网络之间相互嵌套在一起，你中有我，我中有你。如大脑网络就是一个非常典型的NON， 它有3个层次：微观尺度(神经元)、中尺度(神经集群)和大尺度(大范围脑区域)，实际研究时只能简化处理这个典型复杂大脑NON；国民基础设施超网络由许多子网络组成，包括电力网，海陆空交通网，信息传输网和社会关系网等错综交叉在一起；中国高科技超网存在4个层次：中关村科技园(Z-Park)网络、中国高科技园区与高校科学园区联合网络(CHTPN)、中国高技术产业网络(CHTEN)和世界高科技网络，各个层次之间相互交叉和影响,实质上它是多层次的超网络；国防领域的战争超网络包含通信网络、指挥控制网、预警探测网、空间卫星网等4大信息网。“物联网”是以互联网为基本构架由交通网、电力网、物流网等多种性质不同的存在错综复杂的关联的网络组成。如此的超网络，无处不在，从层次/联系方式看超网络有：大脑网络，战争网络，高科技网络，社会网络，计算机网络，蛋白质网络，新陈代谢网，生物-社会传播网。从网络结构看超网络有：互联网，供应链与社会超网络，电子商务中的供应链超网络模型，回收超网络模型，闭环供应链超网络模型，物联网。

由于各种类型超网络的研究难度极大，迄今国内外尚非常缺乏对于NON或超网络的普遍有效的理论方法和突破性的进展。随着网络科学研究的不断积累和深入发展，深入揭开NON之奥秘的时机正在到来。

2.2NON的诸多特点

“网络的网络”(NON)或超网络，实际上都是典型的复杂开放系统，网络之间相互嵌套、相互依存、彼此关联、相互影响。NON至少具有下列“诸多”特点之一：多层性、多维性、多属性、多重性、多目标、多参数、多准则、多选择。更具体说，有如下特点：

图1　互联网显示的“网络的网络”交叉和嵌套关系

1)整个网络系统是2个或更多个的子网络组成，存在交集, 具有多种层次结构形式，或可以从多层次相互交叉角度进行探讨；如交通运输网络有海陆空不同层次，也有物理层、业务层和管理层之分；通信网络协议是多层的，层内和层间都有连接；也就是说，网络嵌套着网络，或网络中包含着网络，包括可由不同社区网络所组成的复杂网络；网络节点本身可以是一个网络结构，其节点具有不同质性、连边具有不同属性、网络是相互嵌套和集成，存在多个网络的交集。如图1所示，互联网就是典型的NON系统，它以电网为支撑，而电网又通过电信网得到指令。电网、电信、银行全部登陆互联网，并在网上互通信息，多种网络相互交叉、相互依存和相互影响。可以说，各种网络的网络、形形色色的多层网络无处不在。

2)一般说，整个网络系统是开放的复杂系统，网络内外之间可能存在物质、能量与信息等多种相互交换，属于非平衡态统计系综，虽然目前传统网络科学多限于平衡态网络系统的研究，但是实际上处理NON问题迫切需要发展和应用非平衡态统计理论与方法。

3)相互依存的子网络之间和节点之间连边都可能存在复杂的相互作用方式，特别是非线性作用，存在多重网络之间的错综复杂的交互作用和相互影响，使得具有多样性和复杂性。

4)总体上，复杂网络具有拓扑结构、功能和动力学的时空演化特性，与传统的单一网络比较，网络更可能涌现丰富多彩的自组织行为特性。

5)NON可能表现具有多层次的金字塔结构形式：如，生命复杂性金字塔:金字塔最底部是第1层次，代表生命系统的细胞功能的传统组织网络：基因、转录组、蛋白质和新陈代谢这些网络，在规则性和结构层次两方面都存在各种层面的非凡集成；从底层向上的第2层次里这些组分形成调控基因识别和新陈代谢网络,接着向上第3层次依次是功能模块的建筑社区，第4层次是那些社区被嵌套而产生一个无标度的大标度组织的网络结构,研究发现：从细胞功能网络的拓扑性质与自然界和社会的网络有着惊人的相似性,能够完成从信息存储、处理到执行的全工程。因此，生命系统复杂性金字塔深刻地揭示了：人类身体内从细胞功能网络到万维网(WWW)都存在着一个普遍的自组织原则，那就是说，从分子层次的微观网络到大自然与人类社会的宏观网络世界，它们的组织原则都具有相似性，节点度分布是幂函数P=aK-b形式，b为幂指数,称为无标度特性。上下层次都有内在关联和影响。金字塔从下向上是简单性和普适性增加了，而从上向下复杂性和多样性增强了。

