巧用类比，化难为易

吴东敏

【摘要】 类比是根据两个不同的对象，在某些方面（特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法.本文分别介绍了类比的含义，类比的作用及类比在数学解题中的各种应用.

【关键词】 类比；推理方法；数学；应用

一、类比法是重要的数学思想方法

类比法是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法. 通俗地说就是化“生”为“熟”，按照熟悉事物的性质、判定来研究陌生事物，使知识延伸.

在数学中，类比也是公认的非常重要的数学思想方法之一. 在初中数学的许多方面都发挥着积极作用. 美国数学家波利亚对类比法十分推崇，他在《怎样解题》的第三部分——探索法小词典里，首先谈到的即是类比. 他认为： “在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比. 类比可在不同的水平使用.”“我们希望能预测结果，或者，至少在某种似乎可信的程度上预测结果的某些特征.这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的.” 波利亚还说“类比是一个伟大的引路人”. 在数学中，类比是发展概念、定理、公式的重要手段；是提出新问题和猜想的重要方法；更是探索问题、解题的好工具：求解数值时，类比能让复杂问题简单化；证明时，类比能提供参照和捷径；记忆数学时，类比能让知识形成网络系统，让记忆长了翅膀. 类比能使难点简单化. 类比能使我们的知识更系统，思维更广阔. 本文主要探索类比在解题中的应用.

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.

二、类比在数学解题中的应用举例

1. 数和形的类比

类比分析 把数和形进行类比，从数看是一个式子，从形看是两点的距离，这样题目更直观，分析起来就更简单. 比如例1，如果单纯从式子分析，很难做出来，但是从形，就很容易想到“两点之间，线段最短”.

反思 数形结合，构造关联问题，拓宽解题思路.

2. 类似图形的类比（类似知识点的迁移类比）

例2 如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F.

（1）求证：△ADE∽△BEF；

（2）设正方形的边长为4，AE = x，BF = y.当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值.

例3 如图，等边三角形ABC边长为6，动点D，E分别在线段BC和AC上运动，且∠ADE = 60°保持不变；

（1）设DC = x，AE = y，求y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；

（2）在（1）中，当y取最小值时，判断△AED的形状，并说明理由.

类比分析 两道例题都是证相似，而且都有共同的特点，就是有三个同样的角，而且这三个角的顶点都在同一直线上，这样很容易通过外角求得一个角相等，再加上本来的另一个角，就证得了相似，然后利用相似的边的关系求得第二问.

反思 有些几何问题，或图形相似，或条件相似，或结论相似，通过对比分析，常能悟出解题的思路.

3. 从复杂到简单的类比

例4 （1）如图1，D，O，A三点共线， DO = OA ，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小；

（2）如图2，当D，O，A三点不共线，其他条件都不变，保持△OCD和△OAB的形状和大小不变，求此时∠AEB的大小.

例5 已知：在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D为BC的中点.

（1）如图（1），E，F分别是AB，AC上的点，且BE = AF，试说明△DEF为等腰直角三角形.

（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE = AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？请说明理由.

类比分析 这类题目，第一问都不是很难，第二问就是类比第一问，第一问证全等，第二问就证全等，第一问用了哪个定理，基本上第二问也用哪个定理，只是图形点从线段上变到了线段的延长线上或者从在同一直线上变成了不在同一直线上，看起来图形复杂很多，但是解题方法是没变的.

反思 无论图形变得多么复杂，基本图形不变，抓住题目本质，复杂图形只是基本图形的变形，只要类比第一问，问题就会迎刃而解.

4. 解题规律的类比（相同性质的类比）

例6 若（x + y）2 + |x - 3| = 0，则xy = .

例7 若 + |m - 2| + （n - 3）2 = 0，则mnp = .

类比分析 一个数的平方，一个数的算术平方根，一个数的绝对值都是非负数，利用这个相似的性质，无论是数的平方，还是数的绝对值，或是算术平方根相加等于0，则每一项都是为0的.

反思 有些知识点有类似的性质，我们可以通过类比找到解题思路.

5. 归纳为同一题型的类比

例8 如左下图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水.修在河边什么地方，可使使用的水管最短？

例9 如上右图，正方形ABCD边长为8，对角线交于点O， E为AB上的点，且BE = 2，直线AC上有点P，使得△EPB的周长最小，则最小周长为 .

类比分析 其实例9与例8是同一个问题：最短水管问题，利用对称把其中一点对称到另一边，再利用“两点之间，线段最短”来求解，只不过例9的“河“变成了一条线而已.

反思 数学中的很多题目其实是“换汤不换药“，只要真正理解了题意，难题的模型其实只是基本图形.

三、使用类比要注意的问题

1. 对类比的结论能进行辩证的处理

因为类比使用有“或然性”，属于“合情推理”：或者正确，或者不正确，或者不完全正确，所以应明确告诉学生类比有可能失败.

2. 类比可以从多方面进行

不要局限于一方面，可以多种类比，多方位、多角度，从条件、结论、图形、方法、规律，等等.

3. 教师在平时的教学中要多挖掘教材的潜在知识，对学生多加引导

老师在平时的课堂上多加引导，创造宽松的环境，开放课堂，学生才能解放思维，敢于放胆去归纳、总结、类比，长此以往，才能掌握类比的思想方法并灵活运用.

【参考文献】

[1]陈群颂. 也谈难点的突破[J].中小学数学（初中版），2012（Z1）.

[2]薄守敏.类比法在小学数学教学中的几点运用[D].连云港：连云港师范高等专科学校，2006.