数字微镜哈达玛光谱仪谱线弯曲的分析与修正

全向前，刘 华，卢振武，王晓朵，党博石，陈祥子，王 芳

1. 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033 2. 中国科学院大学，北京 100049

数字微镜哈达玛光谱仪谱线弯曲的分析与修正

全向前1，2，刘 华1*，卢振武1，王晓朵1，2，党博石1，陈祥子1，2，王 芳1

1. 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033 2. 中国科学院大学，北京 100049

由于数字微镜(digital micro-mirror device, DMD)哈达玛变换光谱仪其成本低，光能利用率高及无运动部件等优势，逐渐成为光谱仪领域的研究重点。研制了一款基于DMD的哈达玛变换光谱仪。为了解决光谱仪谱线弯曲造成的光谱分辨率下降的问题，对基于DMD的哈达玛变换光谱仪中的谱线弯曲所引起的谱带混叠进行了分析。首先，导出了谱带混叠与谱线弯曲的关系式。然后，提出了两个过程来解决谱带混叠，一是通过调整DMD编码条纹，使DMD所编码的谱带最大限度地与标准谱带重合； 二是通过数据处理对谱带混叠进行修正。最后，通过对谱线曲率半径为5.8×104，7.8×104和9.7×104μm等六种情况下谱带混叠进行了分析与修正，拟合出光谱混叠和修正效果与谱线曲率半径的关系。结果表明： 对于不同程度的谱线弯曲经过这两个过程修正后，分辨率都会改善到接近光学系统的分辨率, 说明这两个过程对修正谱线弯曲具有普适性、并且方法简单、有效。

光谱仪； 光谱修正； 数据处理； 哈达玛变换； DMD(digital Micro-mirror device)

引 言

哈达玛变换光谱仪是继傅里叶变换光谱仪之后又一新型的数字变换光谱仪[1-2]。由于DMD分光器件的引入使得哈达玛编码灵活多变，易于编程控制[3-4]，同其他光谱仪一样, 谱带混叠现象作为影响哈达玛变换光谱仪分辨率的重要因素，一直备受人们的关注。国内外许多专家学者对这方面进行过研究。Qian等提出了一种独立分量分析的方法, 用来提高DMD哈达玛变换光谱仪的分辨率[5]。周锦松等对哈达玛成像光谱仪编码模板尺寸引起的谱带混叠进行了分析，通过上位机的数据处理对谱带混叠进行了修正[6-7]。Xu等对哈达变换光谱仪中的小微镜进行了分析研究，重新设计了编码模板和修正算法[8-9]。

本课题组研制了一款波长为1 000～1 600 nm的微小型近红外哈达玛变换光谱仪，光学系统的分辨率为4 nm, 哈达玛变换阶数为255阶。设计时为了提高光学系统的光谱分辨率，在光栅后引入了柱面镜[10]。柱面镜的引入使得投射到DMD上的谱线出现弯曲，DMD上所编码的谱带面积Seffective和标准谱带面积Sstandard存在差异，造成谱带混叠进而导致光谱仪分辨率的下降[11]。

本工作对DMD哈达玛变换光谱仪中DMD面上谱线弯曲造成的谱带混叠进行了分析，并首次提出调整DMD编码条纹和数据处理相结合的方法对谱带混叠进行修正，降低了光学设计的难度。仿真结果表明： 这两种方法可以有效地修正谱线弯曲带来的光谱分辨率下降问题。

1 哈达玛变换光谱仪编码原理

如图1所示，哈达玛变换光谱仪系统主要分为： 光源系统、分光系统、编码系统、探测系统、信息处理系统[12-14]。照明光依次经过准直镜、狭缝、样品池，然后经过光栅分光, 再经过柱面镜投射到具有光谱选通功能的DMD上。通过编程控制DMD中小微镜的翻转对光路进行调制编码, 探测器探测到编码后的光谱数据，经过上位机的解码，还原光谱数据，其实质就是组合称量的过程。光谱数据为X1，X2，X3, 通过三次组合称量分别测得Y1，Y2，Y3，经过计算机解码处理得到X1，X2，X3。通过这种方法可以提高测量信号的信噪比，减小测量数据的均方根误差。哈达玛变换的矩阵表示如式(1)[15]

Fig.1 The principle diagram of the Hadamard transform spectrometer

(1)

