空间面板杜宾模型的Bootstrap Wald-COMFAC检验研究

周少甫，白　羽

(华中科技大学 经济学院，湖北 武汉 430074)



空间面板杜宾模型的Bootstrap Wald-COMFAC检验研究

周少甫，白羽

(华中科技大学 经济学院，湖北 武汉 430074)

摘要：将共同因子约束(COMFAC)的Wald检验问题引入到空间面板模型中，讨论空间面板杜宾模型与空间面板误差模型的识别问题。蒙特卡洛模拟表明：在有限样本下，基于渐近临界值的Wald检验有着良好的检验功效，但存在着较为严重的尺度扭曲。进一步采用残差Bootstrap方法，在不损失检验功效的前提下，能够显著地降低检验的尺度扭曲。因此，残差Bootstrap方法是更为有效的检验方法。

关键词：空间面板模型；共同因子约束；蒙特卡洛模拟；残差Bootstrap方法

一、引言

自Anselin系统总结了空间计量模型的设定、估计与检验以来[1]32-40，空间计量经济学在近期的文献中得到了越来越多的关注。空间计量模型主要分为空间滞后模型(SAR)和空间误差模型(SEM)。Anselin还引入了空间杜宾模型(SDM)，相比前者，这一类模型刻画了解释变量之间的空间关系及相互作用。在近期的文献中也有很多学者运用这一类模型进行实证分析，详见叶明确、徐敏、刘霞等的相关研究[2-4]。

空间面板杜宾模型的设定如下：

Ynt=λWnYnt+Xntβ+WnXntθ+cn+

αtιn+Vnt

t=1,2,3,…,T

(1)

t=1,2,3,…,T

(2)

Sargan研究了一类对时间序列计量经济学模型的误差项是否服从自回归过程的检验问题。他首先分析了非受限制的一般形式的分布滞后模型，通过研究共同因子约束(COMFAC)，当约束成立时，该分布滞后模型就转化为了具有误差自回归结构的标准的模型[5]。类似于时间序列模型，对空间杜宾模型施加相应的共同因子约束，即式(2)中令θ+β λ=0，有：

(3)

式(3)两边同乘以(INT-λWn)-1，即得到标准的空间面板误差模型：

(4)

本文的结构安排如下：第二部分介绍空间面板杜宾模型的估计方法；第三部分设计蒙特卡洛模拟实验，研究空间面板模型中对于COMFAC的Wald检验的有限样本性质，探讨存在的尺度扭曲问题；第四部分运用基于残差的自举法(Bootstrap)修正相应的尺度扭曲。

二、空间面板杜宾模型的估计方法

令X=[Xnt,WnXnt]，经过两次变换后，待估参数γ=(β,θ,λ,ρ,σ2)′的对数似然函数表示如下：

-ln(1-λ)]-

(5)

三、COMFAC约束的Wald检验—基于渐近临界值的蒙特卡洛模拟

定义COMFAC约束：r(φ)=θ+λβ=0，相应于原假设Η0:r(φ)=0，Wald统计量的定义如下：

(6)

在这一节的蒙特卡洛模拟中，对于数据生成过程，DGP1为模型(4)的设定，即SEM的数据生成过程，DGP2为模型(1)的设定，即SDM的数据生成过程。我们利用DGP1来研究有限样本下Wald检验的尺度，利用DGP2来研究有限样本下Wald检验的功效。具体的数据生成过程如下：

①分别根据Rook规则和Queen规则生成空间权重矩阵Wn和Mn，生成服从标准正态分布的随机变量hnt，令εnt=5hnt+8。对于自变量X的设定，参考Lee和Yu的设定，即Xnt=0.5MnXnt+εnt[9]，这样就保证了在DGP中Xnt与WnXnt具有相关性。

②参数设定(β,σ2)'=(1,1)'，λ与θ随情形做相应变化。对于扰动项，vnt为标准正态分布。对于空间固定效应cn和时期固定效应αt，cn服从U(-5,5)为均匀分布，αt服从N(0,2)为正态分布。

③令λ=(0.05,0.25,0.5,0.75,0.95)'，通过模型(4)生成DGP1。令r(φ)=(-0.05,-0.01,0.01,0.05)'λ1=(0.05,0.09,0.11,0.15)'λ2=(0.85,0.89,0.91,0.95)'，根据模型(3)生成DGP2。我们希望通过设定不同的λ来考虑空间自相关系数的大小对Wald检验尺度与功效的影响。

