椭圆曲线y2=px(x2-2)的整数点

赵晶晶

(滇西科技师范学院 后勤管理处，云南 临沧 677000)



椭圆曲线y2=px(x2-2)的整数点

赵晶晶

(滇西科技师范学院 后勤管理处，云南 临沧 677000)

摘要：设p是大于1的无平方因子的正奇数.证明了如果p的素因素q都满足q≡3(mod 8)，则椭圆曲线y2=px(x2-2)无正整数点；如果p的素因素p都满足q≡5(mod 8)，则椭圆曲线y2=px(x2-2)至多有2组正整数点.

关键词：椭圆曲线；正整数点；奇素数

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=ax(x2±b)的整数点问题，目前主要结论如下：

(Ⅰ)b=1时主要结论为：祝辉林、陈建华[1]证明了椭圆曲线y2=px(x2+1)和y2=px(x2-1)至多有1组正整数点； 乐茂华[2]证明了当p≡1(mod 8)，椭圆曲线y2=px(x2+1)仅当p=2时有正整数点(x,y)=(2,1)；当p≡1(mod 8)时至多有1组正整数点(x,y)；椭圆曲线y2=px(x2-1)仅当p=5和29时各有1组正整数点(x,y)=(9,60)和(x,y)=(9 801,25 220)； 管训贵[3]证明了Fn(n≥2)为费马素数时，椭圆曲线y2=px(x2+1)仅有1个正整数点(x,y)=((Fn-2-1)2,Fn(Fn-2-1))；杨海、付瑞琴[4]给出了椭圆曲线y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)时没有正整数点；对于p≡1(mod 16)时的情况给出了该椭圆曲线有正整数点的两个判别条件；窦志红[5]给出了对于某些特殊素数p，椭圆曲线y2=2px(x2+1)的上界；赵院娥[6]给出了对于某些特殊素数p，椭圆曲线y2=2px(x2-1)的上界.

(Ⅱ)b=2时主要结论为: 陈历敏[7]证明了当无平方因子的正奇数n是适合n≡5或7(mod 8)的奇素数时，方程y2=nx(x2+2)无非零整数解；廖思泉、乐茂华[8]证明了当p≠3为奇素数时，如果p≡5或7(mod 8)，则椭圆曲线y2=px(x2+2)没有正整数点；如果p≡1(mod 8)，则y2=px(x2+2)至多有一组正整数点；如果p≡3(mod 8)，则y2=px(x2+2)至多有2组正整数点；李玲、张绪绪等[9]证明了如果n的素因素p都满足p≡5或7(mod 8)，则方程y2=nx(x2+2)无非零整数解；杜晓英[10]给出了p≡1(mod 8)为奇素数时，椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的判别条件，并证明了p<100时该曲线没有正整数点；张瑾[11]给出了p≡1(mod 8)为奇素数时，椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的若干判别条件.

(Ⅲ)b=4时主要结论为：崔军保[12]证明了p≠5为奇素数时椭圆曲线y2=px(x2+4)至多有1组正整数点，p=5时恰有2组正整数点(1,5)，(4,21)；万飞[13]给出了当n为奇素数时，椭圆曲线y2=nx(x2-4)至多有一组正整数点.

(Ⅳ)b=64时主要结论为：崔保军[14]给出了当p为奇素数时，如果p≡1(mod 8)，则椭圆曲线y2=px(x2+64)至多有三对正整数点；如果p≡3(mod 8)，则y2=px(x2+64)无正整数点；如果p≡7(mod 8)，则y2=px(x2+64)至多有一对正整数点；如果p≡5(mod 8)，则y2=px(x2+64)仅当p=5时有两对正整数点(x,y)=(4,40)，(16,160)和p=13时有一对正整数点(x,y)=(144,6 240).

本文研究椭圆曲线：

(1)

正整数解的存在问题.

引理1[15]a,b∈Z+，则方程ax4-by2=1至多有2组正整数解.

定理1如果无平方因子的正奇数p的素因素q都满足q≡3(mod 8)，则椭圆曲线(1)无正整数点；如果q都满足q≡5(mod 8)，则椭圆曲线(1)至多有2组正整数点.

证明设(x,y)是椭圆曲线(1)的正整数点，因为p是无平方因子的正奇数，故由椭圆曲线(1)知p|y，设y=pz，z∈Z，将其代入方程椭圆曲线(1)，得：

(2)

因为gcd(x,x2+2)=gcd(x,2)=1或2 ，故方程(2)可分解为以下2种情况：

情形ix=p1a2，x2-2=p2b2，z=ab，p=p1p2，gcd(a,b)=1；

情形iix=2p1a2，x2-2=2p2b2，z=2ab，p=p1p2，gcd(a,b)=1.

