供需关系在圆周运动的运用

陈巧玲

【摘要】圆周运动是高中物理中重点讨论的一个运动模型。因为它普遍存在于我们的生活和生产中。学生在讨论这种运动时，常常用他们熟悉的直线运动的规律，但是圆周运动作为一种曲线运动，是比直线运动更复杂的运动。它更适合用供需关系去解析。

【关键词】供需关系 临界条件 圆周运动 模型 状态

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0238-02

一、什么叫供需关系

我们都知道公式：其中，左边所表达的是通过受力

分析得到的半径方向上的合外力，它是外界物体提供给运动物体的向心力。我们把他设为“供”。而方程右边是与物体本身的质量、速度、轨道半径相关的向心力。我们认为它表示的是质量为m的物体以速度v在半径为R的轨道上做圆周运动所需要的向心力，所以我把它称为“需”。

如果外界给物体提供的向心力刚好等于物体所需的向心力，即供需关系满足，物体将沿该轨道做圆周运动

如果外界给物体提供的向心力大于物体所需的向心力，即供大于需，物体将做向心运动。

如果外界给物体提供的向心力小于物体所需的向心力，即供小于需，物体将做离心运动。

二、用供需关系解释临界状态

1.用供需关系解释绳子模型的临界态

我们都知道，用一条不可伸长的绳子系着一个小球，要使小球完成在竖直面内的圆周运动，则小球过最高点的最小速度应该满足。这是为什么呢？我们不妨用供需关系来分析一下小球在最高点时的情况。

重力并不需要全部用于提供给小球做向心力，它还有部分作用是使小球沿重力方向运动。正是这个力的作用使小球不可能上到最高点。所以就成为了小球能够通过竖直圆最高点的最小速度。

2.用供需关系解析静摩擦力的临界态

例1：如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.1kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m，若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围

解：因为B静止，所以T=mBg

盘以ω转动，则随盘一起转动的物体所需要的向心力为mω2R

如果绳子的拉力mBg

如果绳子的拉力mBg>mω2R，有外界给物体提供的向心力大于物体所需的向心力.拉力的部分效果将会使物体做向心运动。为了阻碍物体相对自己向圆心运动，转盘会给物体一个沿半径向外的静摩擦力，这个摩擦力将拉力的部分效果抵消使得供需关系再次平衡。其关系式是mBg-f=mω2R，当ω不断减少，静摩擦力就不断增大。当f取最大时就是小球保持静止的最小角速度。

3.对复合场临界速度的解释

如果空间中存在一个水平向右的匀强电场和不可以忽略的重力场，带正电的粒子在该场中的一条竖直轨道上做圆周运动。我们怎样解释该粒子要完成在此轨道中的圆周运动需要什么样的条件呢？

我们不妨设情景如右图，

由于粒子受到的两个力均为恒力，我们不难得到：

这两个力的合外力也是恒力。这个力的方向是斜向右下的。如果粒子在该场中是静止的，该力会使粒子向右下方运动。要让粒子沿轨道做圆周运动，而不至于向右下方掉下。粒子要过的临界点就是复合场的等效最高点，该点的确定是沿圆心开始，沿合力的反方向与轨道的交点。

在这个点，粒子所受到的复合场的合力是指向圆心方向的。粒子过该点的供需关系应该满足

如果出现的情况，则合力的部分效果

将会使粒子在圆心方向获得速度，这导致粒子不能沿原来轨道做圆周运动。

三、供需关系对轻杆模型的解释

我们知道，轻杆模型与绳子模型不一样.一个球固定在轻杆上，可以以很小的速度通过竖直圆周的最高点.并不像绳子模型中的小球一样需要一个最小速度的限制。为什么会这样呢？我们来设小球到达圆周的最高点时速度为VO，杆的长度为R，小球

这意味着杆对小球并没有作用力。如果小球的速度V1满足V1>V0，小球所需要的向心力将会大于重力，由于重力不足以提供小球所需的向心力。小球将做离心运动，向外拉杆子，被拉的杆就会对小球产生一个向心方向的拉力。使得供需关系满足

度V2满足V2

的效果，供需关系满足。小球仍然可以在杆上做圆周运动。

我们说一个固定在轻杆上的小球可以以任何小的速度通过竖直圆的最高点。判别杆对小球的力是拉力还是支持力，其临界点就是速度。

四、用供需关系解析卫星变轨问题

我们设想一个卫星在离地心为R的高空上绕地球做圆周运动。如果卫星的质量为m，速度为V0，地球的质量为M，G为

力，系统出现供不应求的情况，在没有其它力补充给卫星做向心力的情况下，卫星将会做离心运动，从而出现了卫星的轨道半径变大的情况。从另一个方面讲，如果卫星的速度变为V2，而且V2

五、用供需关系讨论运动状态的变化问题

例2：如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法正确的是：

A、物体处于平衡态

B、物体受三个力的作用

C、在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘

D、在物块到转盘转轴的距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘

在分析这道题时，学生的难点在C选项的分析。学生认为，物块的向心力就是mω2R，如果ω一定，R越大，向心力就越大，物块就是越不可能做离心运动，也就是越不容易脱离圆盘。这种分析的错误就在于没有将供、需分开而造成的。在题设中mω2R是物体所需要的向心力，在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块所需的向心力就越大。外界给物体提供的向心力来自盘与物块之间的静摩擦力。对于盘面与物体而言，无论物体放在盘面的什么位置，盘面能够给物体提供的最大静摩擦力是一样的。随着ω的增大， R大的物体所需要的向心力增加得更快。它会首先达到最大静摩擦力提供向心力的情况，如果ω继续增大，它首先向外发生滑动。

六、通过供需关系理解物体的受力情况

例3：乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车一起在竖直面内旋转，下列说法正确的是

A、车在最高点时，人处于倒立状态，全靠保险带拉住，没有保险带人就会掉下来

B、人在最高点时，对座位可能产生压力，但是，压力一定小于mg

C、人在最低点时，对座位的压力大于mg

D、人在最低点时，对座位的压力等于mg

在这道题中，学生的难点普遍在于A。对A的错解是因为学生不理解力的效果以及供需关系。事实上，人虽然在最高点，也处于倒立状态，但是，只要人在最高点有一定的速度，而且这

个速度满足，人便不需要保险带的帮忙了。在关系式

取等号时，重力刚好全部用于给人提供向心力，重力再没有效果使人产生竖直向下的运动，所以人不会掉下来，也就不需要保险带了。在关系式取小于号时，意味着重力并不足以提供人所需的向心力，所以人会向外运动，挤压轨道，在种情况下，人就更不可能掉下来了，所以保险带也是没有的。

圆周运动是我们常考的模型。学生的难点在于临界点的讨论和轨道变化的归因。供需关系刚好可以很好地解释这一系列的难点。所以掌握供需关系是学生学好该部分知识的一个钥匙。endprint