用“分节法”研究能被11、7整除的数的特征

黄红+文水军

摘 要：掌握了2，3，5的倍数的特征，对于学习约分、通分、分数的四则混合运算就有了一个强有力的工具。7或11的倍数是否有特征呢？如有，又是怎样的特征呢？教材上没有渗透，资料上也没有提及，但教师必须弄明白这方面的真相。

关键词：分节法；规律；特征

2012年秋，当我上完西师版教材五年级数学上册第七章“倍数与因数”第二节内容“2，3，5的倍数特征”后，我掩卷沉思：这一章节的内容主要是在整数中研究的，虽有许多实际的功用，但主要的目的是为今后分数方面的计算做准备。掌握了2，3，5的倍数的特征，对于学习约分、通分、分数的四则混合运算就有了一个强有力的工具。但通过我多年的教学经验得知，学生在进行约分时最困难的却是难以快速判断分子、分母是否含有因子7或11，甚至于是13，因此影响约分的速度和效果。要突破这方面的难点，须得弄清7或11的倍数的特征。

7或11的倍数是否有特征呢？如有，又是怎样的特征呢？教材上没有渗透，资料上也没有提及。但我怎能放弃呢？必须弄明白这方面的真相。

首先，我以11为突破口，于是，在我案头上出现了一大堆的数字：88，99，121，132，187，209，319，627，770，880，858，这些都是11的倍数。

看着这些数字，我内心只有一个想法：规律在哪里？它们的内在存在什么联系？……一连串的问题在我心中萦绕。

个位上的数字有奇、有偶，从个位上寻求规律行不通。

把各位上的数字相加，结果与11也毫无关系。

……

看着88，99，770，880这几个比较特殊的数与121，132，187，209，319，627的结构不同，难道是两位数与三位数的特征不同？难道要进行分别研究？有了这个想法，我立马把11的倍数进行了分类整理。

11的倍数是两位数的：11，22，33，44，55，66，77，88，99

很有趣：个位上的数字与十位上的数字相同。

11的倍数是三位数的：121，132，143，154，165，176，187，198，209，220，231…308，319…

我依次列举了一串，通过仔细观察，这些数似乎可以划分为两种情形。

一类是：121，132，143，154，165，176，187，198，220，231，242，253…

一类是：209，308，319…

前一类满足一个共同的特征：

百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0

后一类满足：

百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=11

我惊了：这0和11不就是11的倍数吗？在三位数中难道满足百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0或11的数就是11的倍数吗？我急不可待地验证了许多11的倍数，结果都是这样。同时也弄明白了满足什么条件的两位数的11倍结果为0，满足什么条件的两位数的11倍结果为11。

11的倍数是两位数的有特点，是三位数的也有特点，且特点不同，难道四位数中是11的倍数又具有另类特征吗？跟前面的研究方法一样，我又列举了一大串11的倍数：1089，1100，1111，1122，1144，1188，1210，1221，1342，1353。

1100，1111，1122，1144，1188各位数字的组合比较特殊，很容易理解。但1089，1210，1221，1342，1353这些比较一般的数怎样才能寻出点眉目来呢？

把各位上的数字相加，结果与11没有关联，此路不通。我深信各位上的数字经过一定方式的处理应该与11有关联。通过苦苦思索，我发现把1221分成两节，12为一节，21为一节，把这两个数相加结果为33，恰是11的倍数。兴奋之余，我试着把其他的几个数按同样的方式分为两节，把两节数字一加，结果都是11的倍数。我相信这绝不是偶然，接着我进行了大量的验证，经过这样的分节处理，两节之和就是11，22，33，44…99这9个数字中的其中一个。这难道不是与判断3的倍数的特征有异曲同工之妙吗？

这个分节法适用于三位数乃至更多位数吗？试试看。

11的倍数：187 10857 39248

分节：1/87 1/08/57 3/92/48

相加：1+87=88 1+08+57=66 3+92+48=143

再分节相加：1/43 1+43=44

判断：因为88，66，44是11的倍数，故原数就是11的倍数。综上所有研究的结果，可以表述为：11的倍数可以用分节法来进行判断，具体的操作过程是，把这个数从右向左每两个数字分为一节，最后一节可以是一个数字，然后把各节上的数相加，如结果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

当然，研究问题要全面，我举了大量不是11的倍数的例子，通过上面的操作其结果都不是11的倍数，从而初步认定分节法的可靠性。

有了研究11的倍数的经验，我接着对7的倍数进行了摸索，最终找到了7的倍数的判断方法。只是在分节法的基础上又有不同的处理方式，具体操作演示如下：（下面的数都是7的倍数）

119 175 2520 5663

分节：1/19 1/75 25/20 56/63

过程：1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

=21 =77 =70 =175

再分节相加：1/75 1×2+75=77

需要说明的是，只能分成两节，右边两个数字为一节，其余的为一节，要用前一节的数乘2再加后一节的数，如果结果过大，继续分节进行，直到很好判断为止。

后来，我对13，17，23等数也进行了研究，它们的倍数都可以用分节法来进行判断，只是过程处理有一些差别而已。

编辑 赵飞飞