2 谱带混叠现象分析

2.1 谱线弯曲分析

本课题组研制的这款DMD哈达玛变换光谱仪的光学设计结果如图2所示，随着谱线位置的变化，谱线出现了不同程度的弯曲，其弯曲程度可由光学设计结果导出。

Fig.2 The result of spectrometer design

首先由zemax的设计结果计算出几个特殊波长处的谱线曲率半径r，然后拟合出谱线曲率半径与谱线位置的关系，如图3所示。

2.2 建立DMD编码模型

Fig.3 The relation between the wavelenth with curvature

Fig.4 The analysis diagram of spectral aliasing

2.3 谱带混叠分析

2.3.1 调整编码条纹前编码的有效谱带分析

如图4所示，标准谱带为弯曲条纹，而调整编码条纹前DMD编码条纹是简单的长条矩形条纹，编码条纹只编码标准谱带的部分区域，编码的有效谱带面积为Seffective。

(2)

对Seffective求导可知Seffective的导数恒大于零，说明随着r的减小，Seffective的值也越来越小。

2.3.2 调整编码条纹前混叠谱带分析

如图4所示，通过计算谱带右边界与DMD边界交点的x到编码条纹右端的距离l可知，混叠谱带有N+1个(N=ceil(l/58.7 μm))。当1≤n≤N-1时混叠谱带面积如式(3)所示(n为混叠谱带序号)； 当n=N时，编码条纹中混叠谱带面积由两部分组成, 如式(4)和式(5)所示； 当n=N+1时，混叠谱带面积如式(6)所示。

(n∈N+，1≤n≤N-1)

(6)

3 修正谱带混叠

通过从两个过程对谱带混叠进行修正： 一是在编码时调整编码条纹； 二是在数据处理时对无法通过调整编码条纹修正的谱带混叠进行补偿修正。

3.1 通过调整编码条纹修正谱带混叠

由光学设计结果可知，谱线曲率半径r随谱线位置发生变化。现在取谱线曲率半径r=5.8×104μm。如图5所示： 每个小方格代表一个微镜，由于微镜尺寸相对于谱线曲率半径很小，编码条纹的调整可以根据小微镜的中心点是否在谱带上来决定DMD微镜是开或关的状态，如公式(7)所示。y为谱带中任意一点距离DMD上X轴的距离，m为相应的微镜距离，四舍五入取近似整数M。

(7)

Fig.5 The revised figure of spectrum aliasing (a) encoded stripe after adjust (b) The analysis diagram of encoded stripe

可得

(8)

这样一系列的M值将DMD分成一个个区间，在产生编码条纹时，每到一个区间节点做判断并调整编码条纹，从而形成了一条图5(a)所示的近似弯曲的编码条纹。

3.2 通过数据处理修正谱带混叠

根据积分原理，我们发现调整后的矩形编码条纹面积Stemplate与标准的谱带面积大小相等。

Stemplate=Sstandard=

58.7 μm×11 274 μm≈662 010 μm

(9)

如图5(b)所示： 把调整编码条纹后编码的有效谱带面积Seffective分为S1(黑色)，S2(浅灰色)和S3(深灰色)三部分。S1和S2构成编码所反射的有效谱带面积，S3为DMD所编码的混叠谱带面积。S1由一系列的矩形拼凑而来，对255阶哈达玛编码来说，它的面积为[(4-1/2)/4]Stemplate。因为远大于编码条纹宽度，S2中的每个小面积似可以近为三角形，所以它的面积为一列小微镜面积的1/4倍： 即

(10)

令

(11)

可得

r=535 620 μm

由Seffective的性质可知，当曲率半径r小于临界值535 620 μm(5×105μm)时，调整编码条纹后较调整编码条纹前就会有改善作用。当r大于临界值时，不能通过调整编码条纹，只能通过数据处理进行修正。

第二个过程是利用数据处理对无法通过调整编码条纹修正的谱带混叠进行补偿修正。如图5(b)所示混叠谱带面积S3为1/4倍的一列小微镜面积，分布在谱带两端，经过分析可知S3right≈S3left=21 456 μm。考虑谱带混叠，进一步将光谱数据的求解写成如下矩阵形式，其中X为调整编码条纹后测得的光谱信号矩阵，A-1为修正矩阵,Z为实际光谱信号矩阵。

(12)

即

X=AZ⟹Z=A-1·X

(13)

可以通过式(13)求出实际光谱信号。

4 matlab仿真结果

4.1 谱线曲率半径r=5.8×104的修正结果

光谱分辨率定义为仪器达到光谱响应最大值的50%时的波带宽度。对于本款哈达玛变换光谱仪，光谱范围是1 000～1 600 nm，有1 024列微镜，可知每列可分辨出0.6 nm的光谱。综合考虑编码效率和光谱仪的分辨率，选择4列微镜为编码条纹宽带最为合适，每列条纹可分辨出2.4 nm的光谱。建立模型如下： 一单波长的光源经过分光在DMD上某编码条纹处达到最大值，其光功率为10 nW，我们标定为1 000 nm则由光谱仪分辨率为4 nm可知，前一编码条纹上的光谱光功率为4 nW，后一编码条纹的光谱光功率也为4 nW。

