一道课本习题的两种变式

杜红霞

【摘要】 数学变式就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【关键词】 课本习题；变式

甘肃省教育科学“十二五”规划2014年度《初中学生数学易错题分析研究》课题（课题批准号：GS[2014]GHB0668）成果.

人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册2008年6月第2版2012年10月甘肃第1次印刷 第104頁“拓广探索”板块的15题是：

如图，四边形ABCD是正方形.点C是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. 求证：AF - BF = EF.

笔者经过分析后给出如下证明过程.

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AB = DA，∠1 + ∠2 = 90°.

∵ DE⊥AG，∴∠2 + ∠3 = ∠DEA = ∠DEG = 90°，

∴ ∠1 = ∠3.

又∵ BF∥DE，∴ ∠AFB = ∠DEG. ∴ ∠AFB = ∠DEA.

在△ABF和△DAE中，

∠1 = ∠3，∠AFB = ∠DEA，AB = DA， ∴ △ABF ≌ △DAE（AAS）.

∴ BF = AE.

但A，E，F三点共线，且AE + EF = AF，所以AF - AE = EF，即AF - BF = EF.

证明完此题后，笔者又经过仔细的研究找出了该题的两种变式，现介绍如下.

变式一 如图1，四边形ABCD是正方形. 点G是BC延长线上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. 试探索线段AF，BF，EF的长度之间的数量关系.

解 线段AF，BF，EF的长度之间的数量关系是EF = BF - AF.

证明：用AAS易证△ABF≌△DAE，所以BF = AE.

但A，F，E三点共线，且AF + EF = AE. 所以EF = AE - AF，即EF = BF - AF.

（用AAS证明△ABF≌△DAE的过程留给有兴趣的读者）

变式二 如图2，四边形ABCD是正方形. 点G是BC的反向延长线上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. 试探索线段AF，BF，EF的长度之间的数量关系.

解：线段AF，BF，EF的长度之间的数量关系是EF = BF + AF.

证明：用AAS易证△ABF≌△DAE，所以BF = AE.

但E，A，F三点共线，且EF = AE + AF，所以EF = BF + AF.

（用AAS证明△ABF≌△DAE的过程留给有兴趣的读者）

综上所述，无论“点G是BC上的任意一点”，或“点G是BC延长线上的任意一点”，还是“点G是BC的反向延长线上的任意一点”，总有明△ABF≌△DAE也就是说：在点G的运动变化过程中总可以找到明△ABF≌△DAE这个不变的关系，这也是此题的动态魅力.

通过对此题的解答我有这样一点感悟：教材是有限的，思考是无限的.教师要用实、用好、用活所选择的教材，做到信奉而不唯是，遵循而有所立.