*1具有潜伏期感染的离散SEIR模型的动力学性态

马　霞, 陈　娜

(1.太原工业学院 理学系,山西 太原 030008; 2.周口师范学院 数学学院，河南 周口 466000)



*1具有潜伏期感染的离散SEIR模型的动力学性态

马霞1, 陈娜2

(1.太原工业学院 理学系,山西 太原 030008; 2.周口师范学院 数学学院，河南 周口 466000)

〔摘要〕主要研究了一类考虑潜伏期和染病期都具有感染性的离散SEIR传染病模型的动力学性态．定义了基本再生数,利用数学归纳法得到了模型解的非负性和有界性．通过构造合理的Lyapunov 函数证明了平衡点的全局渐近稳定性．最后通过数值模拟验证了我们的理论结果．

〔关键词〕离散SEIR传染病模型;向后欧拉法;潜伏期感染;稳定性;Lynapunov函数

0引言

在传染病的研究中通过数学模型来模拟疾病的传播,探讨疾病流行的动力学行为,可以为疾病的预防和控制策略提供有效的服务[1]．对SIR,SIS,SIRS连续模型的研究已经非常地成熟,这些传染病模型对研究疾病的传播规律和预测传染病的发展趋势起了非常重要的作用[2-4]．然而生活中有很多物种的数量是随着离散时间变化的,并且单位时间内传染病传播的速度比较慢,感染的人口也相对较少,此时各类种群的数量变化便不能看成连续时间变化的,考虑用离散的传染病模型来描述则更为方便合适．

构造离散传染病模型由很多种方法,例如用仓室模型的假设来建立离散的传染病模型,也可以直接对连续的传染病模型使用欧拉差分方法进行离散化．虽然近年来对离散传染病模型的研究越来越多,相对于连续模型,离散模型的研究方面的文献还是很少的,理论还不太完备．文献[5-10]对离散传染病模型的动力学性态进行了研究,为更复杂的离散传染病模型提供了理论依据和新的方法．连续SEIR传染病模型的研究有很多,文献[8]通过构造Lyapunov函数的方法研究了一类具有潜伏期感染的连续SEIR腮腺炎模型的全局动力学性质．然而由于差分理论方法的不完备,对于离散SEIR模型的地方病平衡点的全局渐近稳定性的研究结果很少．我们将文献[11]中构造Lyapunov函数的方法推广到离散模型上,利用欧拉向后差分法建立了如下具有潜伏期感染的离散SEIR模型

(1)

文中主要研究该模型的平衡点的全局渐近稳定性,给出模型的一些假设,解的非负性有界性以及主要的结论,并用数值模拟验证了我们的理论结果．

1模型解的正性及有界性

对于模型(1),S(t),E(t),I(t),R(t)分别表示t时刻易感者、无症状的潜伏者、感染者和恢复者的数量．其中人口的输入(出生和迁入)为Λ,μ是人口的自然死亡率,β是染病者传染率,β1是潜伏者的传染率,α是潜伏者的发病率,γ是病人的恢复率,δ是因病死亡率,这里参数都是非负常数,βS(t+1)I(t+1)+β1S(t+1)E(t+1)表示单位时间内易感者被感染成为潜伏者的人数．

根据生物学意义,模型(1)的初始条件为S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0.

定理1模型(1)关于初始条件S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解(S(t),E(t),I(t),R(t))都是正的且是最终有界的．

证明:由模型(1)可解得

(2)

由(2)式可看出只要E(t)确定,那么S(t),I(t),R(t)也就确定,首先证明如果E(1)>0,则有I(1)>0,

S(1)>0,R(1)>0．通过(2)式计算整理可得二次方程aE2(t+1)+bE(t+1)+c=0,其中,

当t=0时,由初始条件S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0可知,常数项c<0,又知a>0,因此,上述二次方程aE2(t+1)+bE(t+1)+c=0有唯一的正根E(1)>0,由模型的第一、三、四个方程可得S(1)>0,I(1)>0和R(1)>0．采用类似于上述的方法,可以得到S(2)>0,E(2)>0,I(2)>0和R(2)>0,最后用数学归纳法可得,对一切t∈Ζ+,都有S(t)>0,E(t)>0,I(t)>0和R(t)>0.

把模型(1)中的方程相加可得:

2平衡点的全局稳定性

下面我们通过构造合适的Lyapunov函数来研究无病平衡点P0和正平衡点P*的全局渐近稳定性．

定理2如果R0<1,模型(1)的无病平衡点P0在Ω内是全局渐近稳定的．

定理3当R0>1时,模型(1)的正平衡点P*(S*,E*,I*,R*)是全局渐近稳定的．

因此,由模型(1)可得

(2)

构造Lyapunov函数V1(t)=Ag(X(t))+Bg(Y(t))+Cg(Z(t)),这里,g(x)=x-1-lnx.由于lnx≤x-1对x>0是恒成立的,因此,

由方程(2)可得

当且仅当S(t+1)=S*,I(t+1)E*=I*E(t+1)时,ΔV1=0．否则,ΔV1<0．由于平衡点P*是集合{(S,E,I,R)∈Ω|ΔV1=0}唯一的最大不变集．因此,由Lassalle不变原理及极限理论[13]可知,正平衡点P*是全局渐近稳定的．

3数值模拟

下面我们利用数值仿真实验来验证理论结果,在模型(1)中,取Λ=30,μ=0.006,α=0.01;γ=0.08,

β=0.000 01,β1=0.000 002,通过计算可得基本再生数R0=0.613<1,通过定理2可得无病平衡点P0是全局渐近稳定的,疾病最终将会消除．选取不同的初始值来做数值模拟,数值仿真实验的结果如图1所示,固定其他参数值,变动β的值,当β=0.29时,R0=1.399>1,由定理3可得正平衡点P*(2 382,357,34,449)是全局渐近稳定的．数值仿真实验的结果如图2所示．

图1　当R0=0.613<1时,平衡点P0的全局渐近性态

图2　当R0=2.107>1时,平衡点P*的全局渐近性态

参考文献：

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[13]ELAYDY S.An introduction to difference equations[M].New York:Sprink,2004,204-255

Dynamic Behavior of a Discrete SEIR Epidemic Model with Latent Infection

MA Xia1,CHEN Na2

(1.Science Department, Taiyuan Institute of Technology, Taiyuan 030008;2.Department of Mathematics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466000, China)

〔Abstract〕The dynamical behavior of discrete SEIR epidemic model with latent infection is studied. The basic reproductive number is defined, the nonnegativity and boundless of solutions are analyzed by inductive method. It is proved that the equilibrium is globally asymptotically stable by constructing reasonable Lyapunov function.Numerical simulations are done to show our theoretical results.

〔Key words〕discrete SEIR model; backward euler method; latent infection; stability; Lyapunov function

*收稿日期：2015-12-26

基金项目：太原工业学院科技处基金(2015LQ19).

作者简介：马霞(1990-),女,河南驻马店人,硕士,太原工业学院理学系助教,主要从事传染病动力学、生物数学研究.

〔文章编号〕1672-2027(2016)01-0019-04〔中图分类号〕O175

〔文献标识码〕A