二次型

谭亚茹

摘 要 二次型是高等代数的重要组成部分，本文从二次型的定义出发，介绍了二次型的表示方法，然后介绍了如何用配方法、初等变换法、正交变换法等将二次型化为标准形，以及二次型的规范形，最后介绍了正定二次型和判定正定二次型的方法。

关键词 二次型 标准形 规范形 正定矩阵

中图分类号：O156.6  文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.01.027

Quadratic Forms

TAN Yaru

（School of Science， Nantong University， Nantong， Jiangsu 226007）

Abstract The quadratic Higher Algebra is an important part of this paper， the definition of quadratic forms， introduces the second type of representation， and then describes how to use the allocation method， elementary transformation， orthogonal transformation method， etc. II second type into the standard form， and the second type of normal form， finally introduced positive definite quadratic form and method for determining positive definite quadratic form.

Key words quadratic forms; standard form; normal form; positive definite matrix

1 二次型的定义

1.1 二次型的定义

设是数域，，，…，是个文字，则元二次齐次多项式 （，，…，） =  + 2 + 2 + … + 2 +  + 2 + … + 2 + … +  =  称为数域上一个元二次型，其中。若为实数，则称为实二次型。若为复数，则称为复二次型。若二次型中只含有，，…，的平方项，即 （，，…，） =  +  + … + 则称 为标准形。

设，，…，与，，…，是两组文字，且可以表示成 = ，称其是由，，…，到，，…，的一个线性替换。当可逆且| |≠0时，称为一个非退化线性替换。

若二次型 （，，…，）通过非退化线性替换 = 化为二次型（，，…，），则称二次型（，，…，）与 （，，…，）等价。

1.2二次型的矩阵表示

1.2.1 二次型的秩

二次型 可由 = 唯一表示，其中 = （，，…，）'，=为对称矩阵，则称 = 为二次型的矩阵形式，称为二次型的矩阵，且都为对称矩阵，称的秩为二次型 的秩。

1.2.2 矩阵的合同

设、是阶方阵，若存在可逆阵，使得 = ，则称与合同。

设 （，，…，） = ， 与是两个元二次型，则 与等价的充分必要条件是与合同，（，，…，） = 。

2 标准形

2.1 化二次型为标准形

定理：①数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 +  + … + 的形式。

2.1.1 配方法

若二次型中至少含有一个平方项，我们不妨设≠0，则对所有含有的项进行配方，直到每一项全都包含在完全平方项中，引入另一组新变量，，…，，由 = ，得 =  +  + … + 。

若二次型中不含平方项，不妨设≠0，则令 =  + ，  = ，  = ，…， = ，经坐标变换，二次型中出现时，再按上一种情形实行配方法。

2.1.2 初等变换法

二次型 = 经过非退化线性替换 = 化为标准形，相当于对矩阵找到一个可逆矩阵，使得 = 为对角矩阵，由于可逆矩阵可写成若干个初等矩阵乘积，即 = …，从而… = ， … = 。

2.1.3正交变换法

用正交变换法将二次型化为标准形的步骤如下：（1）将二次型表示成矩阵的形式;（2）求矩阵的特征值以及相应的特征向量;（3）若所求特征值有重根，对相应的特征向量要进行Schmide正交化;（4）将特征向量单位化，化为…;（5）构造正交矩阵 = （…）;（6）令 = ，则可得 =  +  + … + 。

2.2 二次型的规范形

2.2.1 复二次型的规范形

任一元复二次型 = 都可以通过非退化线性替换化为 +  + … + ，称此标准形式 的规范形，其中 = ，规范形是唯一的。

元复二次型 与等价的充分必要条件是它们有相同的秩。

2.2.2实二次型的规范形

任一元实二次型 = 都可以通过非退化线性替换 = 化为 +  + … + …，此标准形称为实二次型的规范形且 = ，规范形是唯一的，即唯一。

实元二次型的规范形 +  + … + …中称为此二次型的正惯性指数，r-称为此二次型的负惯性指数。正惯性指数与负惯性指数的差称为此二次型的符号差。

两个元实二次型等价H#它们有相同秩与正惯性指数，即两个阶实对称矩阵合同。

3 正定二次型

3.1 正定二次型的定义

设 （，，…，） = 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，，…，，如果 （，，…，）恒大于零，那么 （，，…，）为正定的;如果都有 （，，…，）恒小于零，那么 = 为负定的;如果 （，，…，）恒大于或等于零，那么 （，，…，）为半正定的;如果都有 （，，…，）小于等于零，那么 （，，…，）为半负定的;如果 （，，…，）既不半正定又不半负定，那么 （，，…，）为不定的。

非退化线性替换不改变实二次型的正定性。

3.2 二次型正定性的判定

3.2.1 顺序主子式法

例1② 考虑二次型 =  + 4 + 4 + 22 + 4，问为何值时，为正定二次型。

解：二次型的矩阵，的顺序主子式 = 1>0;

由二次型 正定的充分必要条件>0，>0， = >0得<<2;由 = >0，可得<<1，所以，当<<1时，正定。

3.2.2 特征值法

若一个二次型正定，则它对应二次型矩阵的特征值全大于零。

例2 已知是阶正定矩阵，证明为正定矩阵。

证明：由正定知是实对称矩阵，从而 =  = ，即也是实对称矩阵。设有特征值（ = 1，2，…，），则的特征值为（ = 1，2，…，），而的特征值为1（ = 1，2，…，），因为是正定矩阵，所以，>0，从而<1，故1>0（ = 1，2，…，）。即，的特征值全大于零，故为正定矩阵。

4 结束语

二次型是高等代数的重要组成部分，它的理论起源于几何学中二次曲线方程与二次曲面方程。二次型理论与域的特征有关，当前二次型的理论不仅在几何方面而且在数学的其他分支包括物理、力学、工程技术中也常常涉及。 化二次型为标准形的方法有很多种，文中共给出了三种化二次型为标准形的方法，但这只是较为常用的方法，除此之外还有偏导数法和雅可比法，这就需要我们在学习的过程中，善于发现知识间的联系并及时加以总结。遇到问题时要根据二次型的特征，选择较为简便的方法，这样才能够提高我们的解题效率。

注释

① 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

② 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京：高等教育出版社，2004.