蒙特卡洛模拟的样本数取M=2 000，所有运算在Matlab 2013b软件中完成。基于以上蒙特卡洛模拟实验的参数设定和步骤，得到的结果见表1和表2*名义尺度α=0.05。。

表1　基于渐近临界值的Wald检验的功效表

表2　基于渐近临界值的Wald检验的尺度扭曲表

从表1可以看出，基于渐近临界值的Wald检验的功效基本都为1，有着非常优越的检验功效。这说明Wald检验的功效不依赖于空间自相关系数和面板结构，也不会受到扰动项异方差的影响。

但是，从表2可以看出，对于Wald检验的尺度的分析却有着很大的不同。首先，Wald检验的尺度扭曲明显地随着空间自相关系数的增大而增大。第二，尺度扭曲与面板结构有着 明显的关联，对于N=30，T=90这一组长面板结构，尺度扭曲则明显比另外两组要大。第三，扰动项异方差对检验尺度也有着显著的影响。当扰动项存在异方差时，QMLE估计量是非一致的[8]，尺度扭曲有显著增大的趋势，长面板情形下的尺度扭曲最为明显。

因此，可以看出，基于渐近临界值的Wald检验，虽然有着非常良好的检验功效，但是却存在着较为严重的尺度扭曲，这种尺度扭曲与空间自相关系数、面板结构及扰动项都有着明显的关联。这说明基于渐近临界值的Wald检验是不可信的，必须采用适当的方法对该检验进行修正。

四、基于残差Bootstrap方法的COMFAC约束检验

Bootstrap方法最早由Efron提出，该方法仅需要原始样本的信息，不需要对分布进行假设或增加新的样本信息，从而对总体分布特征进行统计推断。Davidson和MacKinnon等从数理统计的角度证明了Bootstrap方法在计量经济学模型检验中的有效性[11-12]。近年来，Bootstrap方法在空间计量经济学领域也得到了广泛的关注。ZhenLin Yang基于残差Bootstrap方法改进了LM空间自相关检验[13]，任通先、龙志和、陈青青也基于Bootstrap方法改进了空间误差模型的LM检验[14]。因此，我们考虑运用残差Bootstrap方法解决第三部分提出的Wald检验的尺度扭曲问题。

残差Bootstrap方法的主要步骤如下：

②对①中通过QMLE估计得到的残差项εnt进行NT=N×T次有放回的随机抽样，得到Bootstrap样本e。对全样本进行随机抽样也是为了充分考虑到εnt中可能存在的空间自相关问题。

④Bootstrap次数设定为B次，对残差εnt反复进行有放回的随机抽样，重复步骤②和③B次，利用B次Bootstrap样本，计算大量的Wald统计量的值，记为Z2,Z3,…,ZB。

重复上述步骤① ～ ⑤，进行M次蒙特卡洛模拟，得到M个Bootstrap检验统计量的P值：p1,p2,…,pM。在下面的分析中，DGP的设定与第三部分完全相同，取B=199，M=1 000，名义尺度α=0.05。按照上述思想和步骤进行仿真实验，分别比较空间自相关系数、扰动项异方差与面板结构对检验的尺度扭曲和功效的影响。

(一)基于残差Bootstrap的COMFAC的Wald检验的尺度扭曲

表3　基于残差Bootstrap的Wald检验的尺度扭曲

从表3的结果我们可以看出，相比基于渐近临界值的Wald检验的尺度扭曲，Bootstrap方法显著的改善了尺度扭曲，大幅度减少了犯第一类错误的概率。各种不同情形下的尺度扭曲基本上减少了一半，例如在长面板情形下，当λ=0.95且扰动项存在异方差时，Bootstrap方法的尺度扭曲为0.078 0，而基于渐近临界值的尺度扭曲则有0.206 5。

进一步分析还可以发现，在Bootstrap方法下，虽然尺度扭曲会随着空间自回归系数的增大而增大，扰动项异方差也会对尺度扭曲产生影响，但这种影响相较于渐近临界值情形则非常小了，尺度扭曲缩小了将近1倍。例如在平衡面板、标准扰动项情形下，随着空间自回归系数的增大，Bootstrap方法下尺度扭曲为0.048 0，渐近临界值情形下则有0.089 0。

前面指出，基于渐近临界值的Wald检验对面板结构比较敏感，在长面板结构中存在较大的尺度扭曲。但是，基于残差Bootstrap的Wald检验则不存在这一问题，从表3可以看出，短面板、长面板和平衡面板这三种面板结构的尺度扭曲都是类似的，不存在明显的差异。