6)整个网络具有多维性、多属性、多目标控制和其他特殊性

要求等。例如,网络流量可以是多维的，费用(代价)是流量的函数；对于物流网络、能量网络、供应链网络等存在多种流量；可以用多参数来刻画。

2.3“网络的网络”——基于多层网络的数学定义

S.Boccaletti，G.Bianconi和R.Criado等12人在国际著名的《物理报告》中发表“多层网络的结构与动力学”综述[12]，从多层网络角度[13]，结合 “网络的网络(NON)” 的主要特点，他们首次给出数学上的正式基本数学定义：

一组多层网络是一对M=(g,C)图，其中g={Gα;α∈{1，…，M}}是一族(有向或无向，有权或无权)图Gα=(Xα，Eα)(称为M层)，和C={Eαβ⊆Xα×Xβ；α，β∈{1，…，M}，α≠β}是不同层Gα和Gβ网络的节点之间相互链接的集合。

M的投影网络是proj(M)=(XM,EM)，这里

这个数学定义很适合描述社会系统以及其他复杂网络系统中的多层次网络及其许多现象。例如，应用这个定义，可以同时考虑在不同社群之间的相互链接、不同层之间的关联性质以及每个层次的特殊性与整体网络的关系。

对于一个多层网络，其中X1=X2=…=XM=X，对于α,β∈{1，…M}，α≠β，Eαβ={(x，x)；x∈X}。即换句话说，多层网络是由不同类型的链接它们所对应的固定节点的集合组成的。多层网络的范例就是社会系统，因为这些系统能够看成是复杂社会网络的叠加，其节点表示代表个人和链接抓住了不同的社会关系。

多层网络M能够与为它提供有价值信息的几个单一网络相关。一个特殊的例子是投影网络proj(M)=(XM,EM)，它的邻阶矩阵元为

A=A1IN…ININA2…IN︙︙⋱︙ININ…AMæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷∈RNM×NM

这里IN是N-维单位矩阵。

3多层网络的数学定义的几种推广

上述定义基本上统一了迄今文献上的不同提法，因此，它可以推广研究相关NON的不同类型。

3.1多层网络

如前所述，一个多层网络M，具有M层，是层{Gα；α∈{1，…，M}}的集合，这里每层是一个图(有向或无向图，加权或无权图)，Gα=(Xα，Eα)，Xα={x1,…,xN}。所有层都有相同的节点，这可以被认为是对于每个1≤α≠β≤M，取Eαβ={x，x}；x∈X的一个多层网络。

对于多层次网络。可以形式定义如下：令G=(X，E)是一个网络，多水平网络是一个三重图M=(X，E，&)，这里&={S1，…，Sp}是一个超图Sj=(Xj，Ej)的族，G的j=1,…p，使得：

G网络是M网络的投影网络。每个子图Sj∈&i称为M的一份。很显然每个多水平网络M=(X，E，&)能够理解为具有层次(S1，…，Sp)和交叉层Eαβ={X，X}的多层网络，对于每个1≤α≠β≤p，X∈Xα∩Xβ。直截了当检查：每个分层网络是一个多水平网络，对于所有1≤α，β≤p仅仅如果Xα=Xβ，那么多水平网络M=(X，E，&)就是一个多分层网络。

3.2时效网络

一个时效网络能够表示为{G1,…,GT}层集合的一个多层网络，这里Gt=G(t)，Eαβ=Ø ifβ≠α+1,而

Eα，α+1={(x，x)；x∈Xα∩Xα+1}

如图2所示，注意：这里存在一个整数而不是连续参数。

3.3相互作用或相互链接的网络

如果考虑一族网络相互作用的网络{G1,…,GL}，它们可以模型化为{G1,…,GL}多层网络，以及那些交叉层Eαβ相应于Gα和Gβ，图3为一个相互作用的网络直接转换成一个多层网络的示意图，在左边上每个网络对应于右边上一个不同的层。