情形i将第一式代入第二式得：

(3)

p2>1时，则p2一定含有素因子q，则由题意得q≡3或5(mod 8).对式(3)两边同时取模q，得：

(4)

p2a4-b2=2

(5)

对式(5)两边同时取模8，得：

p2a4-b2=2(mod8)

(6)

由第一式和第二式知此时gcd(x,2)=1，故此时x为奇数 ，故x2+2也是奇数，又p为正奇数，则由方程(2)知z为奇数，故a,b均为奇数，因此a2≡1(mod8)，b2≡1(mod8)，则a4≡1(mod8).又p2=1，p为正奇数，故p2≡1(mod8)，因此有：0≡1-1≡p2a4-b2≡2(mod8)，矛盾，因此此时情形(i)不成立.

综上有情形(i)不成立，故情形(i)下椭圆曲线(1)无正整数点.

情形(ii)将第一式代入第二式得：

(7)

p2>1时，则p2一定含有素因子q，则由题意得q≡3或5(mod8).对式(7)两边同时取模q，得：

(8)

p2=1时，式(7)变成2p2a4-1=b2，即：

2p2a4-b2=1.

(9)

由引理1知，方程(8)至多有2组正整数解，故q≡5(mod 8)时方程(2)至多有2组正整数解，即椭圆曲线(1)至多有2个正整数点.

又因为p2=1，则p1=p，故p一定含有素因子q，则由题意得q≡3或5(mod 8).对式(9)两边同时取模q，得：

-b2=1(modq)

(10)

综上有情形(ii)下q≡3(mod8)时椭圆曲线(1)无正整数点；q≡5(mod8)时椭圆曲线(1)至多有2组正整数点.

参考文献:

[1]祝辉林，陈建华.两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报，2007,50(5)：1071-1074.

[2]乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2±1)的正整数点[J].湛江师范学院学报，2008,29(3)：1-2.

[3]管训贵.关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院(自然科学版)，2010,23(4)：384-393.

[4]杨海，付瑞琴.一类椭圆曲线有正整数点的判别条件[J].纯粹数学与应用数学，2013,29(4)：338-341.

[5]窦志红.椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数[J].纯粹数学与应用数学，2011,27(2)：210-212,235.

[6]赵院娥.椭圆曲线y2=2px(x2-1)的正整数点的个数[J].西安石油大学学报，2012,27(2)：106-107,110.

[7]陈历敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报，2010,53(1)：83-86.

[8]廖思泉，乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+2)的正整数点[J].数学杂志，2009,29(3)：387-390.

[9]李玲，张绪绪.椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点[J].西安工程大学学报，2011,25(3)：407-409.

[10]杜晓英.椭圆曲线y2=px(x2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点[J].数学的实践与认识，2014,44(15)：290-293.

[11]张瑾.椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的判别条件[J].数学的实践与认识，2015,45(4)：232-235.

[12]崔军保.椭圆曲线y2=px(x2+4)的正整数点[J].佳木斯大学学报(自然科学版)，2014,32(6)：962-963.

[13]万飞.椭圆曲线y2=nx(x2-4)的整数点[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2015,33(3)：271-272.

[14]崔保军.椭圆曲线y2=px(x2+64)的正整数点[J].甘肃高师学报，2015,20(2)：7-9.

[15]袁平之，张中锋.丢番图方程ax4-by2=1[J].数学学报，2010,53(3)：443-454.

责任编辑：时凌

The Integral Points on the Elliptic Curvey2=px(x2-2)

ZHAO Jingjing

(Department of Logistics Management,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang 677000,China)

Abstract：Let p be a positive prime such that p is square free.We proved that if every prime divisor q of p satis fies q≡3(mod 8),then the elliptic curve in title has no positive integer points; if every prime divisor q of p satisfies q≡5(mod 8),then the elliptic curve in title has at most two positive integer points.

Key words：elliptic curve;integer point;odd prime

收稿日期：2015-11-19.

作者简介：赵晶晶(1986- )，女(彝族)，硕士生，主要从事数论及计算机应用技术的研究.

文章编号：1008-8423(2016)01-0040-02

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.010

中图分类号：O156.1

文献标志码：A