概率教学实践初探

王富

“概率论与数理统计初步”是中职学校重要的基础课之一.它是专门研究和探索客观世界中随机现象的科学，是数学的一个重要分支，在生产、生活中都有重要应用.其内容丰富，实用性强，但是课程内容复杂、难度较大、不易理解.为此，笔者在教学中采用了分析概念本质、辨析相似概念、总结解题规律等方法有效地突破了难点，收到了良好的教学效果.

一、分析概念本质

抓住关键字词，突出概念本质.在讲解事件间的关系时，对反映概念本质的字词，采用“等价”字词替换.学生对于概念的本质属性往往不能一下子抓住，教师必须善于启发，耐心诱导.例如，对于“互逆事件”的概念，一开始学生容易错误地认为“不能同时发生的两个事件就是互逆事件”.这时教师可提出问题：掷一枚骰子，A=“出现1点”，B=“出现2点”，A、B 是否为互逆事件？从而启发学生得出互逆的第二个重要属性：互逆事件并为必然事件.但也可能有的学生得出：如果两个事件，这两个事件并为必然事件的事件就是互逆事件.这时教师可提出问题：掷一枚骰子，设事件A=“出现的点数最少为3”，事件B=“出现的点数最多为4”，即A∪B=Ω（必然事件），A、B 是否为互逆事件？从而启发学生认识到，互逆事件必须同时具有“不可能同时发生”和“两个事件的并为必然事件”这两个条件，二者缺一不可.只有这样，才能使学生对“互逆事件”的本质属性有深刻认识.

二、辨别相似概念

相似概念容易混淆，在教学中应似中求源，以示区别与联系.

1.概率与频率.通过概率与频率定义，可以总结出它们的关系：A.概率已统计为基础，是实验前的估计，频率是事件的统计.B.频率依概率收敛于事件的概率.C.在实际工作中，当实验次数很大时，可以用事件发生的频率来代替事件的概率.

2.互斥与互逆事件.学生对“互斥”与“互逆”这两个概念往往混淆不清.下面举例说明它们的共性与个性.例如，判别下列每对事件是不是互斥事件，是不是互逆事件？从一堆产品中任取两件，其中：（1）“恰有一件次品”和“恰有两个件次品”；（互斥不互逆）（2）“有次品”和“全是次品”.（不互斥也不互逆）（3）“有正品”和“有次品”.（不互斥也不互逆）（4）“有次品”和“全是正品”.（互斥又互逆） 通过此题的判别，使学生认识到“互斥”与“互逆”的共性是：A∩B=（不可能事件），不同点是：互逆事件必须满足A∪B=Ω（必然事件）而互斥事件不一定是互逆事件.

3.独立与互逆.独立性与互逆性是两个完全不同的概念.独立必是从概率角度考虑的，即P（A·B）=P（A）·P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件.互逆性是对每次实验而言，事件A、B中必须有一个发生，且仅有一个发生，则称事件A与事件B为互逆事件.两个事件相互独立，可能是互逆的，也可能不是互逆的.如，掷两枚硬币，记A：“第一枚硬币出现正面朝上，” B：“第二枚硬币出现正面朝上，”则A与B是相互独立的，但不是互逆的.

三、总结解题规律

1.准确理解题意是解题的关键.在概率问题中，常出现诸如“恰”“至多”“至少”“不多于”“不少于”“全是”“不全是”等类字词，若一字之差或改变，差异就很大.在讲例题时，教师可以适当变换引伸，让学生分辨.有的题按题意直接分析比较困难，可以改换形式.

2.强调公式的条件.概率的加法、乘法公式都有一定的条件，学生容易用错.在讲解时，教师可以举例说明，列出应注意的事项，引导学生重视应用的条件.例如，古典概型中的事件A发生的概率公式是：P（A）=mn=事件A所含基本事件的个数实验中所含基本事件的总数.应用这个公式应具备以下两个条件：（1）随机事件A所含基本事件的个数是有限的；（2）每个事件在一次实验中出现的可能性是相等的.不满足这两个条件的事件的概率，则不能用此公式来计算.

3.总结解题步骤.在解题时，学生有时无过程，只有结论.因此，在教学中，教师要强调解题的步骤，以利分析.求事件的概率应按以下三步进行：（1）设事件；（2）分析事件间的关系；（3） 选择公式.例如，某篮球运动员投篮命中率为70%，计算（结果保留两个有效数字）：5次投篮恰有3次命中的概率.解：设A=“投篮一次，结果命中”.因投篮5次相当于5次独立重复实验，则根据贝努力公式有：P5（3）=C35×0.73×（1-0.7）5-3≈0.31.

4.灵活运用公式，简化概率计算.在教学过程中，教师应引导学生从多角度全面认识问题，以把握其本质，灵活运用公式，探求简便的解题方法.有的概率直接计算其概率是很麻烦的，若能用互逆事件间接求概率则有时能方便很多.