巧用a2 + b2 ≥ 2ab的变式简证一类分式不等式

何世洪

【摘 要】 分式不等式的证明因其结构对称优美、证法多样独特而成为人们热衷研究的对象.有些证明思路的技巧性较强，不易想到，但巧用不等式a2 + b2 ≥ 2ab（当且仅当a = b时，取“”号）的一些变式来证明与之类似的不等式，其过程简洁、明了.

【关键词】 变式；巧证；不等式

分式不等式的证明因其结构对称优美、证法多样独特而成为人们热衷研究的对象，也是数学竞赛的一个热点.但这些证明思路的技巧性较强，不易想到，经过笔者研究、发现，巧用不等式a2 + b2 ≥ 2ab（当且仅当a = b时，取“”号）的一些变式来证明与之类似的不等式，其过程简洁、明了，能收到出奇制胜的效果.现列举如下：

变式一：当m > 0，b > 0时， ≥ 2a - b， + b ≥ 2a.

这个变式很容易获得，用来证明形如这种结构特征的分式不等式，就有其用武之地.

例1 已知a，b，c > 0，求证： + + ≥（a + b + c）（第二届“友谊杯”国际数学竞赛邀请赛试题）

证明 由b + c > 0，变式一得：

= ≥ [2（2a） - （b + c）].

同理： ≥ [2（2b） - （a + c）]，

≥ [2（2c） - （a + b）].

以上三式相加，得：

+ + ≥ [2（2a） - （b + c） + 2（2b） - （a + c） + 2（2c） - （a + b）] = （a + b + c），当且仅当a = b = c时，取“=”号.

例2 已知a，b，c > 0），求证： + + ≤ .（第26届美国数学奥林匹克USAMO试题）

证明 由a，b > 0， + b ≥ 2a， + a ≥ 2b，得 + ≥ a + b.

同理： + ≥ b + c， + ≥ c + a.

有 + + c ≥ a + b +c， + + a ≥ a + b + c， + +b ≥ a + b + c.

化为 ≤ ， ≤ ， ≤ .

相加，得： + + ≤ 1，

即 + + ≤ 1，

所以， + + ≤ ，当且仅当a = b = c时，取“=”号.

变式二：当m > 0，b > 0时， + mb ≥ 2.

例3 已知a，b，c > 0，且abc = 1，求证： + + ≥ .（第36届IMO第2题）

证明 要证 + + ≥ ，即证： + + ≥ .

由m > 0，b > 0， + mb ≥ 2，令m = ，得 + a（b + c） ≥ bc， + b（a + c） ≥ ac，c（a + b） ≥ ab

相加，整理，得

+ + ≥ （bc + ac + ab）.

又a，b，c > 0，bc + ac + ab ≥ 3 = 1，

所以 + + ≥ .

即原不等式 + + ≥ 成立，当且仅当a = b = c时，取“=”号.

变式三：若a，b > 0，则 ≥ .

事实上，由a，b > 0，a2 + b2 ≥ 2ab，两边同除以a2，得 ≥ .

例4 已知x > 0，y > 0，求证： + + ≤ + + .

证明 由x > 0，y > 0，变式（二）得： ≥ ， ≤

同理： ≤ ， ≤ .

相加，得：

+ + ≤ + + ， 當且仅当x = y = z时，取“=”号.

变式四：若a，b > 0，则 ≥ （a + b）.

由a，b > 0，a2 + b2 ≥ 2ab，得

2（a2 + b2）≥a2 + 2ab + b2 = （a + b）2，有 ≥ （a + b）.

例5 已知ai > 0，i = 1，2，3，…，n，且ai = 1，求证：

+ + … + + ≥ （第24届全苏联中学生IMO试题）.

证明 由ai > 0，i = 1，2，3，…，n变式（三）知：

≥ （a1 + a2）， ≥ （a2 + a3），…，

≥ （an - 1 + a2），≥ （an + a1）

相加，得：

+ + … + + ≥ 1.

又 + + … + + - - - … - - = （a1 - a2） + （a2 - a3） + … + （an-1 - an）+（an - a1） = 0

∴ + + … + + = + + … + +

那么， + + … + + =

2 + + … + + ≥ 1，

所以 + + … + + ≥， （ 当且仅当a1 = a2 = a3= … =ai时，取“=”号）.

变式五：若a，b > 0，则

≥或≤.

由变式（二）便知该不等式成立，适应于证明一类无理型分式不等式.

例6 已知a > 0，b > 0，c > 0，求证： + + ≤ + +

证明：由 ≤ ，令a = 1，得：

≤ .

同理， ≤ ， ≤

相加，得： + + ≤

+ +

当且仅当a = b = c = 1时，取“=”号

变式六：若a，b∈R，则 ≥ 或a2 + b2 ≥ 2.

由a2 + b2 ≥ 2ab，易知2（a2 + b2） ≥ a2 + 2ab + b2 = （a + b）2，有 ≥ 2或a2 + b2 ≥ 22.