图2　时效网络转换成多层次网络示意图

图3　一个相互作用的网络直接转换成一个多层网络的示意图

3.4多维网络

形式上，标有一个边的多图(多维网络)是一个三重图G=(V，E，D)，这里V为节点的集合，D为标号集表示维数，E为标记边的集合，即它是一个三重集合E={(u，v，d)；u，v∈V，d∈D}。假设一对节点u，v∈V，可能存在唯一一个边(u，v，d)。而且如果所考虑的模型是有向图，边(u,v,d)和(v,u,d)是不同的。这样，给定|D|=m,G中的每对节点都能够被大多数m条边所链接。如果需要，可以考虑加权，则这样的边不再是三重的。但是变成4级(u,v,d,ω)，这里ω表示节点u,v∈V和标号d∈D之间的关系权的实数。一个多维网络可以通过把每个标号映射为一个层，从而模型化为一个多重网络，因此，也就是一个多层网络。特别是，G能够与层为{G1，…，G|D|}的多层网络相关起来。这里对于每个α∈D，Gα=(Xα，Eα)，Xα=V，有

Eα={(u,v)∈V×V；(u,v,d)∈Eandd=α}

而对于每个1≤α≠β≤|D|，则有Eαβ={(X，X)；X∈V}

3.5相互依存(或分层)网络

一个相互依存(或即多层次)网络是一个不同网络的集合，它们的节点是相互依存的。实际上，节点从网络的一个层依赖于一个不同层的控制节点。在这种类型的表示中依赖性是链接不同层的附加的边。在网络层之间，这种结构基础成为中尺度结构。类似于过去多维网络的情形，可以通过识别具有一层的每个网络，能够把一个相互依存(或层状)网络考虑为一个多层网络。

相互依存的网络的网络也已取得一定进展，例如：具有固定的超网络和只允许复制的节点依赖连接的NON；具有给定的超网络层次的NON；具有固定的超网络和节点标记按随机排列的NON，等。

4超网络转换成多层次网络及其典型模型实例

迄今超网络或超图虽然有一些不同定义，根据上述方法，都可以把超图转换成多层次网络，这节以3个典型超网络模型为例说明。

4.1超图转换为超网络的依据

图4　一个超图转换成一个多层网络的示意图

考虑一个超图是一对H=(X，H)，这里X是节点的非空集，以及H={H1，…，HP}是X的非空子集，它们中的每一个称为H的一个超链接。现在，如果G=(X，E)是一个图，则一个超结构S=(X，E，H)由顶点集X，边集E、超边集H形成的一个三重图。如果H=(X，H)是超网络或超图，则可以模型化为一个多层网络，使得对于每个超链接h=(x1,…,xk)∈H，我们定义一层Gh，它是节点x1，…，xk的一个完全图，以及交叉层是Eαβ={(x,x);x∈Xα∩Xβ}，图4为一个超图转换成一个多层网络的示意图，在左边上的节点集定义了3个超链接(H1,H2,H3)，其中被映射到它的节点的一个完全图组成的每一层。

本文以国内提出的3个有代表性的超网络模型转换成多层次网络为实例，作为上述方法的说明。

图5　超网络模型-1(m0=3)演化过程示意图

图6　把图5转换成多层次网络的示意图。

4.2超网络模型-1转换为多层网络

王建伟等[14]首先构建了一条边一个老节点的超网络模型， 这个超网络模型-1(m0=3)演化过程示意图如图5所示。

选取链接节点i的概率满足：

上述模型我们把它转换成一个多层超网络，请看图6。

4.3超网络模型-2转换为多层网络

胡枫等[15]接着构建了一条边二个老节点的超网络模型，这个超网络模型-2(m0=3)演化过程示意图如图7所示。他们同样得到超网络的超度服从幂率分布。

同样，可以把模型-2转换成图8所示的多层次超网络结构。

4.4超网络模型-3转换为多层网络

郭进利等[16]人把上述两模型统一起来。

图9给出超网络模型-3演化过程示意图。(m0=4，m1=3,m=m2=2)和我们应用上述方法把模型-3转换成多层次超网络结构，如图10为相应于图9的多层次网络结构。

他们利用Poisson过程理论证明了可以得到“富者愈富”现象。得到了超度分布为幂率分布。

超网络演化模型-3的稳态平均超度分布为

图7　超网络模型-2(m0=3)演化过程示意图

图8　模型-2转换成多层次超网络结构

图9　超网络模型-3演化过程示意图

当λ=1，m=m2=1时，模型-3退化为模型-1的结果。当然λ=1，m=m1=1时，模型-3退化为模型-2的结果。当λ=1，m1=m2=1时，模型-3退化为BA模型的结果，即

从上可见：基于超图的超网络模型3把前面两个超网络模型1和2比较好地统一起来，能够描述基于超图的超网络演化特性，当新增加节点批量充分大时网络趋于均匀化。虽然它不是BA模型的简单推广，但是它却把BA模型作为特例包括在内。

