基于Liu混沌系统生成的多翅膀蝴蝶吸引子

高秉建

(武汉理工大学理学院，武汉 430070)



基于Liu混沌系统生成的多翅膀蝴蝶吸引子

高秉建

(武汉理工大学理学院，武汉 430070)

摘要:提出了基于Liu混沌系统生成多翅膀蝴蝶吸引子的新方法。主要的设计思想是增加系统第二类鞍焦点的数目。用多分段二次函数作代换，设计了改进的混沌系统，获得多个第二类鞍焦点，从而生成多翅膀蝴蝶吸引子。理论分析表明每一个第二类平衡点与蝴蝶吸引子的翅膀相对应。数值仿真证实提出的方法的可行性和有效性。

关键词：多翅膀蝴蝶吸引子；Lorenz系统族；Liu混沌系统；多分段二次函数

0引言

自从1963年Lorenz[1]发现了第一个混沌系统以来，混沌在许多领域得到了深入的研究,包括数学、物理、生物科学和工程领域。1999年，Chen和Ueta[2]发现了Lorenz系统的对偶系统；2002年Lü和Chen[3]发现了Lorenz系统与Chen系统之间的临界系统，随后在Lorenz系统族的统一框架下一些类似系统相继出现，如2004年Liu等[4]提出的新混沌系统，并随后成功实现电路设计[5-6]。一方面，在1984年，Chua等[7-8]提出了第一个混沌电路，建立了混沌理论与非线性电路间的联系。作为Chua双卷吸引子的自然推广，Suykens等[9-11]设计了一维多涡卷混沌吸引子并实现了模拟电路。另一方面，在1993年，Miranda和Stone[12]首次提出了Proto-Lorenz系统，可观察到辐射状的多涡卷吸引子。2006年，Yu等[13]进一步推广到Lorenz系统族产生多涡卷吸引子，随后Lü和Chen[14]总结了改进的Lorenz系统族获得多涡卷吸引子的理论、方法和应用。近年来，基于混沌系统产生多翅膀蝴蝶吸引子成为混沌研究新的热点。2008年，Yu等[15]基于简约的Lorenz系统，用锯齿波函数作代换，生成了多翅膀蝴蝶吸引子。2010年，基于类Lorenz系统的改进设计出多翅膀蝴蝶吸引子[16]。这让人们想到，与Lorenz系统有不同特性的Liu系统，是否也能生成多翅膀蝴蝶吸引子？答案是肯定的。

本文提出了基于Liu系统生成多翅膀吸引子的新方法，用多分段二次函数作代换，设计了改进的Liu系统。主要的设计思想是增加系统第二类鞍焦点，使它们对应的翅膀沿某一坐标轴水平方向延伸。理论分析表明每一个第二类鞍焦点与蝴蝶吸引子的翅膀相对应。数值仿真证实了提出的方法的可行性和有效性。

1Liu混沌系统

Liu混沌系统的状态方程:

(1)

Liu混沌系统的特性:1)系统有两个第2类平衡点,对应于吸引子的双翅膀结构。2)在变换(x,y,z)→(-x,-y,z)下，系统都是不变的，因而吸引子是对称的。3)平衡点的定位与系统的平方项或交叉项紧密相关，由平衡点的平方根项反映出来。4)非线性动力学特性由状态变量的平方项或交叉项控制。

2改进的Liu混沌系统

基于Liu混沌系统的特性，用多分段函数替代系统的平方项或交叉项，很可能改变系统平衡点数目和定位。于是构造多分段函数

(2)其中，sgn(x)为标准符号函数，N为正整数,A0,Ai为波幅，Ei为分段点，它们满足Ai=f(Ei-0)-f(Ei+0),i=1,2,…,N,宽度wi=Ei+1-Ei，斜率ki=A0(Ei+Ei+1),显然，每个分段的特性，包括斜率和宽度，很容易由A0，Ai和Ei的值调节。若参数取值N=4,A0=100,A1=10,A2=12,A3=16.67,A4=18.75,E1=0.3,E2=0.45,W3=0.6,E4=0.75,则可构造9分段非线性函数f(x)，如图2所示。

用(2)中的非线性函数f(x)替代Liu混沌系统中的平方项x2，可设计出多翅膀的Liu系统:

(3)

其中，引进了伸缩因子p，以便能调节吸引子的观察区域，当实际设备的运行区域有限时，也有利于电路实现。

3改进的Liu系统的动力学分析

为了证实新系统的混沌特性，首先研究平衡点的特性。

根据上述参数取值，计算出改进的Liu系统的10个第二类平衡点分别为Q±0(±0.223 6,±0.223 6,8),Q±1(±0.387 3,±0.387 3,8),Q±2(±0.519 6,±0.519 6,8),Q±3(±0.660 8,±0.660 8,8),Q±4(±0.790 1,±0.790 1,8)。

对系统(3)在平衡点处线性化，计算Jacobin矩阵为

图1　Liu混沌吸引子

图2　多分段二次函数f(u)

标记‘×’表示第一类平衡点；

当p=0.2时，每一个平衡点对应的特征值为

Q±0:γ±0=-17.561 4，σ±0±jω±0=2.530 7±j10.367 3

Q±1:γ±1=-22.874 3，σ±1±jω±1=5.187 1±j15.342 7

Q±2:γ±2=-26.706 3，σ±2±jω±2=7.103 2±j18.813 4

Q±3:γ±3=-30.481 0，σ±3±jω±3=8.990 5±j22.186 7

Q±4:γ±4=-33.718 9，σ±4±jω±4=10.609 4±j25.058 2

从上面的特征值可知，这些平衡点都是第二类鞍焦点,可生成10翅膀蝴蝶吸引子，每一个第二类鞍焦点与蝴蝶吸引子的翅膀相对应。

当N=4和上面给定的参数(A0,Ai，Ei)的取值，计算出系统最大的Lyapunov指数Lmax=2.034。可以验证，多参数(A0,Ai，Ei)在很大的范围内，系统都存在正的Lyapunov指数，因而改进的Liu系统是混沌的。

4数值仿真

应用科学与工程计算软件Matlab，采用Runge-Kutta四阶算法，取步长0.01，对改进的Liu系统进行仿真。通过调节多分段函数的参数，很容易确定吸引子翅膀的数目和定位。由改进的Liu系统生成的多翅膀蝴蝶吸引子如图4。

图4　系统生成的多翅膀蝴蝶吸引子

可以观察到，混沌吸引子具有复杂的折叠和拉伸轨线，表明该系统处于混沌状态。

5结语

本文提出了基于Liu混沌系统生成多翅膀蝴蝶吸引子的新方法。用多分段二次函数作代换,设计了改进的混沌系统，获得多个第二类平衡点，从而生成多翅膀蝴蝶吸引子。该方法的优点是，通过调节非线性函数的参数容易确定吸引子翅膀的数目和定位。与环状的多涡卷吸引子相比，改进的混沌系统生成多翅膀蝴蝶吸引子易于构造和电路实现，因而在保密通信、图像加密等领域有着广阔的应用前景。

感谢武汉大学陆君安教授对本论文在构思和仿真过程的指导和支持。

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Gao Bingjian, Lu Junan, Chen Aimin. A novel chaotic system via combining a unified system with Rössler system[J]. Acta Phys Sin, 2006, 55(9): 4450-4455.

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(责任编辑耿金花)

Multi-wing Butterfly Attractor from a Modified Chaotic System

GAO Bingjian

(College of Science,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

Abstract：This paper initiates a novel approach to generate multi-wing butterfly attractor from the Liu chaotic system. The main idea is to increase the number of index-2 saddle-focus of chaotic system. By substitution of multi-segment quadratic function, the Liu′s chaotic system is designed to create many index-2 saddle-focus and generate multi-wing butterfly attractor. Theoretical analysis shows that every index-2 equilibrium point corresponds to unique wing in the butterfly attractor. The simulation demostrates the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Key words：multi-wing butterfly attractor; Lorenz system family; Liu′s chaotic system; multi-segment quadratic function

文章编号：16723813(2016)01009104;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.009

收稿日期：2015-05-07

基金项目：国家自然科学基金(11172215，81271513 )

作者简介：高秉建(1966-)，男，湖北宜昌人，副教授，博士，主要研究方向为非线性系统和网络动力学。

中图分类号：O 545

文献标识码：A