*1赌徒输光问题的解法

王颖俐,严俊秀

(长治学院 数学系,山西 长治 046011)



*1赌徒输光问题的解法

王颖俐,严俊秀

(长治学院 数学系,山西 长治 046011)

〔摘要〕文章应用若干种方法对经典的破产问题——赌徒输光问题进行求解,从而得到当赌本一定时赌徒输光的概率.

〔关键词〕赌徒输光;马尔科夫链;随机游动;差分方程

惠更斯的《论赌博中的计算》标志着概率论的产生[1].帕斯卡向费马提出了这样一个问题:二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有12个筹码,若掷出11点,甲给乙一个筹码;相反若掷出14点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光,求甲乙获胜的机会比.这个问题是著名的赌徒输光问题,也称具有两个吸收壁的随机游动问题.

在18世纪,对概率论有贡献的数学家也很多.他们用数学知识研究赌博问题,如雅各布·伯努利的《猜度术》.这也是概率论发展史上的古典名著之一,书中给出了赌徒输光问题的详尽解法[2].在1995年,S.K.Andrzej推导了适合赌徒的概测法,并给出了一些规则的程序例子.M.A.EI-Shehawey与L.Mario研究了赌徒的输光问题为马尔科夫链时的情况[3].

在现代,后人在这些基础上通过更加丰富的数学知识又得到其他有效的证明.张琦[4]通过研究得到赌徒输赢的概率与自己赌金大小有着密切的关系;张国春[5]根据赌博游戏构建了一个有限步的带有双侧吸收壁的随机游动模型,运用母函数、组合数公式以及递推关系,从特殊到一般给出并证明了质点从起始点到达两侧吸收壁及终点线的一系列概率计算公式;陈耀辉[6]导出在无限和有限次赌博中赌徒破产的概率公式及赌局数目的期望值公式.

1运用马尔科夫链求解

设Xn表示经过n局后甲手中的赌本,则{Xn,n≥0}是一齐次马尔科夫链[7],状态空间为E={0,1,…,a+b},转移矩阵为:

由于输光即游戏停止,所以有p0,0=pa+b,a+b=1.显然,状态0和a+b为吸收状态,其余为非常返状态.假设状态由i到a+b的概率为fi=fi,a+b,∀0≤i≤a+b.

由条件概率,有fi=pfi+1+(1-p)fi-1,∀1≤i≤a+b-1.

2运用随机游动模型求解

定义1[8]:设x轴上的一个质点,假设它只能处在整数点,在时刻t=0时,它位于初始位置a,以后每个单位时间,它总是受到一个外力的随机作用,使位置发生变化,分别以概率p及概率q=1-p向正的或负的方向移动一个单位,我们所关心的是质点在时刻t=n时的位置,用这种方法描述的质点运动称为随机游动.

部分 1:质点从x=a点出发,未经过x=a+b点而移动至x=0点,其概率为

综上可得:

解得:

3运用差分方程求解

分析当原赌本为x时甲破产的概率.为此,设xi为赌过i局后赌徒甲拥有的赌本,利用条件概率,有

即

(1)

这是一个二阶齐次线性差分方程,其边界条件为

(2)

(1)式的特征方程为λ2-2λ+1=0,即(λ-1)2=0，所以方程有重根λ1=λ2=1,这时(1)式有线性无关的的特解1和x,则通解为Px=C1+C2x, 由边界条件(2)得:

4运用等差数列求解

我们把问题先进到一般,找出递推关系,再退到特殊进行进退互用探求解题方法[10].

即p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1),所以p(n)是等差数列.

通过以上四种方法,均可以得到赌徒输光问题的证明,并且得到一个拥有有限资本的赌徒一直赌下去的话必定输光自己的赌金.

参考文献：

[1]徐传胜,曲安京.惠更斯与概率论的奠基[J].自然辩证法通讯,2006,6(28)：76-81

[2]胡晓飞.赌博产生的数学——概率论的起源与发展[J].科技风,2013(18)：189-190

[3]赵娟.赌徒破产风险模型的进一步研究[D].燕山大学,2011

[4]张琦.赌本大小与输赢的关系[J].内蒙古教育学院学报,2000,3(13)：35-36

[5]张国春.平面上的一种随机行走模型及其计算机模拟[D].河北大学,2010

[6]陈耀辉,孙春燕.赌徒破产的概率[J].荆州师专学报,1992,2(15)：36-39

[7]方兆本,繆柏其.随机过程及其应用[M].北京:科学出版社,2011

[8]王虹,来鹏.随机游动问题及其应用[J].山西师范大学学报,2005,2(19)：1-4

[9]张炎.谈谈概率问题的差分方程解法[J].西华师范大学学报,1982,2：74-84

[10]夏绍云.数学解题中“进”与“退”[J].牡丹江大学学报,2009,5(18)：114-117

The Solution to the Problem of Gambler’s Ruin

WANG Yingli, YAN Junxiu

(Department of Mathematics, Changzhi University, Changzhi 046011, China)

〔Abstract〕To deal with the problem of gambler’s ruin, this paper used several methods to prove. Through proving, we get the probability of gambler’s ruin when they take certain money.

〔Key words〕gambler’s ruin; Markov chain; random walk; difference equation

*收稿日期：2015-09-25

作者简介：王颖俐(1987-),女,山西临汾人，硕士，长治学院数学系讲师，主要从事时间序列分析及排队论等领域的研究.

〔文章编号〕1672-2027(2016)01-0006-03〔中图分类号〕O211

〔文献标识码〕A

资助项目：长治学院科学研究基金(201412).