需要指出：NON或超网络的主要进展除了提出超网络增长模型及其获得拓扑特性外，多层超网络的统计系综的研究也有所进展，包括涉及有固定的超网络和只允许复制节点之间连接的情形、具有给定超度分布的情形、具有固定的超网络和节点标记按随机排列的情形、具有多个互联的超网络-NON等。另外，多层耦合网络上传播动力学的研究近年来取得了可喜进展，诸如，发现相对于单一网络上生物或者社会传播在多层耦合网络上这些传播过程更易爆发；同时还存在各种有趣的相变现象；而对于多层耦合网络上的生物-社会耦合传播，发现两个网络的结构越不相似时，越难控制疾病，等等。

总之，随着国内外“网络的网络”或多层次超网络的研究不断深入，已发现一些其他类型超网络的有意义进展，限于篇幅在此从略，请详看文献[12，16-24]及其中大量引文。

5复杂网络的十大挑战性问题

大自然界和人类社会表现出多种多样复杂网络系统。迄今如何从一般单一网络的传统的网络科学理论框架转向描述“网络的网络”或超网络的理论体系，目前还缺乏共认，如何深刻理解、主自设计、自由驾驭或控制网络的网络，许多课题、理论方法或总体框架，都面临着前所未有的挑战。

在2014年长沙召开的“2014第10届全国复杂网络学术会议”上，经过征集与会者和专家的建议，经网上投票评选出今后“复杂网络科学十大问题”[17-22]：“网络的网络”(NON)研究，人类行为特性对传播动力学的影响，基本与真实数据的传播问题，多层次动态网络理论分析及时空演化问题，复杂网络鲁棒性产生机制及网络安全应用，精确描述复杂网络拓扑特征的理论问题，非线性时间序列与网络图的相互表征及刻画，NON的可控性、能观性及其控制新的理论方法，网络动态结构变化问题，多层交互网络中的传播与控制问题。主要的挑战性大部分与NON-超网络的研究密切相关。这里归纳几点予以说明。

1)对NON物理数学理论的复杂性描述，需要高瞻远瞩地研究NON复杂系统统一的网络拓扑理论新框架和新方法，NON理论涉及实际网络系统的高维属性(诸多特点)和错综复杂的关系，需要创新高维空间的子空间流形拓扑理论和代数几何拓扑学理论，并超越传统图论的方法去描述子空间多元关系。超图正在发展张量方法可能对于复杂的邻阶矩阵的谱特性探索提供新 的思路。

2)对当今NON网络规模涉及大数据范畴，上千万亿级或高高的海量科学计算，需要研究大规模稀疏网络(矩阵)结构的科学计算理论和算法，面对大规模稀疏网络求解问题，迫切需要在计算和统计分析以及优化数学方法上创新，并利用高性能超级计算机进行高效并行计算机。

图10　模型-3转换成多层次网络结构

3)对网络时间-空间的动态演化复杂性的挑战，需要研究大规模网络结构的时空动力学行为，并涉及微观、中观和宏观等多层次的不同类型的大规模网络上的动力学行为研究，这势必涉及高维偏微分方程组的分析和求解难题，因此要求数理学理论方法更大的创新和发现。

4)对NON不同层次网络混杂或交叉问题，迫切需要研究复杂网络融合的物理和数学机理，例如互联网、计算机网络、社会网络、物联网络等各种网络彼此交叉、渗透，并体现了信息域、社会域和物理域等多域交链和相互作用的结果，不仅催生大量新型的网络应用，而且对网络融合机理和理论方法提出前所未有的挑战。

显然，NON相关的复杂网络最具挑战性，网络系统越错综复杂，对物理数学理论工具的需求就越迫切。

感谢李永和刘强等多年来的真诚合作。

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(责任编辑耿金花)

From a Single Network to “Network of Networks” Development Process: Some Discussions on the Exploration of Multilayer Supernetwork Models and Challenges

FANG Jinqing

(Department of Nuclear Technology Application,China institute of atomic energy, Beijing 102413,China)

Abstract:In this paper, a brief review of the theoretical framework of a single network picture is given; Overview of the current concern of the "network of networks" or super network, the related definitions and concepts, introduction to several theory model of multilayer super network research, finally puts forward ten challenging tasks to network science.

Key words：single networks; network of networks; multiplayer networks; ten big challenge

文章编号：16723813(2016)01004008;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.002

收稿日期：2015-07-31

基金项目：国家自然科学基金面上项目(61174151)

作者简介：方锦清(1939-)，男，福建莆田人，研究员，主要研究方向为非线性网络科学与应用。

中图分类号：N94

文献标识码：A