(二)基于残差Bootstrap的COMFAC的Wald检验的功效

由表4可以看出，基于残差Bootstrap的COMFAC的Wald检验仍然具有非常良好的检验功效。在所有情形下，检验功效都为理想值1，不受空间自回归系数、扰动项异方差与面板结构的影响。

表4　基于残差Bootstrap的Wald检验的功效

五、结论

本文指出了在建立空间面板杜宾模型时应注意的与空间面板误差模型的识别问题，将COMFAC约束的Wald检验引入了空间面板模型中，探讨了该检验的有限样本性质。蒙特卡洛模拟表明，在有限样本下， Wald检验虽然有着非常良好的检验功效，但存在着较为严重的尺度扭曲问题，这种尺度扭曲会随着空间自回归系数的增大而增大，扰动项异方差也会增大尺度扭曲，长面板情形下的尺度扭曲也相对较大。因此，必须采用相应的方法进行校正。

鉴于此，本文采用残差Bootstrap方法来解决这一问题。仿真结果表明，基于残差Bootstrap的Wald检验，能够在不损失检验功效的基础上，大幅度校正检验的尺度扭曲，是更为有效的检验方法。

参考文献：

[1]Anselin L. Spatial Econometrics: Methods and Models[M]. Dordrecht：Kluwer，1988.

[2]叶明确，方莹. 出口与中国全要素生产率增长的关系—基于空间杜宾模型[J]. 国际贸易问题，2013(5).

[3]徐敏，姜勇. 中国产业结构升级能缩小城乡消费差距吗？[J].数量经济技术经济研究，2015(3).

[4]刘霞，董晓松，姜旭平. 数字内容产品消费扩散与模仿的空间模式—基于空间面板模型的计量研究[J]. 中国管理科学，2014(1).

[5]Sargan J D. Wages and Prices in the United Kingdom: A study in econometric methodology[C].London：Econometric Analysis for National Economic Planning, 1964.

[6]Elhorst J P. Matlab Software for Spatial Panels[J]. International Regional Science Review, 2014(3).

[7]Jesus M, Ana A. The Spatial Durbin Model and the Common Factor Tests[J]. Spatial Economic Analysis,2006(2).

[8]Lee L, Yu J. Estimation of Spatial Autoregressive Panel Data Models With Fixed Effects [J]. Journal of Econometrics, 2010(2).

[9]Lee L, Yu J. Identification of Spatial Durbin Panel Models[J]. Journal of Applied Econometrics, 2016(1).

[10]Kelejian H, Prucha I. Specification and Estimation of Spatial Autoregressive Models with Autoregressive and Heteroskedastic Disturbances[R]. CESifo Working Paper， 2008.

[11]Davidson R, MacKinnon J．The Size Distortion of Bootstrap Tests[J]．Econometric Theory，1999(3)．

[12]Davidson R, MacKinnon J．The Power of Bootstrap and Asymptotic Tests[J].Journal of Econometrics， 2006(2)．

[13]Yang Z. LM Tests of Spatial Dependence Based on Bootstrap Critical Values[J]. Journal of Econometrics, 2015(1).

[14]任通先，龙志和，陈青青. 空间面板数据模型Bootstrap LM-Error检验研究[J]. 统计研究，2015(5).

(责任编辑：马慧)

Testing Common Factor Restrictions in Spatial Durbin Panel Models Based on Bootstrap Method

ZHOU Shao-fu,BAI Yu

(School of Economics,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074, China)

Abstract:Introducing common factor restrictions in spatial panel models, we consider the distinction between spatial Durbin panel model and spatial error panel model. Monte-Carlo simulations show that Wald test has good power but large size distortion in finite samples. Using residual based Bootstrap method can solve the size distortion with still high test power. Therefore, this method is a much efficient one.

Key words:spatial panel model; common factor restrictions; Monte-Carlo simulation; residual based Bootstrap method

收稿日期：2015-09-25

基金项目：中央高校基本业务费《新常态下大气污染防治的空间优化和体制机制研究》(2015AA025)；教育部人文社会科学研究规划基金资助项目《产业结构调整背景下能源消费、碳排放与空间发展集群关系研究》 (13YJA790166)

作者简介：周少甫，男，湖北天门人，教授，博士生导师，研究方向：应用计量经济学；

中图分类号：F224.0：O212.1

文献标志码：A

文章编号：1007-3116(2016)05-0003-05

白羽，男，安徽合肥人，硕士生，研究方向：空间计量经济学。

【统计理论与方法】