基于MATLAB实验的线性代数教学探索

李永红+韩林+杨志鹏

摘 要 本文分析线性代数课程特点的基础上，比较了中美线性代数教材的特点，结合数学软件MATLAB解决了线性代数中的计算问题，并对线性代数教学改革提出了建议。

关键词 MATLAB 数学实验 线性代数

中图分类号：G642 文献标识码：A

1线性代数课程的特点

线性代数是代数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。线性代数在数学、物理学、工程技术和经济管理等众多领域有着重要的应用。目前众多院校理工类、经济管理类专业都开设了线性代数课程，同时它也是考研数学必考内容之一。总结起来，线性代数课程有以下几个特点：

1.1概念多，定理多，内容抽象

与高等数学、概率论与数理统计等基础课相比，线性代数课程的特点在于内容抽象，概念、定理多，尤其是向量部分最为典型。学生在学习具体内容时，不易理解和掌握，解题时只会套用，学习积极性普遍不高。

1.2计算繁琐，机械重复

线性代数中，大量计算贯穿其中。例如，计算问题涉及到初等行变换的，就有求逆矩阵、矩阵的秩，向量组的秩和基础解系等等。再如求特征值和特征向量、矩阵对角化问题计算量大，更是让人望而生畏。一般而言，阶数大于4的高阶矩阵问题，笔算就非常困难了。

2中美线性代数课程教材对比

2.1国内教材偏重理论体系的完整性

从国内多数院校《线性代数》课程的教材来看，基本内容大致相同：有行列式、矩阵、维向量及向量空间、线性方程组、特征值与特征向量和二次型。教材内容理论性强、结构严谨、逻辑清晰，同时例题较多，突出了数学的基本概念、基本理论和基本方法。大部分教材以理论为主导，偏重理论体系的完整性，过多强调证明和推导。

2.2美国教材偏重科学计算，解决实际问题

美国线性代数教材比我国的要浅，但教材中大多广泛选取工程学、经济学和统计学等学科中的实例。例如美国著名数学教育家DavidC.Lay教授编著的《线性代数及其应用》，有如下特点：首先是应用性广，教材搜集了近200个来自于生活实际的数学问题，内容丰富。其次是启发性强，教材在处理证明问题时，一些问题给出详尽的证明，另一些问题仅给出证明概要，还有一些问题就干脆交给学生去完成。最后教材比较注重工程实用与计算，每章都附有使用MATLAB软件的习题，有的还提供算法、计算程序等。

3 MATLAB辅助线性代数教学的必要性

3.1高阶矩阵、复矩阵等问题，离不开数学软件

线性代数课程中涉及大量的矩阵计算，比如5阶以上求特征值、求逆矩阵等问题，笔算太繁琐，容易出错。目前比较流行的处理数学问题的软件有30余个，比较常用的有MATLAB、MAPLE、MATHEMATICE，它们都可以解决线性代数课程中的计算问题。

3.2后续专业课程的学习，需要用到科学计算软件

不论是理工类专业，还是经管类专业，后续专业课程的学习，矩阵建模和计算方面的需求很大，这些问题的解决离不开科学计算软件。为此，在线性代数教学中，可适度融入数学软件的学习，可以让学生在掌握一般的原理方法的基础上，进一步培养学生应用数学软件进行求解的能力。

3.3 MATLAB辅助线性代数教学的优越性

MATLAB是一款集数值计算、符号运算、图形处理及程序设计等强大功能于一体的的软件工具。利用MATLAB辅助线性代数教学，有以下几个显著优势：

（1）每个变量代表一个矩阵，矩阵行列数无需预先定义，语言规则与笔算式相似，输入算式立即得到结果，无需编译。

（2）强大而简易的作图功能，智能化程度高。不仅能绘制直角坐标、极坐标、对数坐标图象，还能绘制三维坐标中的曲线和曲面，并且作图命令极其简单。

（3）功能丰富，可扩展性强。软件基本部分可以解决诸如矩阵的初等运算、矩阵分解和变换等问题，扩展部分可以解决矩阵微积分、推理化简等问题，还可以通过程序设计灵活解决各类复杂的实际问题。