高等数学中积分计算的代数思想

刚蕾 徐爽 唐强

摘要：重积分是高等数学的重点，也是难点，是研究空间解析几何经常用到的数学工具，因为重积分的计算技巧性较强而且存在很多困难；如果能够结合线性代数中的正交变换，利用“正交变换”的有关理论来解决某些重积分问题会显得比较简便且颇有成效，而且近年来数学的代数化思想日渐显示它的重要作用，从而推进了各学科之间的联系。

关键词：正交变换，重积分

中图分类号：O1文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）04（B）-0000-00

在重积分的计算过程中，经常要用到坐标变换，常用的坐标变换有极坐标变换、广义极坐标变换、柱坐标变换、球坐标变换、广义球坐标变换等，而坐标变换只不过是改变积分区域的划分，选择替换有着很大的随意性并且存在一定的困难.对于被积函数可用二次型形式或积分区域可用二次型函数描述的重积分的计算问题，我们通过引进代数中关于二次型化标准型的方法，对坐标系作正交变换，这样就可以简化被积函数，或者一定意义上可以简化积分区域，从而简化了重积分的计算。对于那些需要兼顾被积函数和积分区域特点的重积分计算问题，用正交变换则显得尤为简单。

应当指出，化重积分为累次积分的变量替换，是计算重积分中最常用的方法，但是我们所遇到的重积分不一定都能用他们算出来，所以有时不得不使用其它数学工具和方法.在积分计算中引入正交变换可以简化这类积分的运算，从而卓有成效的解决积分的某些问题，它是解决二重积分的变量替换的一种有力工具，另外在三重积分、曲线积分、曲面积分等中也都有着广泛的应用。

3结论

正交变换之所以能够在数学领域发挥重要的作用，是因为它符合数学发展的代数化潮流，集合了数学方法论中丰富的数学思想，因而得到了广泛应用。文中已经举例说明的积分结论，恰恰是在正交变换作用下获得的具有数学美的产物。所以高等数学和线性代数是密不可分的，相互影响相互推进。

参考文献

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