函数展开为阶乘幂级数的方法

孙建新

(绍兴文理学院　数学系，浙江　绍兴312000)



函数展开为阶乘幂级数的方法

孙建新

(绍兴文理学院数学系，浙江绍兴312000)

摘要：借鉴Taylor展开法与Stirling公式，给出一般初等函数展开为阶乘幂级数的两种方法：直接展开法与间接展开法.此外还探讨了应用这些方法的若干实例.

关键词：Taylor展开；Stirling公式；阶乘幂级数；直接展开法；间接展开法

引言

记x!k=x(x-1)…(x-k+1)，x!k=x(x+1)…(x+k-1)，x∈R,k∈Z+

前者称为x的k阶降序阶乘幂，后者称为x的k阶升序的阶乘幂[1].

一个无限可导的初等函数f(x)展开为普通幂级数的Taylor展开法，是指

(1)

这里所谓的Stirling公式，是指普通幂与阶乘幂之间转换公式：

(2)

(3)

其中S1(k, j)与S2(k, j)分别称为第一类与第二类Stirling数[2].

Δ是向前差分算子[3]，定义为Δf(x)=f(x+1)-f((x)，且Δk+1f(x)=Δ(Δkf(x))；

类似于普通幂高阶导数公式

Dk(xn)=n!kxn-k,kn.

(4)

对于两类差分算子也有相应的高阶差分公式[3]：

(5)

(6)

其中规定x!0=x!0=1.

1直接展开法

所谓直接展开法，就是一次性确定级数每个系数的方法.其定理如下：

定理1函数f(x)的降序幂级数展开式必定存在，且有

(7)

注意到0!n-k=0(n>k),令前式中的x=0,即得

定理2函数f(x)的升序幂级数展开式必定存在，且有

(8)

注意到0!n-k=0(n>k),令前式中的x=0,即得

2间接展开法

所谓间接展开法，就是先将函数展开为普通幂级数，再利用Stirling公式⑶将普通幂转化为阶乘幂的方法.其定理如下：

定理3假设函数f(x)存在普通幂级数展开式

则必定存在f(x)的降序与升序的两类阶乘幂展开式，且有

(9)

代入前式即得.(证毕)

3函数展开为阶乘幂级数的实例

下面举若干实例来说明上述三个定理的应用.

例3.1试将下面的函数f(x)展开为阶乘幂级数：

解根据文献4的Δax=ax(a-1)与ax=ax(1-a-1),易知：

(10)

(11)

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得bk=(a-1)k/k!.于是

(12)

利用定理2的公式⑻且取x=0,即得ck=(1-a-1)k/k!.于是

(13)

特别地，若在(12)式中取a=2,则有

(14)

特别地，若在(13)式中取a=2-1,则有

(15)

例3.2试将下面的函数f(x)与g(x)展开为阶乘幂级数：

解对于f(x),由高阶差分的定义可知：

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得

于是有

(16)

对于g(x),应该考虑向后差分与升序阶乘幂，即有

于是有

(17)

例3.3试将下面的函数f(x)与g(x)展开为阶乘幂级数：

解对于f(x),由高阶差分的定义可知：

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得

于是有

(18)

对于g(x),应该考虑向后差分与升序阶乘幂，即有

于是有

(19)

例3.4试将下面的函数f(x)展开为阶乘幂级数：

解试用两种方法求解.

A)考虑用复指数函数,其中i为虚数单位：

eix=cosx+isinx.

由公式⑺即得

于是

(20)

B)对cosx与sinx分别求高阶差分，可得

(21)

利用定理1的公式⑺且取x=0,对于f(x)=cosx即得

(22)

对于g(x)=sinx即得

(23)

比较有(20)(22)(23)可得如下一组离散恒等式：

(24)

例3.5试将下面的函数f(x)展开为阶乘幂级数：

解由(12)、(13)可得

则

于是

(25)

如果函数的高阶差分比较复杂，而其普通幂级数可以找到时，应该使用间接展开法.举例如下：

例3.6试将下面的函数f(x)展开为阶乘幂级数：

f(x)=arctanx.

于是由定理3的⑼式有

(26)

例3.7试将下面的函数f(x)展开为阶乘幂级数：

f(x)=arcsinx.

于是由定理3的⑼式有

4混合型幂和的展开问题

下面考虑混合型离散和展开为统一阶乘幂的问题.

所谓混合型离散和，是指和式中既含有普通幂又含有阶乘幂，且阶乘幂中既含有降序又含有升序的各种可能的幂和式.

混合型幂和的展开方法一般有两种：或者先统一转化为降序形式，再求出各阶差分的零点值，利用公式⑺展开为统一阶乘幂之和；或者利用⑵式都转化为普通幂之和，再由⑶式化为同一的阶乘幂之和.

举例如下.

例5试将下列混合和函数展开为统一的降序阶乘幂之和：

f(x)=x!5+x!5+x5.

解法1f(x)=x!5+(x+4)!5+(x!5+10x!4+25x!3+15x!2+x)

Δf(x)=10x!4+5(x+4)!4+40x!3+75x!2+30x+1

Δ2f(x)=40x!3+20(x+4)!3+120x!2+150x+30

Δ3f(x)=120x!2+60(x+4)!2+240x+150

Δ4f(x)=240x+120(x+4)+240

Δ4f(x)=240x+120(x+4)

Δ5f(x)=240+120=360.

于是由定理1的公式⑺可得

f(x)=x!5+x!5+x5=∑bkx!k=3x!5+30x14+145x!3++255x!2+121x.

(27)

解法2f(x)=x!5+x!5+x5

=(x5-10x4+35x3-50x2+24x)+(x5+10x4+35x3+50x2+24x)+x5

=3x5+70x3+48x

=3(x!5+10x!4+25x!3+15x!2+x)+70(x!3+3x!2+x)+48x

=3x!5+30x!4+145x!3+255x!2+121x.

(28)

比较(27) (28)，可知两种方法所得结果相同.

参考文献:

[1]孙建新.阶乘幂多项式及其基本恒等式[J].绍兴文理学院学报(自然科学),2004,24(7)：4-37.

[2]方开泰,有限差算子及其应用[J].应用数学与计算数学,1984(4)：22-31.

[3]孙建新,胡金杰.阶乘幂的差分算子及其逆[J].绍兴文理学院学报,2005，25(7)：22-25.

[4]孙建新.拟初等函数的差分性质及其应用[J].绍兴文理学院学报(自然科学),2015,35(9)：31-36.

(责任编辑鲁越青)

Methods of FunctionExpanding into Factorial-Power Series

Sun Jianxin

(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang 312000)

Abstract：Inspired by Taylor’ expansion method and Stirling’ formula, we provide two methods for the generally elementary function to be expanded into factorial power series: direct method and indirect method. In addition, several examples about the application of these methods are discussed.

Key words：Taylor’ expansion method; Stirling’ formula; factorial power series; direct expansion method; indirect expansion method.

收稿日期：2015-12-31

作者简介：孙建新(1946-)，男，浙江绍兴人，副教授，研究方向：离散数学与建模等.

doi：10.16169/j.issn.1008-293x.k.2016.07.06

中图分类号：O15

文献标志码：A

文章编号：1008-293X(2016)07-0029-06