(14)

(15)

图6为光谱在1 000 nm处，谱线曲率半径r=5.8×104的光谱仿真图。图6(a)为标准光谱图。图6(b)谱带混叠的光谱图，对于一个分辨率为4 nm的光学系统来说，谱线曲率半径r=5.8×104μm时，光谱混叠造成分辨率下降为9.6 nm。图6(c)调整编码条纹后的光谱图，光谱仪的分辨率提高到4.2 nm。图6(d)为在调制编码条纹的基础上，上位机进行数据处理后的光谱图。可以看出经过两个过程后，信号更加逼近样本信号，光谱分辨率与样本信号基本一致，很好地修正了谱线弯曲造成的谱带混叠现象。

Fig.6 The simulation result of the spectral resolution

4.2 对一般谱线弯曲情况的修正结果

对其他弯曲谱线用同种方法进行仿真，得出谱带混叠和光谱分辨率与谱线弯曲的关系如表1，可以看出随着谱线曲率半径的减小，谱带混叠现象愈加明显，经过调整编码条纹后光谱仪分辨率都能达到4.2 nm。图7为修正前分辨率与谱线弯曲的关系。从图7可以看出，随着谱线曲率半径的减小，光谱仪的分辨下降，当谱线曲率半径无限大是，光谱仪的分辨率无限接近4.0 nm。图8为光谱的校正效果与谱线弯曲的关系。从图8可以看出，随着曲率半径的减小，校正效果愈加明显，当光谱曲率半径为无限大时，校正效果接近零。(定义一个量来表征校正效果[effect=(δλbefore-δλfinal)/δλfinal]。

Table 1 The simulation results of spectral aliasing

Fig.7 Relation between spectral resolution with spectral curvature

Fig.8 Relation between the correction effect with spectral curvature

5 结 论

对谱线弯曲导致的谱带混叠现象进行了理论分析，提出通过调整编码条纹和数据处理的方法对谱线弯曲进行修正。对光谱仪光学系统分辨率为4 nm，谱线弯曲的曲率半径为5.8×104，7.8×104和9.7×104μm等六种情况进行了仿真分析。分析结果表明： 随着谱线曲率半径的减小光谱仪的分辨率会出现明显的下降。无论谱线曲率半径为多少，经过调整编码条纹后，都会将光谱仪的分辨率修正到4.2 nm以内，再经过数据补偿处理，光谱仪的分辨率会接近光谱仪光学系统的分辨率。可以看出该方法不仅对不同曲率谱线弯曲具有普遍适用性，而且简单有效。

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*Corresponding author

Analysis and Correction of Spectral Curvature in Hadamard Transform Spectrometer with DMD

QUAN Xiang-qian1，2, LIU Hua1*, LU Zhen-wu1, WANG Xiao-duo1，2, DANG Bo-shi1, CHEN Xiang-zi1，2，WANG Fang1

1. Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China

Due to the advantages of its low cost and high utilization rate of light energy and no moving parts，Hadamard transform spectrometer with DMD has become a focus in the research of spectrometer. In order to solve the reduction of spectral resolution caused by the spectral curvature of Hadamard transform spectrometer with DMD (Digital Micro-mirror Device), the spectral aliasing in the spectrometer was investigated. Firstly, the mathematical relationship of spectral aliasing to radius of spectral curvature was deduced. Then, two procedures were proposed to solve the spectral aliasing. One is making the DMD encoded spectral band accordant with the standard spectral band as far as possible by adjusting the DMD-encoded stripe，and another is correcting remaining spectral aliasing by means of data processing. Finally，by analyzing and correcting spectral curvature in six situations of the curvature radius of 15.8×104，7.8×104，9.7×104μm and etc，we fit out the relationship of spectral aliasing and spectrum correction effect of spectral curvature to the curvature radius. The simulation indicates that the spectral resolution increases to the resolution of optical system. It shows that the proposed methods are universal, simple and effective in the improvement of spectral resolution.

Spectrometer; Spectral correction; Data processing; Hadamard transform; DMD (digital micro-mirror device)

Jul. 17, 2014; accepted Nov. 9, 2014)

2014-07-17，

2014-11-09

国家自然科学基金重点项目(61137001)，国家重大科学仪器设备开发专项(2013YQ140517)资助

全向前，1989年生，中国科学院长春光学精密机械与物理研究所博士研究生 e-mail： 631537680@qq.com *通讯联系人 e-mail： girlliuhua@sohu.com

O433.4

A

10.3964/j.issn.1000-0593(2016)02-0555-06